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九龙坡等五区高 2026 届高三半期考试
数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知全集 ，则
A. B. C. D.
2. 已知 ,下列各式中正确的是
A. B. C. D.
3. 从小到大排列的一组数据: ,若这组数据的第 50 百分位数与平均数相同,则 的值为
A. 98 B. 104 C. 106 D. 108
4. 设等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则
A. 530 B. 430 C. 265 D. 215
5. 在平行四边形 中, 分别是 的中点,点 在线段 上,且 ,若 ,则
A. B. c. D.
6. 已知不等式 的解集为 或 ,则 的解集为
A. B.
C. D.
7. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 成立的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知 ,若正实数 满足 ,则 的最小值为
A. B. C. D.
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知随机变量 服从正态分布 ,则下列说法正确的是
A.
B. 当 时,
C.
D. 随机变量 落在 与落在 的概率相等
10. 已知函数 相邻对称轴间的距离为 ，则下列说法正确的是
A.
B.
C. 当 时, 的取值范围是
D. 若函数 在 上有 3 个零点,则 的取值范围是
11. 已知定义域均为 的函数 ， 满足 ， ， ,若 ,则下列说法正确的是
A. g（x） 的图象关于原点对称
B. f（x）的图象关于 轴对称
C.
D.
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 均为单位向量,且 ,则 的夹角为_____.
13. 已知 为锐角,且 ,则 _____.
14. 设 是函数 的极值点,数列 满足 , ,若 表示不超过 的最大整数,则 的值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，线段 上一点 满足 ，求 的长.
16. 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域. 某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各 100 人进行调查, 调查结果如下表:
关注 不关注 合计
男生 75 25 100
女生 55 45 100
合计 130 70 200
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关
(2)为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择:
方案一:回答 4 个问题，至少答对 3 个问题才能晋级；
方案二: 在 4 个问题中随机选择 2 个问题作答, 都答对才能晋级.
已知该校学生甲答对这 4 个问题的概率分别为 ,学生甲回答这 4 个问题正确与否相互独立, 则学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大 请说明理由. 参考公式及参考数据:
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
17. 已知函数 . ( 是自然对数的底数, )
(1)若 ，求 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 ，由 组成有序实数对 ，现从这些有序实数对中随机抽取一对得到函数 ,求使得 恰有两个零点的概率.
18. 设数列 的前 项和为 且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 是等比数列，其中 ， ,若 ,求正整数 的取值范围.
19. 已知函数 .
(1)当 时，
① 求 的最小值；
② 设 ，求证: ；
(2)设 ， ， 是 的两个极值点，求证: .

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