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第7讲 　一元二次方程及其应用
节前复习导图
一元二次方程
及其应用
一元二次
方程及其解法
一元二次方程根
与系数的关系
一元二次方程
根的判别式
一元二次方程
的实际应用
概念
一般形式
解法
概念
一元二次方程
根的情况与
判别式的关系
变化率问题
面积问题
循环赛问题
每每问题
【对接教材】人教：九上P1－P26；
北师：九上P30－P58；
华师：九上P17－P46.
教材知识对点练
考点
1
一元二次方程及其解法
1. 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程
2. 一般形式：
3. 解法
解法 适用情况 注意事项/步骤
直接 开平 方法 (1)当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝
0(a≠0，ac＜0)； (2)形如a(x＋n)2＝m(a≠0，am≥0)的方程 开方后所取值前记得加
“±”号
解法 适用情况 注意事项/步骤
公式 法 适用于所有一元二次方程，求根公式为 (b2－4ac≥0) (1)要先把一元二次方程化为
一般形式，方程的右边一定
要化为0；
(2)确定a，b，c的值时应注
意其符号；
(3)若b2－4ac＜0，则原方程
没有实数根
x＝
解法 适用情况 注意事项/步骤
因式 分解 法 (1)当常数项为0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)； (2)一元二次方程等号的一边为0，且另一边是易于分解成两个一次因式乘积的式子； (3)方程的两边含有相同的因式 对于等号两边含有相同因式的一元二次方程，如2x(x－3)＝3(x－3)，直接约去公因式求解，会导致丢根，应将其化为等号一边为0的形式求解
解法 适用情况 注意事项/步骤
配方 法 (1)二次项系数化为1
后，一次项系数为较小
偶数时； (2)各项的系数比较小且
便于配方 (1)变形：把二次项系数化为1，即方程两边同时
除以二次项系数；
(2)移项：把常数项移到方程等号的另一边，即x2
＋px＝－q；
(3)配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的
平方，把方程整理成(x＋ )2＝－q＋()2的形式；
(4)求解：运用直接开平方法解方程
基础题练考点
1. [华师九上习题改编]若关于x的方程 ＋5x＋4＝0是一元二次方
程，则m的值是(　D　)
A. 1 B. －1
C. 0 D. ±1
D
2. [北师八下习题改编]一元二次方程x2－6x＋5＝0配方可变形为(　A　)
A. (x－3)2＝4
B. (x＋3)2＝14
C. (x－3)2＝14
D. (x＋3)2＝4
A
3. [人教九上习题改编]用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)(x＋2)2－9＝0；
解：移项，得(x＋2)2＝9，
方程两边同时开方，得x＋2＝±3，
解得x1＝1，x2＝－5；
(2)x2－6x＝7；
解：配方，得x2－6x＋9＝7＋9，
即(x－3)2＝16，
两边同时开方，得x－3＝±4，
解得x1＝7，x2＝－1；
(3)x(x－2)＝4(2－x)；
解：移项，得x(x－2)－4(2－x)＝0，
提公因式，得(x－2)(x＋4)＝0，
解得x1＝2，x2＝－4；
(4)x2－x－12＝0；
解：原方程可化为(x－4)(x＋3)＝0，
解得x1＝4，x2＝－3；
(5)3x2－4x－8＝0.
解：∵a＝3，b＝－4，c＝－8，
∴Δ＝(－4)2－4×3×(－8)＝112＞0，
∴x＝
＝ ＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ .
考点
2
一元二次方程根的判别式(6年6考)★重点
1. 概念：一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式
2. 一元二次方程根的情况与判别式的关系：
(1)b2－4ac＞0 方程有 的实数根；
(2)b2－4ac 0 方程有两个 的实数根；
(3)b2－4ac 0 方程 实数根
【温馨提示】根的判别式的两个作用：
(1)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况；
(2)根据方程根的情况，确定某个未知系数的值(或取值范围).若二次项系数含有未知
数时，要考虑二次项系数不为0的条件
两个不相等
＝
相等
＜
没有
基础题练考点
4. [人教九上习题改编]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0，回答
下列问题.
(1)若该方程有实数根，则m的取值范围是 ；
(2)若该方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ；
(3)若该方程有两个相等的实数根，则m的值为 ；
(4)若该方程没有实数根，则m的取值范围是 .
m≤1　
m＜1　
1　
m＞1　
考点
3
一元二次方程根与系数之间的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1
＋x2＝－ ，x1·x2＝
【温馨提示】根与系数关系的常见变形：
1. ＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2；
2. (x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
3. (x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；
4. ＋ ＝ ；
5. ＋ ＝ ＝ ；
6. ｜x1－x2｜＝ ＝
基础题练考点
5. [人教九上习题改编]已知方程x2＋x－2＝0的两根分别为x1，x2，则：
(1)x1＋x2＝ ；
(2)x1x2＝ ；
(3) ＋ ＝ 　 　；
(4)x12＋x22＝ ；
(5)(x1－x2)2＝ .
－1　
－2　
　
5　
9　
考点
4
一元二次方程的实际应用(2020.8)
变化率 问题 设a为原来量，当m为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量，
则 ；当m为平均下降率，2为下降次数，b为下降后的
量，则
面积 问题 1. 如图①，设空白部分的宽为x，则S阴影＝ ；
2. 如图②，设阴影道路的宽为y，则S空白＝ ；
3. 如图③，栏杆总长为a，BC的长为b，则S阴影＝
a(1＋m)2＝b
a(1－m)2＝b
(a－2x)(b－2x)
(a－y)(b－y)

循环赛 问题 1. 单循环比赛问题：设x队进行m场比赛，则 ＝m(x≥2)；
2. 互赠照片问题：设全班x人，每人向其他人赠送一张照片，共赠送m
张，则x(x－1)＝m(x≥2)
每每问题 单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的件数为 ·b

基础题练考点
6. [人教九上习题改编]为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种1 000 m2的种植目标，第三阶段需实现1 440 m2的种植目标.设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则可列方程为 .
1 000(1＋x)2＝1 440　
7. [北师九上习题改编]如图，琪琪的爸爸用一段长12 m的铁丝网围成一
个一边靠墙(墙长6.5 m)的矩形鸡舍ABCD，其面积为21 m2.在鸡舍的AB
边中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC长为 m.
6　
中招真题提升练
一元二次方程根的判别式(6年6考)
命题点
1
1. (2025河南5题)一元二次方程x2－2x＝0的根的情况是(　A　)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
A
2. (2021河南7题)若方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以
是(　D　)
A. －1 B. 0
C. 1 D.
D
3. (2023河南7题)关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况
是(　A　)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
A
4. (2020河南7题)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－
4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为(　A　)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 只有一个实数根
A
5. (2024河南13题)若关于x的方程 x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，
则c的值为 .
　
一元二次方程根与系数的关系
命题点
2
拓展训练
6. 已知一元二次方程x2－3x－6＝0的两根为x1，x2，则x1x2－x1－x2的
值为(　D　)
A. 3 B. －3
C. 9 D. －9
D
7. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2＋6x＋k＝0的两个根，且m
(n＋1)＋n(m＋1)＝8，则k的值为(　D　)
A. －7 B. －1
C. 1 D. 7
【解析】∵m，n是关于x的一元二次方程x2＋6x＋k＝0的两个根，
∴m＋n＝－6，mn＝k，
∵m(n＋1)＋n(m＋1)＝8，
∴mn＋m＋mn＋n＝8，即2mn＋m＋n＝8，
∴2k－6＝8，解得k＝7.
D
8. 关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有一个根是x＝－2，则另一根
是(　A　)
A. x＝4 B. x＝2
C. x＝－4 D. x＝－1
【点拨】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，
再根据已知根计算另一个根.
A
9. 　　　　　　　设m，n是方程x2＋x－2 025＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为(　B　)
A. 2 023 B. 2 024
C. 2 025 D. 2 026
解法一：【解析】∵m是方程x2＋x－2 025＝0的实数根，∴m2＋m－
2 025＝0，∴m2＝－m＋2 025，∴m2＋2m＋n＝－m＋2 025＋2m＋n
＝2 025＋m＋n，∵m，n是方程x2＋x－2 025＝0的两个实数根，∴m
＋n＝－1，∴m2＋2m＋n＝2 025－1＝2 024.
B
一题多解法
解法二：【解析】m2＋2m＋n＝(m2＋m)＋(m＋n)，
∵m是方程x2＋x－2 025＝0的实数根，∴m2＋m－2 025＝0，∴m2＋m
＝2 025，∵m，n是方程x2＋x－2 025＝0的两个实数根，∴m＋n＝－
1，∴m2＋2m＋n＝2 025－1＝2 024.
9. 　　　　　　　设m，n是方程x2＋x－2 025＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为(　B　)
A. 2 023 B. 2 024
C. 2 025 D. 2 026
B
一题多解法

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