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湖北省鄂东南教育联盟2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷
一、未知
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（ ）
A．0 B．1 C．0或-1 D．0或1
4．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则是的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A．±6 B．6 C．36 D．-6
7．函数零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
8．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（ ）
A．在上单调递增
B．的对称中心是
C．点的纵坐标为
D．的解集为
10．已知函数，，则（ ）
A．当时，在上单调递增
B．当时，有两个极值
C．若有三个不同零点，则
D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则
11．定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．6 D．5
12．已知，则在方向上的投影向量的坐标为 .
13．记等差数列的前项和为，若，则 .
14．已知，函数，若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，则实数的取值范围为 .
15．已知数列的首项，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求满足条件的最大整数的值.
16．已知向量，函数.
(1)求函数的单调增区间及对称中心；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，若存在使成立，求实数的取值范围.
17．为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时）
(1)若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？
(2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围.
18．如图，中，，点在线段上，点与点位于直线的异侧且为等边三角形.
(1)若，，求线段的长度；
(2)若，求线段的最大值；
(3)若为的平分线，求与内切圆半径之比的取值范围.
19．已知函数.
(1)当时，证明：在上单调递减；
(2)若有两个极值点，满足且，求的取值范围；
(3)将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，求的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】或
2．B
【详解】
3．D
【详解】或1
4．A
【详解】
5．B
【详解】令，此时满足，但不满足，说明.；
若，假设，则：，这与矛盾，故假设不成立，成立，说明，所以是的必要不充分条件
6．D
【详解】，由
7．A
【详解】或
或或
或或或；
设，
所以函数在单调递增，在单调递减，，
当且仅当取等号，.
故函数只有4个零点.
8．C
【详解】
当时，，
故函数在单调递增.
方法一：构造函数
故函数在单调递减，
方法二：对数糖水不等式：
先证明糖水不等式：，
理由：
故
方法三：
9．ACD
【详解】最小正周期，故选项C正确；
由，
令，当时，单调递增且，
此时单调递增，在上单调递增，故选项A正确；，
所以函数的对称中心为，故选项B错误；，故选项D正确.
10．ACD
【详解】当时，，恒成立，
则函数在上单调递增，故选项A正确；
有2个极值，
但时，恒成立，
此时函数函数在上单调递增，无极值，故选项B错误；
设函数
，故选项C正确；
设切点，
则切线方程为：，代入点得：
与图象有3个不同的交点，
或
函数在单调递减，上单调递增，且，
，故选项正确.
方法二：一元三次方程
韦达定理：故，选项C正确；
三次函数切线问题：过三次函数对称中心做切线（有且仅有一条）
则坐标平面被该条切线和三次函数图象分为4个区域：
过①③区域内的点（不含边界）作切线有且仅有3条；
过②④区域内的点（不含边界）作切线有且仅有1条；
过切线或三次函数上的点（除去对称中心）作切线有且仅有2条；
，
所以函数的对称中心为，
这该点的切线方程为：恒过，
而函数恒过，故只有时，
点落在①③区域内，符合题意.
11．BD
【详解】，
依题意：观察函数与函数的图象，谁的图象在上方就是函数的图象包含边界，
如图所示：
当时，符合题意
当时符合题意
而，故选项BD正确.
12．
【详解】
13．9
【详解】，故
14．
【详解】
且满足
当时，，此时符合题意；
当时，或若，
此时符合题意；
若，则：或
综合：
15．(1)
(2)
【详解】（1）方法一：累乘
依题意：，
当时，；.
当时，符合，故.
方法二：构造
依题意：，则数列为常数数列
；
（2），故满足条件的最大整数的值为8.
16．(1)；
(2)
【详解】（1）.
，
故函数的单调增区间为
，
故函数的对称中心为.
（2）依题意：.
.
.
17．(1)时，
(2)
【详解】（1）时，，
则小白鼠血液中药物的浓度
当时，，即时，
当时，，
即时，；
由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到
（2）.
当时，在时单调递减，
；
当时，
结合图象知：，即时，；
又
18．(1)
(2)
(3)
【详解】为等边三角形
（1）.
（2）方法一：是线段中点，，
不妨设
当时，.
方法二：以线段中点为坐标原点方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系：
不妨设，则
当时，
（3）由角平分线定理知：，
不妨设，，要构成
则：.
不妨设与内切圆半径分别为、，
.
方法二：不妨设
不妨设与内切圆半径分别为，
在中，由余弦定理得：
，
令
在时单调递减
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：若，则，
令
故在单调递增，在单调递减，，
即在上恒成立，
在上单调递减
（2），令，
①若，则在上恒成立，在上单调递增，在上最多一个极值点，不符合题意
②若
故在单调递增，在单调递减，
且
且.
依题意：且
恒成立，
故在单调递增，
.
构造函数：
故在单调递增，在单调递减，
综合：.
（3）方法一：《教材必修二第53面11题》在函数图象上任取一点，饶原点逆时针旋转角得到点，其中.
若，则
要使旋转后，得到的曲线仍是函数图象，即对定义域内任意一个的值，都
有唯一的与之对应是单调函数，
否则可能出现一个，会求出至少两个，导致至少两个与之对应，与函数定义不符合.
，
故函数只能单调递增，在上恒成立
令，
故在单调递增，单调递减，
方法二：与函数至多有一个交点.
若，则与至多有一个交点与至多有一个交点是单调函数，，
故函数只能单调递减，在上恒成立，
令
，
故在单调递增，单调递减，
.

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