资源简介

2.3有理数的乘法
【题型1】利用有理数的乘法法则计算 2
【题型2】多个有理数的乘法运算 2
【题型3】倒数的意义及应用 3
【题型4】倒数、相反数、绝对值的综合 3
【题型5】有理数乘法与绝对值、数轴的综合 4
【题型6】有理数乘法在实际生活中的应用 5
【题型7】对有理数乘法运算律的理解与判断 6
【题型8】运用有理数运算律进行简便计算 7
【知识点1】有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 1.（2024秋 巢湖市期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的个数为（　　）
①a-b＞0；②a+b＞0；③ab＞0；④|b+a|=|b|-|a|；⑤|a-b|=|a|+|b|． A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型1】利用有理数的乘法法则计算
【典型例题】下列各选项中，结果是负数的为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如果两个有理数的积是负数，和也是负数，那么这两个有理数（ ）
A.同号，且均为负数
B.异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大
C.同号，且均为正数
D.异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大
【举一反三2】计算的结果是（　　）
A.1 B.﹣1 C. D.﹣
【举一反三3】的结果等于 ．
【举一反三4】对于四个数“，，1，4”，列算式解决下列问题：
(1)求这四个数的和；
(2)在这四个数中选出两个数，并分别满足下列要求；
①这两个数相减的结果最小；
②这两个数相乘的结果最大．
【举一反三5】计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【题型2】多个有理数的乘法运算
【典型例题】计算：（ ）
A. B.1 C. D.
【举一反三1】下列算式中，积为负数的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】若五个因数相乘，乘积为负，则负因数的个数为 ．
【举一反三3】已知整数满足，且，那么 ．
【举一反三4】计算：
(1)；
(2).
【举一反三5】对于正整数a、b，规定一种新运算*，等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：，，那么的值等于多少？
【题型3】倒数的意义及应用
【典型例题】一个数的倒数是，这个数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A.5和 B.和 C.和 D.100和
【举一反三2】当 时，和互为倒数．
【举一反三3】的倒数是 ．
【举一反三4】求下列各数的倒数．
(1)；(2)；(3)；(4)5.
【题型4】倒数、相反数、绝对值的综合
【典型例题】的倒数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于其本身的数．则这三个数的和为（ ）
A.或0 B.0或2 C.1或3 D.或1
【举一反三2】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式的值为（ ）
A.－3 B.1 C.±3 D.－3或1
【举一反三3】甲、乙两同学进行数字游戏，甲说：“一个数的相反数就是它本身．”乙说：“一个数的倒数也等于其本身．”则 ．
【举一反三4】已知．若的倒数是与的差，则的值为 ．
【举一反三5】用数轴上的点表示下列各数：点表示倒数，点表示的相反数，表示，点表示绝对值最小的数．
【举一反三6】己知A，B，C三点在数轴上表示的数分别为a，b，c，点A在原点的左边，a，b互为相反数且乘积为，b，c互为倒数，

(1)求a，b，c的值，并在如图所示的数轴上表示出A，B，C三点的位置．
(2)若数轴上有一个动点从点A出发，经过4秒到达点B，又经过2秒到达点D，假设动点在运动过程中速度保持不变，求点D所表示的数．
【题型5】有理数乘法与绝对值、数轴的综合
【典型例题】已知b＜c＜0，ac＜0，|c|＜|a|＜|b|，根据已知条件画出对应的数轴，其中正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】若|x|=3，|y|=4，且|x-y|=y-x，则xy的值为（ ）
A. B. C.12 D.12或
【举一反三2】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】若|x|=3，|y|=4，且|x-y|=y-x，则xy的值为（ ）
A. B. C.12 D.12或
【题型6】有理数乘法在实际生活中的应用
【典型例题】某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价500元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花的钱数是（　　）
A.300元 B.240元 C.270元 D.400元
【举一反三1】某商店在“双11”期间所有商品按8折销售，如图，该商品的售价是（ ）
A.225 B.217 C.180 D.145
【举一反三2】一台电视机的原价是3200元，先提价10%，再打九折销售．则这台电视机现在的价格和原来的价格比 .（填上升/下降）
【举一反三3】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为 尺．
【举一反三4】某特技飞行队在某风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后高度变化如下，其中上升记为正，下降记为负：
+7.5 km，-3.2 km，+3 km，-1.5 km，-1.8 km.
(1)最终这架飞机比起飞点高了多少千米？
(2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，不计飞机的损耗，每升燃油价格是6.5元．那么这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费多少元？
(3)若这架飞机做完5个特技后，又做两个表演动作，这两个动作不确定是上升还是下降，只知道产生的高度变化分别是0.8 km和1.7 km，请你求出这两个表演动作结束后飞机离地面的高度．
【题型7】对有理数乘法运算律的理解与判断
【典型例题】算式利用了（ ）
A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.加法交换律 D.分配律
【举一反三1】如图，运算中的（ ）处，应填写的是（ ）
A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.分配律 D.加括号
【举一反三2】在中，用到的乘法运算律是（　　）
A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法分配律 D. 乘法分配律的逆运算
【举一反三3】下列等式能表示分配律的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】计算（﹣7.3）×（﹣42.07）+2.07×（﹣7.3）时，使用运算律会方便不少，所使用的运算律是 ，计算的结果是 ．
【举一反三5】等式×（﹣5）+（﹣13）＝ [（﹣5）+（﹣13）]依据的运算律是 ．
【举一反三6】在运算中应用的运算律是 .
【举一反三7】，应用了__________律．
【题型8】运用有理数运算律进行简便计算
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B.100 C. D.1000
【举一反三1】下面式子中，与结果相等的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】计算的结果是（ ）
A.9 B. C. D.
【举一反三3】计算：＝_______．
【举一反三4】用简便方法计算：．
【举一反三5】学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对．
小明的解法：原式；
小军的解法：原式．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把看作，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：．2.3有理数的乘法
【题型2】多个有理数的乘法运算 4
【题型3】倒数的意义及应用 6
【题型4】倒数、相反数、绝对值的综合 8
【题型5】有理数乘法与绝对值、数轴的综合 10
【题型6】有理数乘法在实际生活中的应用 12
【题型7】对有理数乘法运算律的理解与判断 14
【题型8】运用有理数运算律进行简便计算 16
【知识点1】有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 1.（2024秋 巢湖市期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的个数为（　　）
①a-b＞0；②a+b＞0；③ab＞0；④|b+a|=|b|-|a|；⑤|a-b|=|a|+|b|． A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C 【分析】由数轴得，b＜0，a＞0，|a|＜|b|，进一步判断出a-b＞0，a+b＜0，ab＜0，再根据绝对值的性质化简|b+a|和|b|-|a|；|a-b|和|a|+|b|，然后比较即可． 【解答】解：由数轴得，b＜0，a＞0，|a|＜|b|，
∴a-b＞0，a+b＜0，ab＜0，
∴|b+a|=-（b+a）=-b-a,|b|-|a|=-b-a,
∴|b+a|=|b|-|a|，
∵a-b＞0，b＜0，a＞0，
∴|a-b|=a-b,|a|+|b|=a+（-b）=a-b,
∴|a-b|=|a|+|b|，
故①④⑤正确，②③错误，
所以正确的有3个，
故选：C．
【典型例题】下列各选项中，结果是负数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.，结果为正数，不符合题意；
B.，结果为负数，符合题意；
C.，结果为正数，不符合题意；
D.，结果为0，不符合题意，
故选：B．
【举一反三1】如果两个有理数的积是负数，和也是负数，那么这两个有理数（ ）
A.同号，且均为负数
B.异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大
C.同号，且均为正数
D.异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大
【答案】D
【解析】两个有理数的积是负数，
这两个数异号．
又这两个数的和也是负数，
这两个数中负数的绝对值较大．
故选：D．
【举一反三2】计算的结果是（　　）
A.1 B.﹣1 C. D.﹣
【答案】B
【解析】原式＝＝﹣1．
故选：B．
【举一反三3】的结果等于 ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
【举一反三4】对于四个数“，，1，4”，列算式解决下列问题：
(1)求这四个数的和；
(2)在这四个数中选出两个数，并分别满足下列要求；
①这两个数相减的结果最小；
②这两个数相乘的结果最大．
【答案】解：（1）根据题意得：；
（2）①根据最小有理数减去最大有理数，结果最小得：
，此时结果最小．
∴选，4；
②∵，
，
，
，
，
，
又∵，
∴选，两个数相乘的结果最大．
【举一反三5】计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【题型2】多个有理数的乘法运算
【典型例题】计算：（ ）
A. B.1 C. D.
【答案】B
【解析】．
故选：B．
【举一反三1】下列算式中，积为负数的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】A．，故本选项不符合题意；
B．中有4个负数，因此积是正数，故本选项不符合题意；
C．中有3个负数，因此积是负数，故本选项符合题意；
D．中有2个负数，因此积是正数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三2】若五个因数相乘，乘积为负，则负因数的个数为 ．
【答案】1或3或5
【解析】∵五个有理数的乘积为负数，
∴这五个有理数中，负因数的个数为1个或3个或5个，
故答案为：1或3或5．
【举一反三3】已知整数满足，且，那么 ．
【答案】0
【解析】∵，
又整数，
∴，，，，
∴．
故答案为：0．
【举一反三4】计算：
(1)；
(2).
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【举一反三5】对于正整数a、b，规定一种新运算*，等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：，，那么的值等于多少？
【答案】解：
．
【题型3】倒数的意义及应用
【典型例题】一个数的倒数是，这个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴一个数的倒数是，这个数是，
故选D.
【举一反三1】下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A.5和 B.和 C.和 D.100和
【答案】C
【解析】，，，
由倒数的定义可知，只有C选项中的两个数互为倒数，
故选：C．
【举一反三2】当 时，和互为倒数．
【答案】
【解析】∵和互为倒数，
∴，
故答案为：．
【举一反三3】的倒数是 ．
【答案】
【解析】，
的倒数是，
故答案为：．
【举一反三4】求下列各数的倒数．
(1)；(2)；(3)；(4)5.
【答案】解：（1）∵，
∴的倒数为：；
（2），
∵，
∴的倒数为：，
即的倒数为：；
（3），
∵，
∴的倒数是，
即的倒数是；
（4）∵，
∴5的倒数是.
【题型4】倒数、相反数、绝对值的综合
【典型例题】的倒数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴的倒数是，
∴的倒数的相反数是．
故选：A．
【举一反三1】已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于其本身的数．则这三个数的和为（ ）
A.或0 B.0或2 C.1或3 D.或1
【答案】A
【解析】∵a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于自身的有理数，
∴，
∴或．
故选：A．
【举一反三2】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式的值为（ ）
A.－3 B.1 C.±3 D.－3或1
【答案】D
【解析】∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b=0，cd=1，m=±2，
当m=2，原式=2-1+0=1，
当m=-2，原式=-2-1+0=-3．
故选D．
【举一反三3】甲、乙两同学进行数字游戏，甲说：“一个数的相反数就是它本身．”乙说：“一个数的倒数也等于其本身．”则 ．
【答案】1
【解析】由题意，得：，，
，，
故．
【举一反三4】已知．若的倒数是与的差，则的值为 ．
【答案】
【解析】，
，
，
的倒数是与的差，
．
故答案为：．
【举一反三5】用数轴上的点表示下列各数：点表示倒数，点表示的相反数，表示，点表示绝对值最小的数．
【答案】解：倒数的是，的相反数是，，
∵，
∴绝对值最小的数是，
如图所示：
【举一反三6】己知A，B，C三点在数轴上表示的数分别为a，b，c，点A在原点的左边，a，b互为相反数且乘积为，b，c互为倒数，

(1)求a，b，c的值，并在如图所示的数轴上表示出A，B，C三点的位置．
(2)若数轴上有一个动点从点A出发，经过4秒到达点B，又经过2秒到达点D，假设动点在运动过程中速度保持不变，求点D所表示的数．
【答案】解：（1）∵a，b互为相反数且乘积为，
∴，，
∵互为倒数，
∴．
点A，B，C在数轴上的位置如图所示．

（2）由图可知，A，B两点相距4个单位长度，
所以该动点的速度为个单位长度/秒，
又经过2秒，之间的距离为：个单位长度，
所以点D表示的数为4或0．
【题型5】有理数乘法与绝对值、数轴的综合
【典型例题】已知b＜c＜0，ac＜0，|c|＜|a|＜|b|，根据已知条件画出对应的数轴，其中正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵ac＜0，
∴a、c异号，
∵b＜c＜0，ac＜0，|c|＜|a|＜|b|，
∴b＜c＜0＜a，
∴数轴为，
故选：D．
【举一反三1】若|x|=3，|y|=4，且|x-y|=y-x，则xy的值为（ ）
A. B. C.12 D.12或
【答案】D
【解析】∵|x|=3，|y|=4，且|x-y|=y-x，
∴x=-3，y=4，x=3，y=4，
则xy=-12或12，
故选：D．
【举一反三2】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴|a+b|>0，a+b<0，即；a-b＜0；ab＜0；|b-a|=b-a．
所以只有选项D成立．
故选D．
【举一反三3】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴|a+b|>0，a+b<0，即；a-b＜0；ab＜0；|b-a|=b-a．
所以只有选项D成立．
故选D．
【举一反三4】若|x|=3，|y|=4，且|x-y|=y-x，则xy的值为（ ）
A. B. C.12 D.12或
【答案】D
【解析】∵|x|=3，|y|=4，且|x-y|=y-x，
∴x=-3，y=4，x=3，y=4，
则xy=-12或12，
故选：D．
【题型6】有理数乘法在实际生活中的应用
【典型例题】某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价500元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花的钱数是（　　）
A.300元 B.240元 C.270元 D.400元
【答案】B
【解析】500×0.8×0.6=240（元）．
故选B．
【举一反三1】某商店在“双11”期间所有商品按8折销售，如图，该商品的售价是（ ）
A.225 B.217 C.180 D.145
【答案】C
【解析】元，
∴该商品的售价为180元，
故选：C．
【举一反三2】一台电视机的原价是3200元，先提价10%，再打九折销售．则这台电视机现在的价格和原来的价格比 .（填上升/下降）
【答案】下降
【解析】3200×（1+10%）×90%=3200×1.1×0.9=3168（元），
∵3168＜3200，
∴这台电视机现在的价格低于原来的价格，
故答案为：下降．
【举一反三3】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为 尺．
【答案】
【解析】（尺），
故答案为：．
【举一反三4】某特技飞行队在某风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后高度变化如下，其中上升记为正，下降记为负：
+7.5 km，-3.2 km，+3 km，-1.5 km，-1.8 km.
(1)最终这架飞机比起飞点高了多少千米？
(2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，不计飞机的损耗，每升燃油价格是6.5元．那么这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费多少元？
(3)若这架飞机做完5个特技后，又做两个表演动作，这两个动作不确定是上升还是下降，只知道产生的高度变化分别是0.8 km和1.7 km，请你求出这两个表演动作结束后飞机离地面的高度．
【答案】解：（1）4 km，
答：最终这架飞机比起飞点高了千米.
（2）
（升），
（元），
答：这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费元.
（3），
，
，
，
答：这两个表演动作结束后飞机离地面的高度为6.4 km或4.9 km或3.1 km或1.5 km.
【题型7】对有理数乘法运算律的理解与判断
【典型例题】算式利用了（ ）
A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.加法交换律 D.分配律
【答案】D
【解析】由题意可知，算式运用了乘法分配律，
故选：．
【举一反三1】如图，运算中的（ ）处，应填写的是（ ）
A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.分配律 D.加括号
【答案】B
【解析】
(乘法交换律)
(乘法结合律)
.
故选：B．
【举一反三2】在中，用到的乘法运算律是（　　）
A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法分配律 D. 乘法分配律的逆运算
【答案】B
【解析】可得是运用了乘法结合律．
故选：B．
【举一反三3】下列等式能表示分配律的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.表示乘法交换律，不符合题意；
B.表示加法交换律，不符合题意；
C.表示乘法结合律，不符合题意；
D.表示乘法分配律，符合题意；
故选：D．
【举一反三4】计算（﹣7.3）×（﹣42.07）+2.07×（﹣7.3）时，使用运算律会方便不少，所使用的运算律是 ，计算的结果是 ．
【答案】乘法的分配律；292
【解析】（﹣7.3）×（﹣42.07）+2.07×（﹣7.3）
=（﹣7.3）×（﹣42.07+2.07）
=（﹣7.3）×（﹣40）
=292．
故答案为乘法的分配律，292．
【举一反三5】等式×（﹣5）+（﹣13）＝ [（﹣5）+（﹣13）]依据的运算律是 ．
【答案】乘法分配律
【解析】×（﹣5）+（﹣13）＝ [（﹣5）+（﹣13）]依据的运算律是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律．
【举一反三6】在运算中应用的运算律是 .
【答案】乘法交换律
【解析】根据：(a×b)×c=a×(b×c)，可得在运算中应用的运算律是乘法交换律.
故答案为：乘法交换律.
【举一反三7】，应用了__________律．
【答案】乘法结合
【解析】由题意知，应用了乘法结合律，
故答案为：乘法结合．
【题型8】运用有理数运算律进行简便计算
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B.100 C. D.1000
【答案】C
【解析】
，
故选：C．
【举一反三1】下面式子中，与结果相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，
故选：C．
【举一反三2】计算的结果是（ ）
A.9 B. C. D.
【答案】C
【解析】
，
故选C.
【举一反三3】计算：＝_______．
【答案】15
【解析】
=15，
故答案为：15．
【举一反三4】用简便方法计算：．
【答案】解：
．
【举一反三5】学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对．
小明的解法：原式；
小军的解法：原式．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把看作，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：．
【答案】解：（1）小军的解法较好；
（2）小强的解法：
；
（3）．

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