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浙江省诸暨市浣东初级中学2025－2026学年上学期9月份阶段性测试九年级数学试题卷
1．（2025九上·诸暨月考）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和为
B．打开电视机正在播放广告
C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球
D．抛一枚硬币正面向上
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，符合题意；
B、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件，不符合题意；
D、抛一枚硬币正面向上，是随机事件，不符合题意；
故选A．
【分析】一定发生或一定不发生的事件为必然事件，由此即可判断.
2．（2025九上·诸暨月考）二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得函数解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y=x2的图象向左平移2个单位得到y=（x+2）2，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=（x+2）2的图象向上平移3个单位可得到函数y=（x+2）2+3，
故选：B
【分析】
本题考查的是二次函数的平移规律，即“左加右减，上加下减”；向左平移2个单位，自变量x变为x+2；向上平移3个单位，函数整体加3，故平移后解析式为y=（x+2）2+3.
3．（2025九上·诸暨月考）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球.从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从布袋里任意摸出1个球有7种等可能结果，其中是白球的有4种结果，
∴从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为.
故答案为：D.
【分析】利用白球的个数除以球的总数即可求出对应的概率.
4．（2025九上·诸暨月考）抛物线与坐标轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∵时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3，
故答案为：D．
【分析】对于二次函数y=ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0），当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当b2-4ac=0时抛物线与x轴有1个交点；当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，据此计算判别式的值判断出抛物线与x轴交点个数，进而令函数解析式中x=0算出对应的函数值，可得其与y轴交点坐标，综上，可判断抛物线的图象与坐标轴的交点个数．
5．（2025九上·诸暨月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的垂直平分线交点即为的外心，
的外心坐标是，
故选：D．
【分析】
此题考查了三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），先分析AB和BC的垂直平分线，两线交点即为外心，根据坐标系即可得到外心坐标（1，2）.
6．（2025九上·诸暨月考）若二次函数的图象经过原点，则为（　　）
A．0 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，
得，整理得，
解得，
∵该函数为二次函数，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
【分析】
本题考查二次函数的定义，即二次项系数不为0，且图像经过原点（0，0）.将（0，0）代入解析式，解得，又因二次项系数不为0，故m=2.
7．（2025九上·诸暨月考）已知二次函数的变量，的部分对应值如表：
x … 0 1 …
y … 1 1 …
根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：当时，；当时，，
方程的一个近似根的范围是，
故答案为：C．
【分析】利用表中数据可知在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围．
8．（2025九上·诸暨月考）若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】
解：∵点，，经过
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴
故选：B．
【分析】
本题考查二次函数值的比较大小，此类问题，直接代入解析式计算后比较是最直接的方法，需注意计算的准确性，本题把，，代入二次函数中，比较，，即可．
9．（2025九上·诸暨月考）在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】A、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故选项不符合题意；
B、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
C、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
D、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次函数图象的位置可得a、b的值的取值范围，再判断反比例函数的图象解题即可．
10．（2025九上·诸暨月考）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①； ②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的为（　　）
A．①② B．③④ C．②④ D．②⑤
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意知，，，
∴，
∴，①错误，故不符合要求；
当时，，
∴，②正确，故符合要求；
∵有两个不同的实数根，
∴，即，③错误，故不符合要求；
当时，二次函数的函数值最大，
∴，即，④正确，故符合要求；
如图，的图象在轴的上方，
∵方程有四个根，从小到大依次记为，
∴，均关于直线对称，
∴这四个根的和为4，⑤错误，故不符合要求；
故选：C．
【分析】
观察图象知，抛物线的开口向下则，抛物线交轴于正半轴则，抛物线的对称轴为则，即，则结论①正确；
由于抛物线在对称轴的左侧与轴的交点介于和之间，则当时，，可得，故结论②正确；
由于抛物线与与轴有2个不同的交点则，故结论③正确；
由于抛物线开口向下且的顶点的横坐标为，则当时，二次函数的函数值最大，则，整理可得结论④正确；
如图，把抛物线关于轴下方的部分沿轴折叠可得函数，则其图象仍关于直线对称，显然函数图象与直线有4个交点，且其横坐标的和等于，故结论⑤正确．
11．（2025九上·诸暨月考）二次函数的顶点坐标是 　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
12．（2025九上·诸暨月考）半径为，点A到圆心O距离为，则A在　 　．（填“上”、“外”或“内”）
【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径，点到圆心的距离，
∴，
∴点在内，
故答案为：内．
【分析】根据点与圆的位置关系，设的半径为r，点到圆心的距离为，则有：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内，据此即可得到答案.
13．（2025九上·诸暨月考）“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”是诸暨著名的旅游景点，若小明从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示，
根据题意，列出表格如下：
A B C D
A B，A C，A D，A
B A，B C，B D，B
C A，C B，C D，C
D A，D B，D C，D
一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种，
这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是．
故答案为：.
【分析】设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示，此题是抽取不放回类型，根据题意用表格列举出所有等可能的情况数，由表可知可得一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
14．（2025九上·诸暨月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：依题意，设这个二次函数图象与x轴另一个交点的横坐标为，
∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴，
解饿，
则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是，
故答案为：，
【分析】
本题考查了二次函数的图象性质以及对称性，二次函数图象是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，利用对称轴与交点横坐标关系快速建立方程求解，即可得到与x轴另一个交点的坐标.
15．（2025九上·诸暨月考）已知二次函数（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】 2≤a＜4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y＝（x a 1）（x a＋1） 2a＋9
＝x2 2ax＋a2 2a＋8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴Δ＝（ 2a）2 4（a2 2a＋8）＜0，
解得a＜4；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线开口向上，且当x＜ 2时，y随x的增大而减小，
∴a≥ 2，
∴实数a的取值范围是 2≤a＜4．
故答案为： 2≤a＜4．
【分析】对于二次函数y=ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0），当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当b2-4ac=0时抛物线与x轴有1个交点；当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，据此先将所给的二次函数整理成一般形式，再结合题意列出关于字母a的不等式，求解得a＜4；然后由抛物线的对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线x=a，结合抛物线开口向上及增减性可得a≥ 2，从而得出结论．
16．（2025九上·诸暨月考）已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为　 　．
【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；直角三角形斜边上的中线；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
【分析】
本题综合考查二次函数的性质、直角三角形的判定与性质以及坐标对称，需要结合相关知识点分情况讨论，同时运用坐标对称和二次函数的顶点式，准确表示各点坐标并建立方程.具体的分两种情况：第一种若∠BAC=90°，则OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；第二种若∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
17．（2025九上·诸暨月考）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹）
（1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形；
（2）求出的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积为：．
【知识点】作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质分别作出点A、B、C绕点B顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）结合方格纸的特点，利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积，列式计算即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）的面积为：．
18．（2025九上·诸暨月考）已知二次函数的图象经过两点．
（1）求的值．
（2）试判断点是否在此函数的图象上．
【答案】解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q，
得，
解得：，
∴p，q的值分别为-3，1；
（2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5，
∴点P（-1，2）不在此函数的图象上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入 ，即可求出p，q的值；
（2）利用p、q的值写出解析式，把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
19．（2025九上·诸暨月考）柯桥瓜渚湖北岸公园，准备美化景区，特考察了一批郁金香移植的成活率，并绘制了如图所示的统计图．
（1）估计牡丹成活概率为____________．（精确到0.01）
（2）该规划共需成活19000株牡丹，估计购买多少株？
【答案】（1）0.95
（2）解：设购买x株，
根据题意得
解得，
答：估计购买20000株．
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）根据统计图，牡丹成活的频率稳定在0.95附近，
所以估计成活概率为0.95；
故答案为：0.95；
【分析】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，这个固定值可作为概率的估计值
（1）从统计图中可见郁金香成活频率稳定在0.95附近，据此估计成活概率；
（2）设购买x株，利用成活株树=购买株树×成活概率的关系，得到方程，求解即可．
20．（2025九上·诸暨月考）山下湖·世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为A，B，C，D，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．
（1）若随机抽取一张，求抽到卡片A的概率；
（2）若小张随机抽取一张，记录后放回，搅匀，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽取的卡片中，一张是A，一张是B的概率．
【答案】（1）解：共有4种等可能的结果，A有1种，
故抽到卡片的概率为．
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种，
∴两次恰好选中和的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取一张共有4种等可能的结果数，其中能抽取到A的只有1种，从而根据概率公式计算即可；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意利用表格列举出所有等可能的结果数，由表可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
（1）解：共有4种等可能的结果，A有1种，
故抽到卡片的概率为．
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种，
∴两次恰好选中和的概率．
21．（2025九上·诸暨月考）掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分10分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．
【答案】（1）解：∵抛物线顶点为设函数表达式为，
∵抛物线过点
∴，
解得，
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）解：令，即解得，不合题意，舍去，
∵，
∴该男生在此项考试中得满分．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（）根据二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数表达式； ；
（）根据题意只需求得抛物线与x轴的交点的横坐标（负值舍去），然后与比较大小即可，
（1）解：∵抛物线顶点为
设函数表达式为，
∵抛物线过点
∴，
解得，
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）解：令，即
解得，不合题意，舍去，
∵，
∴该男生在此项考试中得满分．
22．（2025九上·诸暨月考）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C．
（1）求m和n的值；
（2）当时，求的取值范围；
（3）请直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点、，
∴，，
解得：．
（2）解：由（1）可知，，
∵二次函数的图象过点，，
则，
解得：，
∴，
∵，
∴当时，有最小值；
当时，有最大值0；
∴当时，．
（3）解：当y1＜y2时，或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（3）解：一次函数与二次函数的图象相交于点、，
∴由函数图象可得：当时，自变量x的取值范围或．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特点，将点、代入可得关于字母m、n的方程，求解即可得出m、n的值；
（2）根据（1）可得点A（-1，0），点B（2，-3），根据抛物线上点的坐标特点，将点A、B的坐标分别代入可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，从而得到抛物线的解析式，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）求当y1＜y2时，自变量x的取值范围，从图象角度看，就是确定一次函数的图象在二次函数的图象上方部分所对的自变量的取值范围，结合A、B两点的横坐标可得答案.．
（1）解：∵一次函数的图象过点、，
∴，，解得：．
（2）解：由（1）可知，，
∵二次函数的图象过点，，
则，解得：，
∴，
∵，
∴当时，有最小值；
当时，有最大值0；
∴当时，．
（3）解：一次函数与二次函数的图象相交于点、，
∴由函数图象可得：当时，自变量x的取值范围或．
23．（2025九上·诸暨月考）【项目】小车沿斜面运动中路程与时间的关系．
图1是小车从斜面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米．小温和小明共同填写了如下实验记录表．
（秒） 0 2 3 …
（分米） 0 4 9 …
（1）小温发现，路程与时间可采用一次函数，反比例函数，二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图2中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出关于的函数表达式．
（2）若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个秒和第二个秒通过的路程．
（3）小明说：把单位时间设为1秒，还可以研究第秒内通过的路程（分米）与第秒之间的函数关系．请写出路程（分米）与第秒之间的函数关系，并通过计算说明理由．
【答案】（1）解：将题中给出的实验数据在图中描点，依次连接各点，如图所示：
这条线不是直线，所以不是一次函数，
这条线过原点，所以不是反比例函数，
所以可以采用的函数模型是二次函数，
设路程与时间的函数关系式为：，
将，，代入，得，
解得，
∴路程与时间的函数关系式为．
（2）解：当时，（分米），
当时，（分米），
∴第个秒小车通过的路程为（分米）．
（3）解：∵，
∴第秒通过的路程．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；列一次函数关系式；描点法画函数图象；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据，将t的值作为点的横坐标，s的值作为点的纵坐标，在图中描出各点，再用平滑的按自变量从小到大顺次连接起来，根据所得函数图象的形状即可判断采用的函数模型，再利用待定系数法求出关于的函数表达式即可；
（2）把t=5与t=10分别代入（1）所求的函数解析式，算出对应的s的值，再作差即可得答案；
（3）根据第秒通过的路程等于前秒通过的路程减去前秒通过的路程列式化简即可解答．
（1）解：将题中给出的实验数据在图中描点，依次连接各点，如图所示：
这条线不是直线，所以不是一次函数，
这条线过原点，所以不是反比例函数，
所以可以采用的函数模型是二次函数，
设路程与时间的函数关系式为：，
将，，代入，得，
解得，
∴路程与时间的函数关系式为．
（2）解：当时，（分米），
当时，（分米），
∴第个秒小车通过的路程为（分米）．
（3）解：∵，
∴第秒通过的路程．
24．（2025九上·诸暨月考）已知二次函数．
（1）若它的图像经过点，求该函数的对称轴．
（2）若时，y的最小值为1，求出t的值．
（3）如果，两点都在这个二次函数的图象上，直线与该二次函数交于，两点，则是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：将点代入二次函数，得
，
解得：，
对称轴直线为：
．
（2）解：当时，，∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，有最大值，
∵时，的最小值为1，
∴当时，，
解得：．
（3）解：是定值，理由：
∵，两点都在这个二次函数的图象上，
，
令，整理得：
，
∵直线与该二次函数交于，两点，
∴是方程的两个根，
是定值．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将代入解析式求出t值，然后利用对称轴公式解题即可；
（2）由抛物线开口向下，根据最小值列方程求出t值即可；
（3）先根据对称轴公式得出然后联立一次函数与二次函数解析式化为一般式，然后根据根与系数的关系解题即可．
1 / 1浙江省诸暨市浣东初级中学2025－2026学年上学期9月份阶段性测试九年级数学试题卷
1．（2025九上·诸暨月考）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和为
B．打开电视机正在播放广告
C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球
D．抛一枚硬币正面向上
2．（2025九上·诸暨月考）二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得函数解析式为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九上·诸暨月考）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球.从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·诸暨月考）抛物线与坐标轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2025九上·诸暨月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·诸暨月考）若二次函数的图象经过原点，则为（　　）
A．0 B．2 C． D．
7．（2025九上·诸暨月考）已知二次函数的变量，的部分对应值如表：
x … 0 1 …
y … 1 1 …
根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·诸暨月考）若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·诸暨月考）在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·诸暨月考）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①； ②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的为（　　）
A．①② B．③④ C．②④ D．②⑤
11．（2025九上·诸暨月考）二次函数的顶点坐标是 　 　．
12．（2025九上·诸暨月考）半径为，点A到圆心O距离为，则A在　 　．（填“上”、“外”或“内”）
13．（2025九上·诸暨月考）“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”是诸暨著名的旅游景点，若小明从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是　 　．
14．（2025九上·诸暨月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是　 　．
15．（2025九上·诸暨月考）已知二次函数（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是　 　．
16．（2025九上·诸暨月考）已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为　 　．
17．（2025九上·诸暨月考）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹）
（1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形；
（2）求出的面积．
18．（2025九上·诸暨月考）已知二次函数的图象经过两点．
（1）求的值．
（2）试判断点是否在此函数的图象上．
19．（2025九上·诸暨月考）柯桥瓜渚湖北岸公园，准备美化景区，特考察了一批郁金香移植的成活率，并绘制了如图所示的统计图．
（1）估计牡丹成活概率为____________．（精确到0.01）
（2）该规划共需成活19000株牡丹，估计购买多少株？
20．（2025九上·诸暨月考）山下湖·世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为A，B，C，D，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．
（1）若随机抽取一张，求抽到卡片A的概率；
（2）若小张随机抽取一张，记录后放回，搅匀，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽取的卡片中，一张是A，一张是B的概率．
21．（2025九上·诸暨月考）掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分10分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．
22．（2025九上·诸暨月考）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C．
（1）求m和n的值；
（2）当时，求的取值范围；
（3）请直接写出当时，自变量的取值范围．
23．（2025九上·诸暨月考）【项目】小车沿斜面运动中路程与时间的关系．
图1是小车从斜面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米．小温和小明共同填写了如下实验记录表．
（秒） 0 2 3 …
（分米） 0 4 9 …
（1）小温发现，路程与时间可采用一次函数，反比例函数，二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图2中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出关于的函数表达式．
（2）若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个秒和第二个秒通过的路程．
（3）小明说：把单位时间设为1秒，还可以研究第秒内通过的路程（分米）与第秒之间的函数关系．请写出路程（分米）与第秒之间的函数关系，并通过计算说明理由．
24．（2025九上·诸暨月考）已知二次函数．
（1）若它的图像经过点，求该函数的对称轴．
（2）若时，y的最小值为1，求出t的值．
（3）如果，两点都在这个二次函数的图象上，直线与该二次函数交于，两点，则是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，符合题意；
B、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件，不符合题意；
D、抛一枚硬币正面向上，是随机事件，不符合题意；
故选A．
【分析】一定发生或一定不发生的事件为必然事件，由此即可判断.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y=x2的图象向左平移2个单位得到y=（x+2）2，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=（x+2）2的图象向上平移3个单位可得到函数y=（x+2）2+3，
故选：B
【分析】
本题考查的是二次函数的平移规律，即“左加右减，上加下减”；向左平移2个单位，自变量x变为x+2；向上平移3个单位，函数整体加3，故平移后解析式为y=（x+2）2+3.
3．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从布袋里任意摸出1个球有7种等可能结果，其中是白球的有4种结果，
∴从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为.
故答案为：D.
【分析】利用白球的个数除以球的总数即可求出对应的概率.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∵时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3，
故答案为：D．
【分析】对于二次函数y=ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0），当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当b2-4ac=0时抛物线与x轴有1个交点；当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，据此计算判别式的值判断出抛物线与x轴交点个数，进而令函数解析式中x=0算出对应的函数值，可得其与y轴交点坐标，综上，可判断抛物线的图象与坐标轴的交点个数．
5．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的垂直平分线交点即为的外心，
的外心坐标是，
故选：D．
【分析】
此题考查了三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），先分析AB和BC的垂直平分线，两线交点即为外心，根据坐标系即可得到外心坐标（1，2）.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，
得，整理得，
解得，
∵该函数为二次函数，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
【分析】
本题考查二次函数的定义，即二次项系数不为0，且图像经过原点（0，0）.将（0，0）代入解析式，解得，又因二次项系数不为0，故m=2.
7．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：当时，；当时，，
方程的一个近似根的范围是，
故答案为：C．
【分析】利用表中数据可知在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围．
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】
解：∵点，，经过
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴
故选：B．
【分析】
本题考查二次函数值的比较大小，此类问题，直接代入解析式计算后比较是最直接的方法，需注意计算的准确性，本题把，，代入二次函数中，比较，，即可．
9．【答案】D
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】A、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故选项不符合题意；
B、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
C、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
D、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次函数图象的位置可得a、b的值的取值范围，再判断反比例函数的图象解题即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意知，，，
∴，
∴，①错误，故不符合要求；
当时，，
∴，②正确，故符合要求；
∵有两个不同的实数根，
∴，即，③错误，故不符合要求；
当时，二次函数的函数值最大，
∴，即，④正确，故符合要求；
如图，的图象在轴的上方，
∵方程有四个根，从小到大依次记为，
∴，均关于直线对称，
∴这四个根的和为4，⑤错误，故不符合要求；
故选：C．
【分析】
观察图象知，抛物线的开口向下则，抛物线交轴于正半轴则，抛物线的对称轴为则，即，则结论①正确；
由于抛物线在对称轴的左侧与轴的交点介于和之间，则当时，，可得，故结论②正确；
由于抛物线与与轴有2个不同的交点则，故结论③正确；
由于抛物线开口向下且的顶点的横坐标为，则当时，二次函数的函数值最大，则，整理可得结论④正确；
如图，把抛物线关于轴下方的部分沿轴折叠可得函数，则其图象仍关于直线对称，显然函数图象与直线有4个交点，且其横坐标的和等于，故结论⑤正确．
11．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
12．【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径，点到圆心的距离，
∴，
∴点在内，
故答案为：内．
【分析】根据点与圆的位置关系，设的半径为r，点到圆心的距离为，则有：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内，据此即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示，
根据题意，列出表格如下：
A B C D
A B，A C，A D，A
B A，B C，B D，B
C A，C B，C D，C
D A，D B，D C，D
一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种，
这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是．
故答案为：.
【分析】设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示，此题是抽取不放回类型，根据题意用表格列举出所有等可能的情况数，由表可知可得一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：依题意，设这个二次函数图象与x轴另一个交点的横坐标为，
∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴，
解饿，
则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是，
故答案为：，
【分析】
本题考查了二次函数的图象性质以及对称性，二次函数图象是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，利用对称轴与交点横坐标关系快速建立方程求解，即可得到与x轴另一个交点的坐标.
15．【答案】 2≤a＜4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y＝（x a 1）（x a＋1） 2a＋9
＝x2 2ax＋a2 2a＋8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴Δ＝（ 2a）2 4（a2 2a＋8）＜0，
解得a＜4；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线开口向上，且当x＜ 2时，y随x的增大而减小，
∴a≥ 2，
∴实数a的取值范围是 2≤a＜4．
故答案为： 2≤a＜4．
【分析】对于二次函数y=ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0），当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当b2-4ac=0时抛物线与x轴有1个交点；当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，据此先将所给的二次函数整理成一般形式，再结合题意列出关于字母a的不等式，求解得a＜4；然后由抛物线的对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线x=a，结合抛物线开口向上及增减性可得a≥ 2，从而得出结论．
16．【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；直角三角形斜边上的中线；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
【分析】
本题综合考查二次函数的性质、直角三角形的判定与性质以及坐标对称，需要结合相关知识点分情况讨论，同时运用坐标对称和二次函数的顶点式，准确表示各点坐标并建立方程.具体的分两种情况：第一种若∠BAC=90°，则OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；第二种若∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
17．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积为：．
【知识点】作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质分别作出点A、B、C绕点B顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）结合方格纸的特点，利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积，列式计算即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）的面积为：．
18．【答案】解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q，
得，
解得：，
∴p，q的值分别为-3，1；
（2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5，
∴点P（-1，2）不在此函数的图象上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入 ，即可求出p，q的值；
（2）利用p、q的值写出解析式，把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
19．【答案】（1）0.95
（2）解：设购买x株，
根据题意得
解得，
答：估计购买20000株．
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）根据统计图，牡丹成活的频率稳定在0.95附近，
所以估计成活概率为0.95；
故答案为：0.95；
【分析】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，这个固定值可作为概率的估计值
（1）从统计图中可见郁金香成活频率稳定在0.95附近，据此估计成活概率；
（2）设购买x株，利用成活株树=购买株树×成活概率的关系，得到方程，求解即可．
20．【答案】（1）解：共有4种等可能的结果，A有1种，
故抽到卡片的概率为．
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种，
∴两次恰好选中和的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取一张共有4种等可能的结果数，其中能抽取到A的只有1种，从而根据概率公式计算即可；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意利用表格列举出所有等可能的结果数，由表可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
（1）解：共有4种等可能的结果，A有1种，
故抽到卡片的概率为．
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种，
∴两次恰好选中和的概率．
21．【答案】（1）解：∵抛物线顶点为设函数表达式为，
∵抛物线过点
∴，
解得，
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）解：令，即解得，不合题意，舍去，
∵，
∴该男生在此项考试中得满分．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（）根据二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数表达式； ；
（）根据题意只需求得抛物线与x轴的交点的横坐标（负值舍去），然后与比较大小即可，
（1）解：∵抛物线顶点为
设函数表达式为，
∵抛物线过点
∴，
解得，
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）解：令，即
解得，不合题意，舍去，
∵，
∴该男生在此项考试中得满分．
22．【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点、，
∴，，
解得：．
（2）解：由（1）可知，，
∵二次函数的图象过点，，
则，
解得：，
∴，
∵，
∴当时，有最小值；
当时，有最大值0；
∴当时，．
（3）解：当y1＜y2时，或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（3）解：一次函数与二次函数的图象相交于点、，
∴由函数图象可得：当时，自变量x的取值范围或．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特点，将点、代入可得关于字母m、n的方程，求解即可得出m、n的值；
（2）根据（1）可得点A（-1，0），点B（2，-3），根据抛物线上点的坐标特点，将点A、B的坐标分别代入可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，从而得到抛物线的解析式，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）求当y1＜y2时，自变量x的取值范围，从图象角度看，就是确定一次函数的图象在二次函数的图象上方部分所对的自变量的取值范围，结合A、B两点的横坐标可得答案.．
（1）解：∵一次函数的图象过点、，
∴，，解得：．
（2）解：由（1）可知，，
∵二次函数的图象过点，，
则，解得：，
∴，
∵，
∴当时，有最小值；
当时，有最大值0；
∴当时，．
（3）解：一次函数与二次函数的图象相交于点、，
∴由函数图象可得：当时，自变量x的取值范围或．
23．【答案】（1）解：将题中给出的实验数据在图中描点，依次连接各点，如图所示：
这条线不是直线，所以不是一次函数，
这条线过原点，所以不是反比例函数，
所以可以采用的函数模型是二次函数，
设路程与时间的函数关系式为：，
将，，代入，得，
解得，
∴路程与时间的函数关系式为．
（2）解：当时，（分米），
当时，（分米），
∴第个秒小车通过的路程为（分米）．
（3）解：∵，
∴第秒通过的路程．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；列一次函数关系式；描点法画函数图象；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据，将t的值作为点的横坐标，s的值作为点的纵坐标，在图中描出各点，再用平滑的按自变量从小到大顺次连接起来，根据所得函数图象的形状即可判断采用的函数模型，再利用待定系数法求出关于的函数表达式即可；
（2）把t=5与t=10分别代入（1）所求的函数解析式，算出对应的s的值，再作差即可得答案；
（3）根据第秒通过的路程等于前秒通过的路程减去前秒通过的路程列式化简即可解答．
（1）解：将题中给出的实验数据在图中描点，依次连接各点，如图所示：
这条线不是直线，所以不是一次函数，
这条线过原点，所以不是反比例函数，
所以可以采用的函数模型是二次函数，
设路程与时间的函数关系式为：，
将，，代入，得，
解得，
∴路程与时间的函数关系式为．
（2）解：当时，（分米），
当时，（分米），
∴第个秒小车通过的路程为（分米）．
（3）解：∵，
∴第秒通过的路程．
24．【答案】（1）解：将点代入二次函数，得
，
解得：，
对称轴直线为：
．
（2）解：当时，，∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，有最大值，
∵时，的最小值为1，
∴当时，，
解得：．
（3）解：是定值，理由：
∵，两点都在这个二次函数的图象上，
，
令，整理得：
，
∵直线与该二次函数交于，两点，
∴是方程的两个根，
是定值．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将代入解析式求出t值，然后利用对称轴公式解题即可；
（2）由抛物线开口向下，根据最小值列方程求出t值即可；
（3）先根据对称轴公式得出然后联立一次函数与二次函数解析式化为一般式，然后根据根与系数的关系解题即可．
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