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专题4.1 平面直角坐标系
1、认识并能画出平面直角坐标系；
2、在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。
3.理解平面直角坐标系的相关概念（横轴、纵轴、原点、坐标等）；
4.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据横纵坐标的符号确定点所在象限；
5.能够根据图形建立适当的平面直角坐标系，表示图形上的点的坐标；
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1. 判断点的象限 3
考点2. 写出平面直角坐标系中点的坐标 4
考点3. 点到坐标轴的距离 6
考点4. 根据点在坐标轴上求参数值 7
考点5. 根据点所在的象限求参数的范围 8
考点6. 平行（垂直）于坐标轴的点的特征 9
考点7. 有关点的坐标与性质的计算 11
考点8. 点的坐标与新定义问题 14
考点09. 点的坐标与变化规律 16
考点10. 坐标与几何综合问题 18
模块3：培优训练 24
1．平面直角坐标系
平面内两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫作x轴（x-axis，又叫横轴），通常画成水平，另一条叫作y轴（y-axis，又叫纵轴），画成与x轴垂直。这样，我们就在平面内建立了平面直角坐标系（plane rectangular coordinate system），简称直角坐标系。
坐标系所在的平面就叫作坐标平面（coordinate system），两坐标轴的公共原点O叫作平面直角坐标系的原点。
2．点的坐标
对于平面内任意一点M（如图）作MM1⊥x轴，MM2⊥y轴，设垂足M1，M2在各自数轴上表示的数分别为x，y，则x叫作点M的横坐标（abscissa），y叫作点M的纵坐标（ordinate），有序实数对（x，y）叫作点M的坐标（coordinate）。
3．象限和坐标轴：
x轴和y轴把坐标平面分成四个象限（quadrant），如上图。象限以数轴为界，x轴与y轴上的点不属于任何象限。四个象限和坐标轴上点的坐标的符号如下：
（1）第一象限内的点的坐标满足：，；
（2）第二象限内的点的坐标满足：，；
（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；
（4）第四象限内的点的坐标满足：，.
（5）x轴上的点的坐标满足：；
（6）y轴上的点的坐标满足：；
（7）一、三象限角平分线的点的坐标满足：；
（7）二、四象限角平分线的点的坐标满足：；
4．点到特殊直线（点）的距离：
（1）点到x轴的距离为； 到直线（与x轴平行的直线）的距离为；
（2）点到y轴的距离为； 到直线（与y轴平行的直线）的距离为；
（3）点到原点的距离为。
坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔（Descartes, 1596~1650）创立的。
考点1. 判断点的象限
例1.（24-25八年级上·浙江·期末）下列各点中，位于第二象限的点是（ ）
A． B．) C． D．
【答案】C
【详解】解：A、在第一象限，故本选项错误；B、)在第四象限，故本选项错误；
C、在第二象限，故本选项正确.D、在第三象限，故本选项错误；故选：C．
变式1.（24-25七年级下·四川·期中）若实数a，b满足等式，则点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】解：，又，，
，，，，点在第二象限，故选：
变式2.（24-25七年级下·河北沧州·期中）在坐标平面内，有一点，若均不为0且，那么点的位置（　　）
A．只能在第三象限 B．不可能在第四象限 C．在四个象限均可 D．不可能在第一象限
【答案】D
【详解】解：∵均不为0且，∴和不可能同时为正数，
∴点不可能在第一象限；故选：D．
变式3.（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在轴上方，且，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】解：∵点在轴上方，∴点在第一象限或第二象限，
∵，∴，异号，∴点在第二象限，故选：．
变式4.（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）若点的坐标为，且在原点上，则点在第 象限，其坐标为 ．
【答案】 一
【详解】解：∵点的坐标为，且在原点，
∴，且，∴，，∴，，
∴点为，在第一象限，故答案为：一；．
考点2. 写出平面直角坐标系中点的坐标
例1.（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图是某学校在平面直角坐标系中的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．(1)写出图中食堂、图书馆和宿舍楼的位置；
(2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置．
【答案】(1)食堂、图书馆，宿舍楼 (2)见解析
【详解】（1）解：根据平面直角坐标系得：食堂、图书馆，宿舍楼．
（2）解：如图所示．
变式1.（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，试写出坐标平面内各点的坐标．
解：A： ； B： ；C： ；D： ；E： ；F： 。
【答案】见解析
【详解】解：由图可知：，，，，，．
变式2.（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）若点A的坐标是，且平行于y轴，则点B的坐标为（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【详解】解：点的坐标是，，且平行于轴，
点的横坐标为2，纵坐标是或，点的坐标为或，故选：D．
变式3.（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题：(1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________；
(2)坐标为的是点________，在第________象限；(3)横、纵坐标互为相反数的是点________．
【答案】(1)，，3；(2)C，三；(3)D．
【详解】（1）由图可知，点A的坐标为，点B的横坐标为，纵坐标为3；
故答案：，，3；
（2）解：由图可知，坐标为的是点C，在第三象限；故答案为：C，三；
（3）解：由图可知，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，只有点D的横、纵坐标互为相反数，故答案为：D．
变式4.（25-26八年级上·江苏·期中）完成下列各题：
(1)写出图中各点的坐标．(2)描出点．
(3)顺次连接各点，围成的封闭图形是什么图形，并计算它的面积．
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）解：由题意得；（2）解：如图所示；
（3）解：如图所示，四边形是正方形，它的面积是．
考点3. 点到坐标轴的距离
例1.（24-25八年级上·安徽合肥·培优）已知点在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为（ ）
A．2b，3a B．2b， C．，3a D．，
【答案】B
【详解】解：∵ 点在轴上方，在轴左侧，∴ 点在第二象限，∴ ，．
∵ 点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值，
∴ 点到轴的距离为，到轴的距离为．故选：B．
变式1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点A在第二象限，∴；
∵点A到轴的距离是3，到轴的距离是5，∴，∴点A的坐标为；故选：A．
变式2.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）点到轴的距离为 ．
【答案】
【详解】解：点到轴的距离为，故答案为：．
变式3.（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）点到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点M有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵点到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，∴，∴，
∴点M的坐标为或或或，∴这样的点M有4个，故选：D．
变式4.（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知点在第四象限，当m为何值时，点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点在第四象限，∴，，
∴点到x轴的距离是，到y轴距离是，
∵点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍，∴，解得. 故选：B．
考点4. 根据点在坐标轴上求参数值
例1．（25-26八年级上·江苏·随堂练习）已知点在x轴上，点在y轴上，则点位于第 象限．
【答案】二
【详解】解： ∵点在x轴上，点在y轴上，
∴，，∴，，∴点位于第二象限，故答案为：二．
变式1.（24-25八年级下·吉林长春·阶段练面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵点在轴上，∴，解得，故答案为：．
变式2.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知点在y轴上，则的值为　　
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：∵点在y轴上，∴∴ 故选：B ．
变式3.（24-25八年级上·江苏·专题练习）已知点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意知：，解得：，∴，故选：A．
变式4.（24-25七年级下·湖南·阶段练习）如果点在第一、三象限的角平分线上，那么m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上，∴，解得．故选：A．
考点5. 根据点所在的象限求参数的范围
例1.（24-25七年级下·浙江·期末）已知点在第四象限，若的所有整数解的和是，则的取值范围是 ．
【答案】或
【详解】解：点在第四象限，，，
的所有整数解的和是，，或，，，，，
或．故答案为：或．
变式1.（24-25八年级下·湖南株洲·期中）已知点在第二象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵点在第二象限，∴，解得，故答案为：．
变式2.（24-25七年级下·湖北荆州·期末）点在第三象限，且点的横纵坐标均为整数，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为点P在第三象限，所以，解得．
又因为点的横纵坐标均为整数，所以，
则，，所以点的坐标为，故选：B．
变式3.（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：点在第一象限， ，解得，故答案为：
变式4.（2025·广东韶关·三模）在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点在第二象限或第四象限，则异号，∴，故选：D．
考点6. 平行（垂直）于坐标轴的点的特征
例1.（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知点．
(1)若点N的坐标为， 且直线轴， 求点M的坐标；
(2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵直线轴，∴两点的纵坐标相等，
∴，解得，∴，；
（2）解：∵点M在第二象限，∴，
又点到x轴、y轴的距离相等，∴，解得，
∴，∴．
变式1．（24-25七年级上·山东滨州·期末）已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为 ．
【答案】或
【详解】解：∵轴，点的坐标为，，
∴点在点的下边时，纵坐标为，点在点的上边时，纵坐标为，
∴点的坐标为或．故答案为：或．
变式2.（24-25七年级下·云南大理·期中）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)当直线平行于轴，且，求出点的坐标．(2)若点到轴，轴距离相等，求的值；
【答案】(1) (2)或
【详解】（1）解：平行于轴，且，，解得：，
，点的坐标为．
（2）∵点到x轴，y轴距离相等，∴，
∴或，解得：或．
变式3.（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知点，解答下列各题：
(1)若点在轴上，求出点的坐标；(2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标；
(3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：根据题意得：∵点在轴上，，解得：，
则，点的坐标为：；
（2）解：直线轴，直线上所有点的纵坐标都相等，
，解得：，则，即点的坐标为；
（3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
，，，即，解得：
考点7. 有关点的坐标与性质的计算
例1．（24-25八年级上·河南·校考期末）如图，，以A为顶点，为腰在第三象限作等腰，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，过点作轴于点，
∵，，则，
在和中，∴（AAS），
∴，，∴，∴点的坐标为．故选：B．
变式1.（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是 ．
【答案】或或
【详解】如图所示，与全等，点D的坐标可以是或或．
故答案为： 或或
变式2.（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，且的面积为，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于点，轴于点，
点、的坐标分别是、，，，
∵的面积为，，∴，
点的横坐标为，纵坐标为，点坐标为，故答案为：．
变式3.（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点C在x轴上，点A在第一象限，且，连接，若，则点C的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点A作，交于点D，
在中，，且，∴.∵点，∴，∴.
∵，∴，∴，即点.故答案为：.
变式4.（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，以，为顶点作等腰直角（其中，且点落在第一象限内），则点的坐标为 （用含的代数式表示）．
【答案】
【详解】解：过点作轴，垂足为点，则，
∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，
∵轴，∴，，
在和中，，∴，∴,，
∵的坐标为，∴，∴，
∵点的坐标为，且点在轴正半轴上，∴，∴，∴，∴，
∵点在第一象限，∴点的坐标为，故答案为:．
考点8. 点的坐标与新定义问题
例1.（24-25八年级上·广东·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．
例如：的“2属派生点”为，即．
(1)点的“2属派生点”的坐标为________；(2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________；(3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：点的“2属派生点”的坐标为，
即，故答案为：；
（2）解：设点的坐标为，
由题意知，解得：，即点的坐标为，故答案为：；
（3）解：∵点在轴的正半轴上，∴，，∴点的坐标为，点的坐标为，
∴线段的长为到轴距离为，
∵在轴正半轴，线段的长为，∴，即，∴．
变式1.（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，（且）．已知点坐标为点坐标为，回答下列问题：

(1)_____；(2)若，，则点坐标为_____；(3)若，且点的纵坐标为2，求点的坐标；(4)若点和点的关联值满足，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点形成的路径图形．
【答案】(1)8(2)或，(3)或．(4)见详解
【详解】（1）解：∵点A坐标为点B坐标为，∴，故答案为：8，
（2）解：∵，∴点P在x轴上，
∵∴，设，∴，解得：，
∴或，故答案为：或，
（3）解：设点P的坐标为：，
，，
∵∴，∴，∴，∴或．
（4）解：解：设点P坐标为，则：，
∴．∴或，即为一三象限和二四象限的角平分线．画图如下：
变式2.（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”．
(1)若点，则点的坐标为______；
(2)若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______．
(3)若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标．
【答案】(1)(2)，，(3)点的坐标为
【详解】（1）解：因为点是点的“关联点”，且点的坐标为，且，，
所以点的坐标为．故答案为：．
（2）解：令点的坐标为，根据题意可得，解得，所以点的坐标为．
由点坐标为可知，点的坐标为．
因为点在轴上，所以，即，的关系式为．故答案为：，，．
（3）解：令点的坐标为，则点的坐标为，
将点向右平移个单位后，所得点的坐标为，
因为此点与重合，所以，解得，所以点的坐标为．
考点09. 点的坐标与变化规律
例1.（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由图可得，第一个正方形中，，
各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；
第二个正方形中，，
各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为；
根据纵坐标的变化规律可知，每 8 个点一次循环，，
∴点在第 254个循环中的第1个点的位置，∴故点的纵坐标为0 ，
又 ∵的横坐标为的横坐标为的横坐标为，
∴点的横坐标为，∴点的坐标为，故选：C．
变式1.（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由图可得，，，，，，，，……其中，，，结合图象可得，的横坐标等于，纵坐标等于，
，点的坐标为，故选C．
变式2.（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按，，，，，，，，，，…，根据这个规律探索可得，第2021个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，，，，，，，，…，
∴除第一个横坐标外，后面横坐标每3个坐标依次增加1，纵坐标每6个一循环，
∵，，
∴第2021个点的坐标为即．故选：A．
变式3.（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得，
∴四边形的周长为：，∵，，
∴细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是．故选：C．
考点10. 坐标与几何综合问题
例1.（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，的面积等于18．(1)求点的坐标；(2)点是线段上一动点，设点的横坐标为，的面积为，求与的数量关系；(3)如图2，在(2)的条件下，延长至点使，在第一象限内是否存在点，使是等腰直角三角形且，连接，的面积等于6，如果存在，请求出的值和点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，，点的坐标为．
【详解】（1）解：，的面积等于，，，
，，，；
（2）过点作于点，如图，
，，，，．
点的横坐标为，，，，
．与的数量关系为．
（3）第一象限内存在点，使是等腰直角三角形，且，的面积等于，理由：
过点作于点，轴于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点，如图，
由（2）知：，，，，轴，，
，，，
的面积等于，，．．
，，，，．
，，，，．
是等腰直角三角形且，．
，．，．
在和中，，，
，．，，
，，，，．
综上，存在点，使是等腰直角三角形，且，的面积等于，此时，点的坐标为．
变式1.（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知．
(1)求，的坐标；(2)求点的坐标；(3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：．
【答案】(1)，(2)(3)见解析
【详解】（1）解：∵，
∴，解得：，∴，．
（2）解：过点C作轴于F，如图所示：∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，∴，∴，，
∵点C在第二象限，∴．
（3）解：过点E作轴于G，∵，∴，
∵， ∴，
在和中，∴，∴，
∵，∴，∵轴，轴，∴．
在和中，∴．∴．
变式2.（24-25八年级上·广东·培优）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，且．(1)直接写出的度数；(2)如图，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，若，求点的坐标．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵点在轴负半轴上，，，
，或，
，，，，
在轴的正半轴上取点，使，连接，如图所示：
点在轴正半轴上，，，
又，，，是等边三角形，；
（2）连接，如图所示：是等边三角形，，，
，，，
为的中点，，，，，
在和中，，，，
即，，为等边三角形，，．
变式3.（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点．点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以为腰作等腰过点C作轴于点E．(1)若a，b满足：．①求的度数；②求证：；
(2)如图2，过点B作，且，连接，若，求点F的坐标．
【答案】(1)①；②见解析(2)
【详解】（1）解：①∵，∴，∴，，
解得：，，∴，，∴，，∴，
∵，∴；
②∵为等腰直角三角形，∴，，
∵轴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，即；
（2）解：过点F作轴于点H，如图所示：则，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，，
∵，∴，，∴，，
∴，，∴，∴．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（24-25七年级下·广西河池·期末）下列坐标中，在第四象限的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征为：横坐标大于0，纵坐标小于0，
符合该特征的是B选项，故选：B．
2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点处于第二象限，且，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，
点处于第二象限，，，，点的坐标是，故选A．
3．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如果在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵在y轴上，∴，解得，∴点P的坐标为，故选：C．
4．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限的角平分线上，且m，n满足，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点在第四象限的角平分线上，∴，
∵，∴，解得：，∴，∴点M的坐标为．故选：D
5．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）五子棋起源于中国，游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜，如图．若白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为，
∴建立平面直角坐标系如图所示：
为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是，故选：C．
6．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：，，例如，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由，得：，
A．，与相等，符合题意；
B．，与不相等，不符合题意；
C．，与不相等，不符合题意；
D．，与不相等，不符合题意；故选：A．
7．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知点，点B在x轴上，与坐标轴所围成的三角形面积为4，则点B的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：由题知，因为与坐标轴所围成的三角形面积为4，且点A坐标为，
所以，解得，所以点B的坐标为或故选：
8．（24-25·山西阳泉·七年级期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：如图1，
，
到l1的距离为2的点是两条平行于l1的直线l3、l4，到l2的距离为1的点是两条平行于l2直线l5、l6，
∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，
∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．故选D．
9.（24-25八年级上·宁夏·期中）若点在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得：，解得：；
当时，，∴点P的坐标为，故选：A．
10.（25-26八年级上·浙江·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：依照题意画出图形，如图所示．
由题意得，点P第1次反弹的点为，第2次反弹的点为，第3次反弹的点为，
第4次反弹的点为，第5次反弹的点为，第6次反弹的点为，
故6次一个循环，，
故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为．故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在x轴上，则点M坐标 ．
【答案】
【详解】解：点在x轴上，，，
，点M坐标为．故答案为：．
12．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知点的坐标为，且轴，若，且点在第一象限，则的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵轴，点的坐标为，∴两点纵坐标都为，
又∵，∴当点在点左边时，，在第二象限，不符合题意，舍去；
当点在点右边时，，符合题意，故答案为：．
13．（24-25七年级下·河北·期末）已知嘉淇家的正西方向100米处为车站，家的正北方向200米处为学校，且从学校往正东方向走100米，再往正南方向走400米可到达公园．若嘉淇将家、车站、学校分别标示在如图所示的平面直角坐标系上的，，三点，则公园的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：由题意可知，在这个平面直角坐标系中，1个单位长度等于米，
所以公园的横坐标为，纵坐标为，所以公园的坐标为，
故答案为：．
14．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：连接，由题意可得：，
则，
在和中，，，
∵在一条直线上，∴也在一条直线上，∴，则，
∴点坐标为：．故答案为：．
15．（25-26八年级上·江苏课后作业）（1）在平面直角坐标系中，点在第 象限．
（2）若点在第二象限，则点在第 象限．
【答案】 二 一
【详解】解：（1）∵，∴，
∵，∴点在第二象限，故答案为：二；
（2）点在第二象限，∴，
∴，∴点在第一象限，故答案为：一．
16．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．
【答案】1或2##2或1
【详解】∵(4，4k-3)到x轴的距离为，到y轴的距离为4，
若，即，则有解得k=-7或k=1，
∵k=-7不合题意，舍去，∴k=1，若，即或，则，
解得：k=0，或k=2，∵k=0不合题意，舍去，∴k=2，综上，k的值为1或2，故答案为：1或2．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·江苏·专题练习）西安地铁的不断完善给广大市民的出行带来了很大的变化，如图是西安地铁部分示意图，已知文景路，通化门．
(1)根据题意在图中建立平面直角坐标系；(2)写出在第一象限内的地铁站及其坐标；
(3)在图中用点表示站点田家湾的位置．
【答案】(1)见解析(2)在第一象限内的地铁站有行政中心，西安北站，辛家庙．(3)见解析
【详解】（1）解：如图，
（2）解：在第一象限内的地铁站有行政中心，西安北站，辛家庙；
（3）解：如图，点M即为所求．
18.（25-26八年级上·江苏·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为．
(1)若点A在轴上，求点A的坐标；(2)若点，直线轴，求的值；
(3)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值；
(4)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)
(4)当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为
【详解】（1）解：根据题意得，，解得，代入，∴；
（2）解：∵直线轴，∴两点的纵坐标相等，∴，解得；
（3）解：因为点A在第四象限，所以，所以，
所以点A到轴的距离为，点A到轴的距离为．
因为点A到两坐标轴距离之和为9，所以，解得；
（4）解：因为直线轴，所以两点的横坐标相等，即，解得，
所以，所以点A的坐标为．
因为线段的长为5，所以当点在点A上方时，，
解得，此时点的坐标为；
当点在点A下方时，，解得，此时点的坐标为．
综上所述，当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为．
19.（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点A在y轴上，则点A的坐标为 ．(2)若点，且轴，则点A的坐标为 ．
(3)若点A到x轴的距离为2，求a的值；
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）解：∵点A在y轴上，∴，即，∴，
∴，∴点A的坐标为；
（2）解：∵点B的坐标为，且轴，
∴，即，∴，∴，∴点A的坐标为．
（3）∵点A到x轴的距离为2，∴，解得：或
20．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知点．
(1)若点P在轴上，求点P的坐标；(2)若点，轴，求线段的长度．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：点在轴上，，解得，
∴，；
（2）解：轴， ，，， ．
21．（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上．
(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________；(2)的面积为________；
(3)点P在y轴上，且的面积等于的面积，求点P的坐标．
【答案】(1)，(2)(3)或
【详解】（1）点A的坐标为，点B的坐标为；故答案为：，；
（2）；故答案为：，
（3）解：设，的面积等于的面积，，
解得：或，点的坐标为或．
22．（24-25·四川泸州·七年级期末）已知点A（－4，－3），B（2，－3），C（3，1），D（－3，1）．
(1)在图中描出A，B，C，D四点；(2)连接AB，CD，试判断AB与CD的位置关系和数量关系；
(3)连接AD，BC，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析(2)，AB＝CD(3)24
【解析】（1）如图所示：
（2）如图，∵A（－4，－3），B（2，－3），C（3，1），D（－3，1），
∴，AB∥x轴，，CD∥x轴，∴，AB＝CD；
（3）如图，连接BD，．
23．（24-25·辽宁沈阳·八年级期末）如图，长方形OABC的OA边在x轴上，OC边在y轴上，，，在边AB上取一点E，使沿CE折叠后，点B落在x轴上，记作点D．
(1)请直接写出点A的坐标 、点C的坐标 和点B的坐标 ；
(2)求点D的坐标；(3)请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)(15，0)、(0，9)、(15，9)；(2)(12，0)；(3)(15，4)．
【解析】(1)∵四边形OABC是矩形，∴BC＝OA＝15，BA＝OC＝9，
∴点A的坐标(15，0)、点C的坐标(0，9)和点B的坐标(15，9)；
故答案为：(15，0)、(0，9)、(15，9)；
(2)由折叠可知：CD＝CB＝15，在Rt△OCD中，根据勾股定理，
得OD＝＝＝12，∴点D的坐标(12，0)；
(3)在Rt△AED中，AD＝OA﹣OD＝15﹣12＝3，AE＝AB﹣BE＝9﹣BE＝9﹣DE，
根据勾股定理，得AD2+AE2＝DE2，∴32+（9﹣DE）2＝DE2，解得DE＝5，
∴AE＝9﹣DE＝4，∴点E的坐标为(15，4)．
24.（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且．
(1)求的长；(2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________；
(3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．
①当是直角三角形时，求的值；②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)①或；②或
【详解】（1）解：∵点，∴，
∵，，∴，∴；
（2）解：设点的坐标为，∵是等边三角形，∴，即，
∴，∴点的坐标是，故答案为：；
（3）解：①由题意可得，，，∵，∴，
当时，∵，∴，∴，即，解得；
当时，则，∴，即，解得；
综上，当是直角三角形时，的值为或；
②当点在线段上时，∵是等腰三角形时，，
∴是等边三角形，∴，即，解得，
∴，∴，∴；
当点在线段的延长线上时，，
∵是等腰三角形，∴，即，解得，∴，∴；
综上，点的坐标为或．
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专题4.1 平面直角坐标系
1、认识并能画出平面直角坐标系；
2、在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。
3.理解平面直角坐标系的相关概念（横轴、纵轴、原点、坐标等）；
4.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据横纵坐标的符号确定点所在象限；
5.能够根据图形建立适当的平面直角坐标系，表示图形上的点的坐标；
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1. 判断点的象限 3
考点2. 写出平面直角坐标系中点的坐标 4
考点3. 点到坐标轴的距离 6
考点4. 根据点在坐标轴上求参数值 7
考点5. 根据点所在的象限求参数的范围 8
考点6. 平行（垂直）于坐标轴的点的特征 9
考点7. 有关点的坐标与性质的计算 11
考点8. 点的坐标与新定义问题 14
考点09. 点的坐标与变化规律 16
考点10. 坐标与几何综合问题 18
模块3：培优训练 24
1．平面直角坐标系
平面内两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫作x轴（x-axis，又叫横轴），通常画成水平，另一条叫作y轴（y-axis，又叫纵轴），画成与x轴垂直。这样，我们就在平面内建立了平面直角坐标系（plane rectangular coordinate system），简称直角坐标系。
坐标系所在的平面就叫作坐标平面（coordinate system），两坐标轴的公共原点O叫作平面直角坐标系的原点。
2．点的坐标
对于平面内任意一点M（如图）作MM1⊥x轴，MM2⊥y轴，设垂足M1，M2在各自数轴上表示的数分别为x，y，则x叫作点M的横坐标（abscissa），y叫作点M的纵坐标（ordinate），有序实数对（x，y）叫作点M的坐标（coordinate）。
3．象限和坐标轴：
x轴和y轴把坐标平面分成四个象限（quadrant），如上图。象限以数轴为界，x轴与y轴上的点不属于任何象限。四个象限和坐标轴上点的坐标的符号如下：
（1）第一象限内的点的坐标满足：，；
（2）第二象限内的点的坐标满足：，；
（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；
（4）第四象限内的点的坐标满足：，.
（5）x轴上的点的坐标满足：；
（6）y轴上的点的坐标满足：；
（7）一、三象限角平分线的点的坐标满足：；
（7）二、四象限角平分线的点的坐标满足：；
4．点到特殊直线（点）的距离：
（1）点到x轴的距离为； 到直线（与x轴平行的直线）的距离为；
（2）点到y轴的距离为； 到直线（与y轴平行的直线）的距离为；
（3）点到原点的距离为。
坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔（Descartes, 1596~1650）创立的。
考点1. 判断点的象限
例1.（24-25八年级上·浙江·期末）下列各点中，位于第二象限的点是（ ）
A． B．) C． D．
变式1.（24-25七年级下·四川·期中）若实数a，b满足等式，则点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式2.（24-25七年级下·河北沧州·期中）在坐标平面内，有一点，若均不为0且，那么点的位置（　　）
A．只能在第三象限 B．不可能在第四象限 C．在四个象限均可 D．不可能在第一象限
变式3.（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在轴上方，且，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式4.（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）若点的坐标为，且在原点上，则点在第 象限，其坐标为 ．
考点2. 写出平面直角坐标系中点的坐标
例1.（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图是某学校在平面直角坐标系中的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．(1)写出图中食堂、图书馆和宿舍楼的位置；
(2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置．
变式1.（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，试写出坐标平面内各点的坐标．
解：A： ； B： ；C： ；D： ；E： ；F： 。
变式2.（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）若点A的坐标是，且平行于y轴，则点B的坐标为（　　）
A． B．或 C． D．或
变式3.（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题：(1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________；
(2)坐标为的是点________，在第________象限；(3)横、纵坐标互为相反数的是点________．
变式4.（25-26八年级上·江苏·期中）完成下列各题：
(1)写出图中各点的坐标．(2)描出点．
(3)顺次连接各点，围成的封闭图形是什么图形，并计算它的面积．
考点3. 点到坐标轴的距离
例1.（24-25八年级上·安徽合肥·培优）已知点在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为（ ）
A．2b，3a B．2b， C．，3a D．，
变式1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）点到轴的距离为 ．
变式3.（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）点到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点M有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式4.（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知点在第四象限，当m为何值时，点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍（ ）
A． B． C． D．
考点4. 根据点在坐标轴上求参数值
例1．（25-26八年级上·江苏·随堂练习）已知点在x轴上，点在y轴上，则点位于第 象限．
变式1.（24-25八年级下·吉林长春·阶段练面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ．
变式2.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知点在y轴上，则的值为　　
A．1 B． C．2 D．
变式3.（24-25八年级上·江苏·专题练习）已知点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式4.（24-25七年级下·湖南·阶段练习）如果点在第一、三象限的角平分线上，那么m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
考点5. 根据点所在的象限求参数的范围
例1.（24-25七年级下·浙江·期末）已知点在第四象限，若的所有整数解的和是，则的取值范围是 ．
变式1.（24-25八年级下·湖南株洲·期中）已知点在第二象限，则m的取值范围是 ．
变式2.（24-25七年级下·湖北荆州·期末）点在第三象限，且点的横纵坐标均为整数，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
变式3.（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ．
变式4.（2025·广东韶关·三模）在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是( )
A． B． C． D．
考点6. 平行（垂直）于坐标轴的点的特征
例1.（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知点．
(1)若点N的坐标为， 且直线轴， 求点M的坐标；
(2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标．
变式1．（24-25七年级上·山东滨州·期末）已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为 ．
变式2.（24-25七年级下·云南大理·期中）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)当直线平行于轴，且，求出点的坐标．(2)若点到轴，轴距离相等，求的值；
变式3.（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知点，解答下列各题：
(1)若点在轴上，求出点的坐标；(2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标；
(3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值．
考点7. 有关点的坐标与性质的计算
例1．（24-25八年级上·河南·校考期末）如图，，以A为顶点，为腰在第三象限作等腰，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是 ．
变式2.（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，且的面积为，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 ．
变式3.（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点C在x轴上，点A在第一象限，且，连接，若，则点C的坐标为 ．
变式4.（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，以，为顶点作等腰直角（其中，且点落在第一象限内），则点的坐标为 （用含的代数式表示）．
考点8. 点的坐标与新定义问题
例1.（24-25八年级上·广东·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．
例如：的“2属派生点”为，即．
(1)点的“2属派生点”的坐标为________；(2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________；(3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值．
变式1.（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，（且）．已知点坐标为点坐标为，回答下列问题：

(1)_____；(2)若，，则点坐标为_____；(3)若，且点的纵坐标为2，求点的坐标；(4)若点和点的关联值满足，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点形成的路径图形．
变式2.（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”．
(1)若点，则点的坐标为______；
(2)若点则点的坐标为（__）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：___．
(3)若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标．
考点09. 点的坐标与变化规律
例1.（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按，，，，，，，，，，…，根据这个规律探索可得，第2021个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式3.（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A． B． C． D．
考点10. 坐标与几何综合问题
例1.（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，的面积等于18．(1)求点的坐标；(2)点是线段上一动点，设点的横坐标为，的面积为，求与的数量关系；(3)如图2，在(2)的条件下，延长至点使，在第一象限内是否存在点，使是等腰直角三角形且，连接，的面积等于6，如果存在，请求出的值和点的坐标；如果不存在，请说明理由．
变式1.（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知．
(1)求，的坐标；(2)求点的坐标；(3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：．
变式2.（24-25八年级上·广东·培优）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，且．(1)直接写出的度数；(2)如图，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，若，求点的坐标．
变式3.（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点．点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以为腰作等腰过点C作轴于点E．(1)若a，b满足：．①求的度数；②求证：；
(2)如图2，过点B作，且，连接，若，求点F的坐标．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（24-25七年级下·广西河池·期末）下列坐标中，在第四象限的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点处于第二象限，且，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如果在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限的角平分线上，且m，n满足，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）五子棋起源于中国，游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜，如图．若白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：，，例如，，那么（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知点，点B在x轴上，与坐标轴所围成的三角形面积为4，则点B的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（24-25·山西阳泉·七年级期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.（24-25八年级上·宁夏·期中）若点在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10.（25-26八年级上·浙江·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在x轴上，则点M坐标 ．
12．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知点的坐标为，且轴，若，且点在第一象限，则的坐标为 ．
13．（24-25七年级下·河北·期末）已知嘉淇家的正西方向100米处为车站，家的正北方向200米处为学校，且从学校往正东方向走100米，再往正南方向走400米可到达公园．若嘉淇将家、车站、学校分别标示在如图所示的平面直角坐标系上的，，三点，则公园的坐标为 ．
14．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是 ．
15．（25-26八年级上·江苏课后作业）（1）在平面直角坐标系中，点在第 象限．
（2）若点在第二象限，则点在第 象限．
16．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·江苏·专题练习）西安地铁的不断完善给广大市民的出行带来了很大的变化，如图是西安地铁部分示意图，已知文景路，通化门．
(1)根据题意在图中建立平面直角坐标系；(2)写出在第一象限内的地铁站及其坐标；
(3)在图中用点表示站点田家湾的位置．
18.（25-26八年级上·江苏·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为．
(1)若点A在轴上，求点A的坐标；(2)若点，直线轴，求的值；
(3)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值；
(4)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及点的坐标．
19.（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点A在y轴上，则点A的坐标为 ．(2)若点，且轴，则点A的坐标为 ．
(3)若点A到x轴的距离为2，求a的值；
20．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知点．
(1)若点P在轴上，求点P的坐标；(2)若点，轴，求线段的长度．
21．（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上．
(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________；(2)的面积为________；
(3)点P在y轴上，且的面积等于的面积，求点P的坐标．
22．（24-25·四川泸州·七年级期末）已知点A（－4，－3），B（2，－3），C（3，1），D（－3，1）．
(1)在图中描出A，B，C，D四点；(2)连接AB，CD，试判断AB与CD的位置关系和数量关系；
(3)连接AD，BC，求四边形ABCD的面积．
23．（24-25·辽宁沈阳·八年级期末）如图，长方形OABC的OA边在x轴上，OC边在y轴上，，，在边AB上取一点E，使沿CE折叠后，点B落在x轴上，记作点D．
(1)请直接写出点A的坐标 、点C的坐标 和点B的坐标 ；
(2)求点D的坐标；(3)请直接写出点E的坐标．
24.（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且．
(1)求的长；(2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________；
(3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．
①当是直角三角形时，求的值；②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
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