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云南省玉溪第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，若，则可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．设是数列的前n项和，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，，为非零实数，则下列说法一定正确的有（ ）
A．若，，成等差数列，则，，成等差数列
B．若，，成等比数列，则，，成等比数列
C．若，，成等差数列，则，，成等比数列
D．若，，成等比数列，则，，成等比数列
10．在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，，是中点，则下面正确的是（ ）
A．面积的最大值为 B．周长的最大值为
C．中线长度的最大值为 D．若为锐角，则
11．若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴、轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若构成锐角三角形，则
三、填空题
12．向量满足与的夹角为，则 ．
13．已知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm，则它的体积为 .
14．已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知数列的前项和为，且_________.
在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，求证：.
16．如图，在四棱锥中， 平面分别是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过作直线与交于两点，若，求直线的斜率.
18．已知函数.
(1)若函数在处的切线平行于轴，求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个不同的零点，求的取值范围.
19．第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶 二阶导数）
(1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？
(2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；
(3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明.
参考答案
1．D
【详解】由，得，则，或，
由，得，显然选项ABC不满足，D满足.
故选：D
2．A
【详解】∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，
∴a=2，b=1．
则（a+bi）2=（2+i）2=3+4i．
故选A．
3．D
【详解】将平方得，，①
将平方得，，②
①＋②得，
所以，
即.
故选：D
4．D
【详解】对A，当时，则，故A错误；
对B，当时，则，则，故B错误；
对C，当时，根据对数函数单调性知，故C错误；
对D，若，则，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：D.
5．C
【详解】依题意，函数的定义域为，
，则是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足；
当时，，则，AD不满足，C满足.
故选：C
6．B
【详解】，，
，，，
是以1为首项，公差为2的等差数列，
，，，
，
.
故选：B.
7．C
【详解】设，则，
由椭圆的定义得，，
由得，即，
整理得，解得或（舍去），
∴，故点在轴上.
如图，在直角中，，
在中，，
化简得，
∴椭圆的离心率.
故选：C.
8．D
【详解】因为，所以
当时，由，解得或，且有，，
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
又，则需，所以；
当时，令，解得或，且有，，
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
又,
所以仅有一个负数零点， 所以满足题意；
综上，的取值范围是或．
故选：D.
9．BC
【详解】对于，，，是等差数列，但是，，不是等差数列，故不正确；
对于，，，成等比数列，则，
所以，所以，，成等比数列，故正确；
对于，，，成等差数列，所以，
所以，即，故正确；
对于，，，成等比数列，所以，
所以或，若，则，，不成等比数列，
故不正确.
故选：.
10．BCD
【详解】由成等差数列，可得，因为，所以，
又由余弦定理得，可得，
对于A中，由，所以，
所以面积的最大值为，
当且仅当时，等号成立，所以A不正确；
对于B中，由，
可得，所以，所以周长的最大值为，
当且仅当时，等号成立，所以B正确；
对于C中，因为，可得
又因为是中点，可得，
则，
所以，即中线长度的最大值为，
当且仅当时等号成立，所以C正确；
对于D中，设的外接圆的半径为，可得，
由正弦定理，可得，
因为，可得，则，
所以，当为锐角时，可得，所以D正确.
故选：BCD.
11．BCD
【详解】由，得，
所以，故A错误；
由，所以，，
所以，
所以，故B正确；
由，可得，，
所以，又，，
所以，所以，
由平面向量基本定理可得，解得，故C正确；
由题意可得，，，
因为构成锐角三角形，则为锐角，
则可得，解得，
所以与显然不共线，
若为锐角，则，
解得，若与共线，则可得，所以且，
若为锐角，则，
解得或，可得与不共线，则可得，所以或，
综上所述：构成锐角三角形，则，故D正确.
故选：BCD.
12．2
【详解】，
所以.
故答案为：2.
13．
【详解】由题意知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm，
如图：设四棱台上下底面中心为，连接，
结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形，
且，故，
即棱台的高为，故正四棱台的体积为，
故答案为：
14．
【详解】由函数，其中，
函数周期是，由①知，
又因为在区间是单调函数，
所以，
即，
所以或.
故答案为：
15．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由，得，得，
所以数列为等差数列，公差．
若选①，因为，所以，得，
所以，，
所以，
若选②，因为成等比数列，所以，
所以，所以，
所以，所以．
若选③，因为，所以，
所以，
（2），
所以，
又因为，所以．
16．(1)证明见解析；
(2)；
【详解】（1）连接，如图所示，
因为分别为棱的中点，所以且，
又因为所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以,
因为平面,平面,
所以平面
（2）以为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系，
则
设面的法向量为
则
令则
设面的法向量为
则
令则
设平面与平面的夹角为，
，
故平面与平面的夹角的余弦值.
17．(1)
(2)或.
【详解】（1）根据题意由可知，
动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线，
即，所以，
所以可得的方程为.
（2）由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立，
故直线的斜率存在，且不为0，设，
联立，
则，且即，
，
又，所以，所以，
所以由得，解得，故，
故直线的斜率为或.
18．(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【详解】（1）函数，求导得，
由函数在处的切线平行于轴，得，则，
此时，，函数图象在处的切线为，符合题意，
所以.
（2）函数的定义域为，由（1）知，，
当时，由，得或，由，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间是，递减区间是；
当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
（3）依题意，，
由，得，记，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时恒成立，
因此要使有两个零点，即直线与函数的图象有两个交点，
必有，即，
所以的取值范围是.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为3，，
即抛物线方程为，即，则，，
又抛物线在点处的曲率，则，
即在该抛物线上点处的曲率为；
（2），
在上为奇函数，又在上为减函数.
对于恒成立等价于对于恒成立.
又因为两个函数都是偶函数，
记，，则曲线恒在曲线上方，
，，又因为，
所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即，
又因为，，
，，所以，解得：，
因此，的取值范围为；
（3）由题可得，
所以曲线在点处的切线方程是，
即，
令，得，即，
显然，，
由，知，同理，
故，从而，
设，即，所以数列是等比数列，
故，即，从而，
所以，，
，
当时，显然；
当时，，
，
综上，.

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