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广东省深圳市坪山实验学校、桂园中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025九上·坪山月考）方程x（x-1）=0 的根是（　　）
A．x=0 B．x=1 C．x1=0，x2=-1 D．x1=0，x2=1
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x（x-1）=0
∴x=0或x-1=0
∴x=0或x=1
故答案为：D
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
2．（2025九上·坪山月考）用配方法解方程x2-4x-3=0，则配方正确的是（　　）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=1 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=7
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-3=0
∴x2-4x+4=3+4
∴（x-2）2=7
故答案为：A
【分析】根据配方法化简即可求出答案.
3．（2025九上·坪山月考）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（　　）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，A不符合题意；
B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可。
4．（2025九上·坪山月考）某数学兴趣小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图象可得，事件发生的概率约为0.16
A：掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
B：掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6的概率为，符合题意；
C：在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率为，不符合题意；
D：袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据图象可得事件发生的概率约为0.16，再逐项计算各选项事件发生的概率即可求出答案.
5．（2025九上·坪山月考） “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案则点D，B'之间的距离为（　　）
A． B． C．2cm D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为边长为2cm的正方形
∴cm
由平移性质可得BB'=1cm
∴B'D=
故答案为：A
【分析】根据勾股定理可得BD，再根据平移性质可得BB'，再根据边之间的关系即可求出答案.
6．（2025九上·坪山月考） 已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程；整体思想
【解析】【解答】解：令x+3=t
则方程即为at2+bt-c=0
∵方程的解是，
∴方程at2+bt-c=0的解为，
∴x+3=1或x+3=-3
解得：，
∴方程的解，
故答案为：B
【分析】令x+3=t，由题意可得方程at2+bt-c=0的解为，，则x+3=1或x+3=-3，再解方程即可求出答案.
7．（2025九上·坪山月考） 在 2025 年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元，调查发现：当销售价为 2900 元时，平均每天能销售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价 x 元，根据题意，可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每台冰箱定价 x 元
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设每台冰箱定价 x 元，根据题意建立方程即可求出答案.
8．（2025九上·坪山月考）在如图所示的□ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF=CH，则下列为定值的是）
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接EG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∵E，G分别为边AD，BC的中点
∴AE=DE=BG=CG
∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形
∴
∴
∴四边形EFGH的面积是定值
故答案为：C
【分析】连接EG，根据平行四边形性质可得AD=BC，AD∥BC，根据线段中点可得AE=DE=BG=CG，再根据平行四边形判定定理可得四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形，再根据图形面积之间的俄关系即可求出答案.
9．（2025九上·坪山月考）已知a是方程x2+3x-5=0的一个实数根，则a2+3a+2025的值为　 　.
【答案】2030
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将x=a代入方程可得：
a2+3a-5=0，即a2+3a=5
∴a2+3a+2025=5+2025=2030
故答案为：2030
【分析】将x=a代入方程可得a2+3a=5，再整体代入代数式即可求出答案.
10．（2025九上·坪山月考）如图（1），在面积为64cm2的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图（2）所示，小亮由此估计阴影部分面积约为　 　cm2.
【答案】22.4
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由2可得：
该点落在阴影上的概率约为0.35
∴阴影部分面积约为64×0.35=22.4
故答案为：22.4
【分析】根据频率估计概率，结合概率公式即可求出答案.
11．（2025九上·坪山月考） 图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶. 如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）. 已知，，当千斤顶升高　 　cm时，四边形ABCD为正方形. （参考数据：，，结果保留整数）
【答案】17
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB=40
∴AD=CD=AB=40
连接AC
∵∠ADC=60°
∴△ACD是等边三角形
∴AC=AD=40
如图，四边形ABCD是正方形，则∠ADC=90°
∴
∴56.56-40=16.56≈17
∴当千斤顶升高17cm时，四边形ABCD为正方形
故答案为：17
【分析】根据菱形性质可得AD=CD=AB=40，根据等边三角形判定定理可得△ACD是等边三角形，则AC=AD=40，当四边形ABCD是正方形时，∠ADC=90°，根据勾股定理可得AC，再作差求出升高的高度，即可求出答案.
12．（2025九上·坪山月考） 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根. 若利用以上方法解关于x的一元二次方程时，如果构造后的图形满足AD = 2BD，则m的值为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵AD=2BD
∴AD=m
即m就是x2+mx=36的一个正根
∴m2+m2=36
解得：(负值舍去)
故答案为：
【分析】由题意可得：，根据边之间的关系可得AD=m，即m就是x2+mx=36的一个正根，将x=m代入方程，解方程即可求出答案.
13．（2025九上·坪山月考） 如图，正方形 ABCD与正方形 AEFG，M，N分别是 AB，CD的中点，当点 F 落在线段 MN 上时，点 G恰好在 ED上．记正方形 AEFG的边长为 m，正方形 ABCD的边长为 n，则 　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接DF，过点G作GH⊥MN，HG的延长线交AD于点K
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC，AB∥CD
∵M，N分别是 AB，CD的中点
∴DN=BM，CN=BM
∴四边形BCNM，四边形ADNM都为矩形
∵HK⊥MN，AD∥BC
∴HK⊥AD
∴四边形KDNH，四边形AKHM都是矩形
设GK=a，DN=b，则a>0，b>0，HN=DK
∴CD=AD=2b，HK=DN=b
∴HG=HK-GK=b-a
∵∠GHF=∠AKG=90°
∴∠HGF+∠HFG=90°
∵四边形AEFG是正方形
∴FG=AG，∠AGF=90°
∵∠HGF+∠KGA=90°
∴∠HFG=∠KGA
∴△HFG≌△KGA(AAS)
∴HG=AK=b-a，FH=GK=a
∴HN=DK=AD-AK=b+a
∴FN=HN+FH=b+2a
∵四边形AEFG是正方形，AF是对角线
∴DE是AF的垂直平分线
∴FD=AD=2b
在Rt△FDH中，由勾股定理可得：FD2=DN2+FN2
∴(2b)2=b2+(b+2a)2
整理得：b2-2ab-2a2=0
解得：或(舍去)
∴
∴正方形AEFG的面积m=AG2=4a2
∵
∴正方形ACD的面积
∴
故答案为：
【分析】连接DF，过点G作GH⊥MN，HG的延长线交AD于点K，根据正方形性质可得AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC，AB∥CD，再根据线段中点可得DN=BM，CN=BM，根据矩形判定定理可得四边形BCNM，四边形ADNM都为矩形，则HK⊥MN，AD∥BC，根据直线平行性质可得HK⊥AD，再根据矩形判定定理可得四边形KDNH，四边形AKHM都是矩形，设GK=a，DN=b，则a>0，b>0，HN=DK，CD=AD=2b，HK=DN=b，根据边之间的关系可得HG，根据正方形性质可得FG=AG，∠AGF=90°，再根据角之间的关系可得∠HFG=∠KGA，根据全等三角形判定定理可得△HFG≌△KGA(AAS)，则HG=AK=b-a，FH=GK=a，再根据边之间的关系可得HN，FN，根据正方性质可得FD=AD=2b，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，再根据正方形面积求出n，m，再代入代数式化简即可求出答案.
14．（2025九上·坪山月考）解一元二次方程x2-2x=3时，两位同学的解法如下
甲同学： x2-2x=3 x（x-2）=3 x=1或x-2=3 x1=1或x2=5 乙同学： a=l，b=-2，c=3 b2-4ac=4-12=-8， .b2-4ac<0， ：此方程无实数根.
（1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果。
甲同学的解法　 　，乙同学的解法　 　（填“正确”或者“不正确”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程2x（x-2）=1.
【答案】（1）不正确；不正确
（2）解：解法一： ，
解： ，
，
，
.
解法二： ，
解：
，
，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法及求根公式解方程分别判断即可求出答案.
（2）根据因式分解法及公式法解方程即可求出答案.
15．（2025九上·坪山月考）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位，甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车。
（1）甲停在A区的概率是　 　.
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙停在相同区域的概率。
【答案】（1）
（2）解：(2)解：分别将A、B两个停车区域的空车位记为
A1，A2 ，B1，B2，B3.
A1 A2 B1 B2 B3
A1 　 （A2，A1） （B1，A1） （B2，A1） （B3，A1）
A2 （A1，A2） 　 （B1，A2） （B2，A2） （B3，A2）
B1 （A1，B1） （A2，B2） 　 （B2，B1） （B3，B1）
B2 （A1，B2） （A2，B2） （B1，B2） 　 （B3，B2）
B3 （A1，） （A2，B3） （B1，B3） （B2，B3） 　
由表可知所有可能出现的结果有20种，它们每种出现的可能性相同。
所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件A）的结果有8种，
所以P(A)=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
甲停在A区的概率是
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出满足“甲、乙两人停在相同区域”的结果，再根据概率公式即可求出答案.
16．（2025九上·坪山月考）尺规作图（仅用无刻度的直尺和圆规）：
（1）如图1，小明用尺规分别以□ABCD的点A，B为圆心，AB为半径画圆弧，交AD，BC于点E，F，连接EF.求证：四边形ABFE为菱形.
（2）在图2中，请用尺规在□ABCD的边AD，BC上分别作出点E，F，使四边形ABFE为菱形.（要求：方法与（1）不同，保留作图痕迹，不要求证明）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，即AE//BF，
由作图知AB=AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又AB=BF
∴四边形ABFE是菱形
（2）解：如图，四边形ABFE即为所求作：
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD//BC，即AE//BF，由作图知AB=AE=BF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）分别作∠A与∠B的角平分线，分别交BC于点F，AD于点E，即四边形四边形ABFE为菱形.
17．（2025九上·坪山月考）已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2-2m+3=0，m为常数.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由。
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=4(m+1)2-4x1×(m2-2m+3)=16m-8>0
∴m>
（2）解：假设x=0，则m2-2m+3=0
∴△=4-4×1×3=-8<0.
∴方程没有实数根
∴小明的观点正确···
利用配方的方法同样参照得分。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）假设x=0，则m2-2m+3=0，根据二次方程判别式，可得方程无解.
18．（2025九上·坪山月考）荔枝是广东省的特产之一，请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题。
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝平均每株产量是250千克，2025年达到了360千克，每年的增长率基本相同。
素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖.
素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒.
任务1：求荔枝平均每株产量的年平均增长率；
任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高：
任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），则此时纸盒的高为 ▲ cm.（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）
【答案】解：任务1：设荔枝平均每株产量的年平均增长率为，
由题意得：，
；
，(不符合题意舍去)
答：荔枝平均每株产量的年平均增长率为；
任务2：设裁掉正方形的边长为，由题意得：
，
解得：，(不符合题意舍去)，
答：此时纸盒的高为10cm；
任务3：高为.
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；正多边形的性质；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：任务三：如图，设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为a(cm)，纸盒的高为b(cm)，
∴正六边形的每条边相等，每个内角都为120°，
为等腰三角形， ，
由正六边形的性质可得BE平分 ，
直角三角形 A B G 中， ，
同理可得直角三角形FHE中， ，
左侧小三角形顶点 的角度 ，
左侧小三角形为边长 的等边三角形，
根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直，
为等边三角形的高，
同理可得， ，
四边形AGHF为矩形，
联立（1）（2）式可得 ，
答：纸盒的高为 ．
【分析】任务一：设荔枝平均每株产量的年平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务二：设裁掉正方形的边长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务三：设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为a(cm)，纸盒的高为b(cm)，则正六边形的每条边相等，每个内角都为120°，根据角之间的关系可得，再根据正六边形性质可得BE平分 ，则，根据含30°角的直角三角形性质可得 ，同理可得直角三角形FHE中， ，根据边之间的关系可得，由题意可得 为等边三角形的高，则同理可得， ，根据矩形性质可得，再根据边之间的关系可得，联立（1）（2）式可得 ，即可求出答案.
19．（2025九上·坪山月考）阅读材料：
材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造.例如，若实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根.
方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如若实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根.
根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n，且，满足、，则的值为　 　；
（2）若关于x的方程有两个实数根，，若满足，求的值；
（3）已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值.
【答案】（1）
（2）解：∵方程两个实数根，，若满足，
∴
∴
，无解
或
，
．
（3）解：∵，，
∴将a、b看作是方程的两实数根；
∵，
而，
∴，
∴，
即，
∴c的最大值为1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵实数m、n，且，满足、
∴可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根
∴
故答案为：
【分析】（1）根据题意可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根，再根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）由题意可得，解方程可得 ，再根据二次方程根与系数的关系可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
20．（2025九上·坪山月考）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC>AB，M、N分别是BC、AD上的点（不含端点），AN=x.连接MN，将四边形ABMN沿MN所在直线对折，得到四边形EFMN，点A、B的对应点分别为点E、F.
（1）若BM=2，当∠ANM=90°时，x=　 　；当∠ANM=45°时，x=　 　.
（2）如图2，当点E恰好落在CD的中点，EF交BC于点G，CG=FG，求x的值.
（3）若BC=6，BM=2，当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点时，直接写出x的值。
【答案】（1）2；4
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∵E为CD的中点，
∴，
∵将四边形APMN沿MN翻折，
∴，，，，
在和中
在 Rt 中，根据勾股定理得： ，
设 ，则 ，即 ，
解得：
（3）解： ，，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，将四边形ABMN沿MN所在直线对折，BM=2，
∴∠A=∠B=90°
当∠ANM=90°时，则四边形ABMN为正方形
∴AN=AB=2
当∠ANM=45°时
由折叠性质可得，∠ENM=∠ANM=45°
∴∠ANE=45°+45°=90°
∴∠A=∠B=∠ANE=90°
∴四边形ABPN为矩形
∴∠NPM=90°，NP=AB=2，AN=BP
∵∠MNP=45°，∠NPM=90°
∴△MNP为等腰直角三角形
∴MP=NP=2
∴AN=BP=2+2=4，即x=4
故答案为：2；4
（3）①当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点D时，如图所示：
根据折叠可知：，，，，
，，，
，
，，
，
，
，
，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：
②当顶点C在FE的延长线上时，连接CN，如图所示：
在中，，，，
，
，
，，
在Rt△NEC中，根据勾股定理得：，
在Rt△DNC中，根据勾股定理得：，
，
，
解得：.
③当顶点C在EF的延长线上时，如图所示：
在中，，，，
在中，，，，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，
【分析】（1）根据矩形性质可得∠A=∠B=90°，当∠ANM=90°时，则四边形ABMN为正方形，再根据正方形性质可得x值；当∠ANM=45°时，根据折叠性质可得∠ENM=∠ANM=45°，再根据矩形判定定理可得四边形ABPN为矩形，则∠NPM=90°，NP=AB=2，AN=BP，再根据等腰直角三角形判定定理可得△MNP为等腰直角三角形，则MP=NP=2，再根据折叠性质即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，，，根据线段中点可得，再根据折叠性质可得，，，，再根据全等三角形判定定理可得 ，则，再根据边之间的关系可得BC，设 ，则 ，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点D时，根据折叠可知：，，，，根据全等三角形判定定理可得
，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；②当顶点C在FE的延长线上时，连接CN，根据边之间的关系可得CE，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；③当顶点C在EF的延长线上时，根据边之间的关系可得PF，EP，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市坪山实验学校、桂园中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025九上·坪山月考）方程x（x-1）=0 的根是（　　）
A．x=0 B．x=1 C．x1=0，x2=-1 D．x1=0，x2=1
2．（2025九上·坪山月考）用配方法解方程x2-4x-3=0，则配方正确的是（　　）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=1 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=7
3．（2025九上·坪山月考）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（　　）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
4．（2025九上·坪山月考）某数学兴趣小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
5．（2025九上·坪山月考） “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案则点D，B'之间的距离为（　　）
A． B． C．2cm D．
6．（2025九上·坪山月考） 已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2025九上·坪山月考） 在 2025 年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元，调查发现：当销售价为 2900 元时，平均每天能销售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价 x 元，根据题意，可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2025九上·坪山月考）在如图所示的□ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF=CH，则下列为定值的是）
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
9．（2025九上·坪山月考）已知a是方程x2+3x-5=0的一个实数根，则a2+3a+2025的值为　 　.
10．（2025九上·坪山月考）如图（1），在面积为64cm2的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图（2）所示，小亮由此估计阴影部分面积约为　 　cm2.
11．（2025九上·坪山月考） 图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶. 如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）. 已知，，当千斤顶升高　 　cm时，四边形ABCD为正方形. （参考数据：，，结果保留整数）
12．（2025九上·坪山月考） 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根. 若利用以上方法解关于x的一元二次方程时，如果构造后的图形满足AD = 2BD，则m的值为　 　.
13．（2025九上·坪山月考） 如图，正方形 ABCD与正方形 AEFG，M，N分别是 AB，CD的中点，当点 F 落在线段 MN 上时，点 G恰好在 ED上．记正方形 AEFG的边长为 m，正方形 ABCD的边长为 n，则 　 　．
14．（2025九上·坪山月考）解一元二次方程x2-2x=3时，两位同学的解法如下
甲同学： x2-2x=3 x（x-2）=3 x=1或x-2=3 x1=1或x2=5 乙同学： a=l，b=-2，c=3 b2-4ac=4-12=-8， .b2-4ac<0， ：此方程无实数根.
（1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果。
甲同学的解法　 　，乙同学的解法　 　（填“正确”或者“不正确”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程2x（x-2）=1.
15．（2025九上·坪山月考）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位，甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车。
（1）甲停在A区的概率是　 　.
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙停在相同区域的概率。
16．（2025九上·坪山月考）尺规作图（仅用无刻度的直尺和圆规）：
（1）如图1，小明用尺规分别以□ABCD的点A，B为圆心，AB为半径画圆弧，交AD，BC于点E，F，连接EF.求证：四边形ABFE为菱形.
（2）在图2中，请用尺规在□ABCD的边AD，BC上分别作出点E，F，使四边形ABFE为菱形.（要求：方法与（1）不同，保留作图痕迹，不要求证明）
17．（2025九上·坪山月考）已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2-2m+3=0，m为常数.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由。
18．（2025九上·坪山月考）荔枝是广东省的特产之一，请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题。
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝平均每株产量是250千克，2025年达到了360千克，每年的增长率基本相同。
素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖.
素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒.
任务1：求荔枝平均每株产量的年平均增长率；
任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高：
任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），则此时纸盒的高为 ▲ cm.（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）
19．（2025九上·坪山月考）阅读材料：
材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造.例如，若实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根.
方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如若实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根.
根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n，且，满足、，则的值为　 　；
（2）若关于x的方程有两个实数根，，若满足，求的值；
（3）已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值.
20．（2025九上·坪山月考）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC>AB，M、N分别是BC、AD上的点（不含端点），AN=x.连接MN，将四边形ABMN沿MN所在直线对折，得到四边形EFMN，点A、B的对应点分别为点E、F.
（1）若BM=2，当∠ANM=90°时，x=　 　；当∠ANM=45°时，x=　 　.
（2）如图2，当点E恰好落在CD的中点，EF交BC于点G，CG=FG，求x的值.
（3）若BC=6，BM=2，当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点时，直接写出x的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x（x-1）=0
∴x=0或x-1=0
∴x=0或x=1
故答案为：D
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-3=0
∴x2-4x+4=3+4
∴（x-2）2=7
故答案为：A
【分析】根据配方法化简即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，A不符合题意；
B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图象可得，事件发生的概率约为0.16
A：掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
B：掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6的概率为，符合题意；
C：在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率为，不符合题意；
D：袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据图象可得事件发生的概率约为0.16，再逐项计算各选项事件发生的概率即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为边长为2cm的正方形
∴cm
由平移性质可得BB'=1cm
∴B'D=
故答案为：A
【分析】根据勾股定理可得BD，再根据平移性质可得BB'，再根据边之间的关系即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程；整体思想
【解析】【解答】解：令x+3=t
则方程即为at2+bt-c=0
∵方程的解是，
∴方程at2+bt-c=0的解为，
∴x+3=1或x+3=-3
解得：，
∴方程的解，
故答案为：B
【分析】令x+3=t，由题意可得方程at2+bt-c=0的解为，，则x+3=1或x+3=-3，再解方程即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每台冰箱定价 x 元
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设每台冰箱定价 x 元，根据题意建立方程即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接EG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∵E，G分别为边AD，BC的中点
∴AE=DE=BG=CG
∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形
∴
∴
∴四边形EFGH的面积是定值
故答案为：C
【分析】连接EG，根据平行四边形性质可得AD=BC，AD∥BC，根据线段中点可得AE=DE=BG=CG，再根据平行四边形判定定理可得四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形，再根据图形面积之间的俄关系即可求出答案.
9．【答案】2030
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将x=a代入方程可得：
a2+3a-5=0，即a2+3a=5
∴a2+3a+2025=5+2025=2030
故答案为：2030
【分析】将x=a代入方程可得a2+3a=5，再整体代入代数式即可求出答案.
10．【答案】22.4
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由2可得：
该点落在阴影上的概率约为0.35
∴阴影部分面积约为64×0.35=22.4
故答案为：22.4
【分析】根据频率估计概率，结合概率公式即可求出答案.
11．【答案】17
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB=40
∴AD=CD=AB=40
连接AC
∵∠ADC=60°
∴△ACD是等边三角形
∴AC=AD=40
如图，四边形ABCD是正方形，则∠ADC=90°
∴
∴56.56-40=16.56≈17
∴当千斤顶升高17cm时，四边形ABCD为正方形
故答案为：17
【分析】根据菱形性质可得AD=CD=AB=40，根据等边三角形判定定理可得△ACD是等边三角形，则AC=AD=40，当四边形ABCD是正方形时，∠ADC=90°，根据勾股定理可得AC，再作差求出升高的高度，即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵AD=2BD
∴AD=m
即m就是x2+mx=36的一个正根
∴m2+m2=36
解得：(负值舍去)
故答案为：
【分析】由题意可得：，根据边之间的关系可得AD=m，即m就是x2+mx=36的一个正根，将x=m代入方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接DF，过点G作GH⊥MN，HG的延长线交AD于点K
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC，AB∥CD
∵M，N分别是 AB，CD的中点
∴DN=BM，CN=BM
∴四边形BCNM，四边形ADNM都为矩形
∵HK⊥MN，AD∥BC
∴HK⊥AD
∴四边形KDNH，四边形AKHM都是矩形
设GK=a，DN=b，则a>0，b>0，HN=DK
∴CD=AD=2b，HK=DN=b
∴HG=HK-GK=b-a
∵∠GHF=∠AKG=90°
∴∠HGF+∠HFG=90°
∵四边形AEFG是正方形
∴FG=AG，∠AGF=90°
∵∠HGF+∠KGA=90°
∴∠HFG=∠KGA
∴△HFG≌△KGA(AAS)
∴HG=AK=b-a，FH=GK=a
∴HN=DK=AD-AK=b+a
∴FN=HN+FH=b+2a
∵四边形AEFG是正方形，AF是对角线
∴DE是AF的垂直平分线
∴FD=AD=2b
在Rt△FDH中，由勾股定理可得：FD2=DN2+FN2
∴(2b)2=b2+(b+2a)2
整理得：b2-2ab-2a2=0
解得：或(舍去)
∴
∴正方形AEFG的面积m=AG2=4a2
∵
∴正方形ACD的面积
∴
故答案为：
【分析】连接DF，过点G作GH⊥MN，HG的延长线交AD于点K，根据正方形性质可得AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC，AB∥CD，再根据线段中点可得DN=BM，CN=BM，根据矩形判定定理可得四边形BCNM，四边形ADNM都为矩形，则HK⊥MN，AD∥BC，根据直线平行性质可得HK⊥AD，再根据矩形判定定理可得四边形KDNH，四边形AKHM都是矩形，设GK=a，DN=b，则a>0，b>0，HN=DK，CD=AD=2b，HK=DN=b，根据边之间的关系可得HG，根据正方形性质可得FG=AG，∠AGF=90°，再根据角之间的关系可得∠HFG=∠KGA，根据全等三角形判定定理可得△HFG≌△KGA(AAS)，则HG=AK=b-a，FH=GK=a，再根据边之间的关系可得HN，FN，根据正方性质可得FD=AD=2b，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，再根据正方形面积求出n，m，再代入代数式化简即可求出答案.
14．【答案】（1）不正确；不正确
（2）解：解法一： ，
解： ，
，
，
.
解法二： ，
解：
，
，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法及求根公式解方程分别判断即可求出答案.
（2）根据因式分解法及公式法解方程即可求出答案.
15．【答案】（1）
（2）解：(2)解：分别将A、B两个停车区域的空车位记为
A1，A2 ，B1，B2，B3.
A1 A2 B1 B2 B3
A1 　 （A2，A1） （B1，A1） （B2，A1） （B3，A1）
A2 （A1，A2） 　 （B1，A2） （B2，A2） （B3，A2）
B1 （A1，B1） （A2，B2） 　 （B2，B1） （B3，B1）
B2 （A1，B2） （A2，B2） （B1，B2） 　 （B3，B2）
B3 （A1，） （A2，B3） （B1，B3） （B2，B3） 　
由表可知所有可能出现的结果有20种，它们每种出现的可能性相同。
所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件A）的结果有8种，
所以P(A)=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
甲停在A区的概率是
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出满足“甲、乙两人停在相同区域”的结果，再根据概率公式即可求出答案.
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，即AE//BF，
由作图知AB=AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又AB=BF
∴四边形ABFE是菱形
（2）解：如图，四边形ABFE即为所求作：
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD//BC，即AE//BF，由作图知AB=AE=BF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）分别作∠A与∠B的角平分线，分别交BC于点F，AD于点E，即四边形四边形ABFE为菱形.
17．【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=4(m+1)2-4x1×(m2-2m+3)=16m-8>0
∴m>
（2）解：假设x=0，则m2-2m+3=0
∴△=4-4×1×3=-8<0.
∴方程没有实数根
∴小明的观点正确···
利用配方的方法同样参照得分。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）假设x=0，则m2-2m+3=0，根据二次方程判别式，可得方程无解.
18．【答案】解：任务1：设荔枝平均每株产量的年平均增长率为，
由题意得：，
；
，(不符合题意舍去)
答：荔枝平均每株产量的年平均增长率为；
任务2：设裁掉正方形的边长为，由题意得：
，
解得：，(不符合题意舍去)，
答：此时纸盒的高为10cm；
任务3：高为.
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；正多边形的性质；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：任务三：如图，设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为a(cm)，纸盒的高为b(cm)，
∴正六边形的每条边相等，每个内角都为120°，
为等腰三角形， ，
由正六边形的性质可得BE平分 ，
直角三角形 A B G 中， ，
同理可得直角三角形FHE中， ，
左侧小三角形顶点 的角度 ，
左侧小三角形为边长 的等边三角形，
根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直，
为等边三角形的高，
同理可得， ，
四边形AGHF为矩形，
联立（1）（2）式可得 ，
答：纸盒的高为 ．
【分析】任务一：设荔枝平均每株产量的年平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务二：设裁掉正方形的边长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务三：设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为a(cm)，纸盒的高为b(cm)，则正六边形的每条边相等，每个内角都为120°，根据角之间的关系可得，再根据正六边形性质可得BE平分 ，则，根据含30°角的直角三角形性质可得 ，同理可得直角三角形FHE中， ，根据边之间的关系可得，由题意可得 为等边三角形的高，则同理可得， ，根据矩形性质可得，再根据边之间的关系可得，联立（1）（2）式可得 ，即可求出答案.
19．【答案】（1）
（2）解：∵方程两个实数根，，若满足，
∴
∴
，无解
或
，
．
（3）解：∵，，
∴将a、b看作是方程的两实数根；
∵，
而，
∴，
∴，
即，
∴c的最大值为1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵实数m、n，且，满足、
∴可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根
∴
故答案为：
【分析】（1）根据题意可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根，再根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）由题意可得，解方程可得 ，再根据二次方程根与系数的关系可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
20．【答案】（1）2；4
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∵E为CD的中点，
∴，
∵将四边形APMN沿MN翻折，
∴，，，，
在和中
在 Rt 中，根据勾股定理得： ，
设 ，则 ，即 ，
解得：
（3）解： ，，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，将四边形ABMN沿MN所在直线对折，BM=2，
∴∠A=∠B=90°
当∠ANM=90°时，则四边形ABMN为正方形
∴AN=AB=2
当∠ANM=45°时
由折叠性质可得，∠ENM=∠ANM=45°
∴∠ANE=45°+45°=90°
∴∠A=∠B=∠ANE=90°
∴四边形ABPN为矩形
∴∠NPM=90°，NP=AB=2，AN=BP
∵∠MNP=45°，∠NPM=90°
∴△MNP为等腰直角三角形
∴MP=NP=2
∴AN=BP=2+2=4，即x=4
故答案为：2；4
（3）①当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点D时，如图所示：
根据折叠可知：，，，，
，，，
，
，，
，
，
，
，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：
②当顶点C在FE的延长线上时，连接CN，如图所示：
在中，，，，
，
，
，，
在Rt△NEC中，根据勾股定理得：，
在Rt△DNC中，根据勾股定理得：，
，
，
解得：.
③当顶点C在EF的延长线上时，如图所示：
在中，，，，
在中，，，，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，
【分析】（1）根据矩形性质可得∠A=∠B=90°，当∠ANM=90°时，则四边形ABMN为正方形，再根据正方形性质可得x值；当∠ANM=45°时，根据折叠性质可得∠ENM=∠ANM=45°，再根据矩形判定定理可得四边形ABPN为矩形，则∠NPM=90°，NP=AB=2，AN=BP，再根据等腰直角三角形判定定理可得△MNP为等腰直角三角形，则MP=NP=2，再根据折叠性质即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，，，根据线段中点可得，再根据折叠性质可得，，，，再根据全等三角形判定定理可得 ，则，再根据边之间的关系可得BC，设 ，则 ，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点D时，根据折叠可知：，，，，根据全等三角形判定定理可得
，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；②当顶点C在FE的延长线上时，连接CN，根据边之间的关系可得CE，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；③当顶点C在EF的延长线上时，根据边之间的关系可得PF，EP，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
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