资源简介

2.3三角形的内切圆
【题型1】三角形的内切圆 2
【题型2】三角形的内心 4
【题型3】三角形的内切圆与内心的应用 6
【题型4】三角形的内心和外心的综合应用 7
【题型5】三角形的内切圆和外接圆的综合应用 9
【知识点1】三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 1.（2024秋 梁园区校级期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为（　　） A．40°B．70°C．110°D．140°
2.（2024 海港区一模）抛物线y=a（x-1）（x-3）（a≠0）与x轴交于点A、B（A在B左侧），A、B两点与抛物线的顶点构成的三角形，当内心与外心重合时，此时抛物线顶点记为点C．若抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大时，求a的取值范围．甲求得；乙求得．下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错B．甲错乙对C．二人答案合在一起才正确D．二人答案合在一起也不正确
【题型1】三角形的内切圆
【典型例题】如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（　　）
A.36° B.53° C.74° D.128°
【举一反三1】如图，Rt△ABC中，斜边BC＝10，AC＝6，内切圆I切各边为D，E，F，连结EF，作DG⊥EF交AB于G，则GD长为（　　）
A.7 B. C. D.
【举一反三2】如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE＝2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x：y的值为（　　）
A.2 B. C.3 D.
【举一反三3】如图，等腰三角形ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F．若AB＝AC＝10，BC＝12，则DF的长为 　　．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝7，△ABC的内切圆⊙O与边AC相切于点M，过点M作平行于边BC的直线MN交⊙O于点N，过点N作⊙O的切线交AC于点P．则MN﹣NP＝　 　．
【举一反三5】已知△ABC的内切圆O与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．试探究∠FDE和∠A之间的关系，并写出推理过程．
【举一反三6】如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线．
（1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数；
（2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长．
【题型2】三角形的内心
【典型例题】如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C等于（　　）
A.65° B.70° C.75° D.80°
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点M是AB上一点（不与点A重合），点P是△ACM的内心，则∠MPC的度数（　 　）
A.等于115° B.可以等于80° C.等于120° D.无法确定
【举一反三2】如图，点F是△ABC的内心，连接BF，CF，若∠BFC＝112°，则∠A＝（　 　）
A.44° B.45° C.50° D.55°
【举一反三3】如图，若AD、BE为△ABC的两条角平分线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE＝1，则ID＝　　．
【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，D是的中点，点E在AD上，且DE＝DB，点E是△ABC的内心吗？并说明理由．
【举一反三5】已知⊙O为△ACD的外接圆，过C作CE⊥AC，交⊙O于G，连接ED，∠CDE＝90°，点B为CE上一点，使得CA＝CB＝CD，⊙O交AB于点F．求证：F为△CDE的内心．
【题型3】三角形的内切圆与内心的应用
【典型例题】如图，已知△ABC中，∠C＝70°，AB＝10，内切圆⊙O半径为3，则图中阴影部分面积和是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（　　）
A.130° B.120° C.100° D.90°
【举一反三2】如图，在△ABC中，内切圆O与BC，CA，AB分别切于D，E，F若∠A＝50°，则∠EDF＝（　　）
A.55° B.65° C.75° D.85°
【举一反三3】如图，△ABC的内切圆⊙O分别切AB，AC，BC于F，E，D，若∠A＝70°，则∠BOC＝　 　度，∠EDF＝　 　度．
【举一反三4】如图，已知在△ABC中，内切圆I与边AB、AC分别相切于点D、E，点F是劣弧DE上一点，探索∠DFE与∠A的数量关系．
【举一反三5】如图，设△ABC的边BC＝a，CA＝b，AB＝c，s＝（a+b+c），内切圆⊙I和各边分别相切于点D，E，F．
求证：AE＝AF＝s﹣a，BF＝BD＝s﹣b，CD＝CE＝s﹣c．
【题型4】三角形的内心和外心的综合应用
【典型例题】已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（　　）
A.50° B.55° C.62.5° D.65°
【举一反三1】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC＝20°，则∠CAI的度数为（　　）
A.20° B.25° C.30° D.35°
【举一反三2】如图：
（1）点O是△ABC　 　心，又是△DEF的　 　心；
（2）⊙O是　 　的内切圆，又是　 　的外接圆；
（3）△　 　是⊙O的　 　三角形．
【举一反三3】如图，△ABC的内心为I，∠A＝52°，则∠BIC＝　 　，O为△ABC的外心，则∠BOC＝　 　．
【举一反三4】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．
（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．
【举一反三5】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC，交⊙O于D，点M是△ABC的内心．
（1）判断BC与DM的数量关系，并证明；
（2）若AB＝8，AC＝6，求AD的长．
【题型5】三角形的内切圆和外接圆的综合应用
【典型例题】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G．则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若，则；③若点G为BC的中点，则；④AE＝DE＝DB．其中不一定正确的是（　 　）
A.① B.② C.③ D.④
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，I是△ABC的内心，连接OI，若OI＝，∠BOI＝45°，则BC的长是（　 　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝　 　．
【举一反三3】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝50°，则∠BEC＝130°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的选项是 　 　．
【举一反三4】如图，△ABC中，E是△ABC的内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，求证：DE＝DB．2.3三角形的内切圆
【题型1】三角形的内切圆 3
【题型2】三角形的内心 10
【题型3】三角形的内切圆与内心的应用 16
【题型4】三角形的内心和外心的综合应用 20
【题型5】三角形的内切圆和外接圆的综合应用 26
【知识点1】三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 1.（2024秋 梁园区校级期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为（　　） A．40°B．70°C．110°D．140°
【答案】C 【分析】根据内心的定义即可求得∠IBC+∠ICB，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=70°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IBC=∠ABC=35°，∠ICB=∠ACB=35°，
∴∠IBC+∠ICB=70°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=110°．
故选：C． 2.（2024 海港区一模）抛物线y=a（x-1）（x-3）（a≠0）与x轴交于点A、B（A在B左侧），A、B两点与抛物线的顶点构成的三角形，当内心与外心重合时，此时抛物线顶点记为点C．若抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大时，求a的取值范围．甲求得；乙求得．下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错B．甲错乙对C．二人答案合在一起才正确D．二人答案合在一起也不正确
【答案】C 【分析】由二次函数解析式得出A（1，0），B（3，0），C（2，-a），由△ABC内心与外心重合，得出△ABC是等边三角形，从而得出C到x轴的距离为，由抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大，即可得出答案． 【解答】解：∵抛物线y=a（x-1）（x-3）（a≠0）与x轴交于点A、B（A在B左侧），
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵y=a（x-1）（x-3）=a（x-2）2-a,
∴顶点C（2，-a），
∵A、B两点与抛物线的顶点构成的三角形，内心与外心重合，
∴△ABC是等边三角形，
∴C到x轴的距离为，
∵抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大，
∴，
解得：或，
故选：C．
【题型1】三角形的内切圆
【典型例题】如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（　　）
A.36° B.53° C.74° D.128°
【答案】C
【解析】连接OD、OF，由切线的性质得∠ODA＝∠OFA＝90°，再根据圆周角定理求得∠DOF＝2∠DEF＝106°，则∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝74°，于是得到问题的答案．
连接OD、OF，
∵⊙O分别与AB、AC相切于点D、点F，
∴AB⊥OD，AC⊥OF，
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∵∠DEF＝53°，
∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°，
∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°，
故选：C．
【举一反三1】如图，Rt△ABC中，斜边BC＝10，AC＝6，内切圆I切各边为D，E，F，连结EF，作DG⊥EF交AB于G，则GD长为（　　）
A.7 B. C. D.
【答案】B
【解析】连结ID、IE、IF、IB，则CD＝CF，AE＝AD，BE＝BF，AC⊥ID，AB⊥IE，由∠A＝90°，BC＝10，AC＝6，根据勾股定理求得AB＝＝8，再证明四边形ADIE是正方形，由AE+AD＝AB+AC﹣（BE+CD）＝AB+AC﹣BC＝4，求得IE＝AE＝AD＝2，则BE＝6，所以IB＝＝2，因为IB⊥EF，DG⊥EF，所以IB∥DG，而ID∥BG，则四边形BIDG是平行四边形，所以GD＝IB＝2，于是得到问题的答案．
连结ID、IE、IF、IB，
∵⊙I与AC、AB、BC分别相切于点D，E，F，
∴CD＝CF，AE＝AD，BE＝BF，AC⊥ID，AB⊥IE，
∴∠ADI＝∠AEI＝∠BEI＝90°，BE+CD＝BF+CF＝BC，
∵∠A＝90°，BC＝10，AC＝6，
∴AB＝＝＝8，
∵∠ADI＝∠AEI＝∠A＝90°，ID＝IE，
∴四边形ADIE是正方形，
∵AE+AD＝AB+AC﹣（BE+CD）＝AB+AC﹣BC＝8+6﹣10＝4，
∴IE＝AE＝AD＝2，
∴BE＝8﹣2＝6，
∴IB＝＝＝2，
∵BE＝BF，IE＝IF，
∴点B、I都在EF的垂直平分线上，
∴IB垂直平分EF，
∵IB⊥EF，DG⊥EF，
∴IB∥DG，
∵ID∥BG，
∴四边形BIDG是平行四边形，
∴GD＝IB＝2，
故选：B．
【举一反三2】如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE＝2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x：y的值为（　　）
A.2 B. C.3 D.
【答案】C
【解析】延长AD，BE交于点F，延长AD，BE交于点F，首先推导出△ABF∽△CEB，然后利用相似三角形的性质得到＝＝3，进而得解．
延长AD，BE交于点F，
∵⊙O与AF，BF，AB均相切，
∴⊙O是△ABF内切圆，
又∵AF∥BC，
∴△ABF∽△CEB，
∴＝＝3，
∴＝＝3．
故选：C．
【举一反三3】如图，等腰三角形ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F．若AB＝AC＝10，BC＝12，则DF的长为 　　．
【答案】
【解析】由切线长定理得AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，而AB＝AC＝10，BC＝12，则BD＝CF，求得BE＝CE＝6，则BD＝6，所以AD＝4，再证明△ADF∽△ABC，得＝＝，则DF＝BC＝，于是得到问题的答案．
∵⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴AB﹣AD＝AC﹣AF，
∴BD＝CF，
∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，
∴BD＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，
∵∠ADF＝∠AFD＝（180°﹣∠A），∠B＝∠C＝（180°﹣∠A），
∴∠ADF＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴DF＝BC＝×12＝，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝7，△ABC的内切圆⊙O与边AC相切于点M，过点M作平行于边BC的直线MN交⊙O于点N，过点N作⊙O的切线交AC于点P．则MN﹣NP＝　 　．
【答案】0.6
【解析】首先根据等腰三角形的性质得出AM＝MC，以及利用平行线的性质得出GM＝2.5，再利用切割线定理求出MN的长，再利用△ABC∽MPN，得出＝，即可得求出PM的长，进而得出MN﹣NP的值．
∵AB＝BC＝5，AC＝7，△ABC的内切圆⊙O与边AC相切于点M（利用等腰三角形三线合一，），
∴AM＝CM＝3.5，
设MN交AB于点G，
∵MG∥BC，
∴∠C＝∠NMP，GM＝BC＝2.5，
∴AG＝BG＝2.5，
设⊙O与边AB相切于点R，
∵则AR＝AM＝3.5，
∴GR＝3.5﹣2.5＝1，
∵GR 2＝GN×GM，
∴1＝GN×2.5，
解得：GN＝0.4，
∴MN＝GM﹣GN＝2.5﹣0.4＝2.1，
∵∠C＝∠NMP，PN＝PM（切线长定理），
∴∠PNM＝∠PMN＝∠C＝∠A，
∴△ABC∽MPN，
∴＝，
即＝，
解得：PM＝1.5，
∴PN＝1.5，则
∴MN﹣NP＝2.1﹣1.5＝0.6．
故答案为：0.6．
【举一反三5】已知△ABC的内切圆O与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．试探究∠FDE和∠A之间的关系，并写出推理过程．
【答案】解：∠A＝180°﹣2∠FDE，理由是：
∵△ABC的内切圆O与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．
∴∠AFO＝∠AEO＝90°，
∴∠A＝360°﹣∠AFO﹣∠AEO﹣∠FOE＝180°﹣∠FOE，
∵弧EF对的圆周角是∠EDF，对的圆心角是∠FOE，
∴∠FOE＝2∠FDE，
∴∠A＝180°﹣2∠FDE．
【举一反三6】如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线．
（1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数；
（2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长．
【答案】解：（1）∵∠C＝40°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，
∴，
∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°；
（2）∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，设切点为I，
∴EH＝EI，DI＝DG，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE
＝CD+CE+EI+DI，
＝CD+CE+EH+DG，
＝CG+CH，
∵AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，
∴CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣（AH+AF+BF+BG），
＝8+6+9﹣2AB
＝8+6+9﹣2×6
＝11．
【题型2】三角形的内心
【典型例题】如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C等于（　　）
A.65° B.70° C.75° D.80°
【答案】B
【解析】根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA＝55°，根据内心的概念得到∠CAB+∠ABC＝110°，根据三角形内角和定理计算即可．
∵∠AIB＝125°，
∴∠IAB+∠IBA＝55°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝110°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝70°，
故选：B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点M是AB上一点（不与点A重合），点P是△ACM的内心，则∠MPC的度数（　 　）
A.等于115° B.可以等于80° C.等于120° D.无法确定
【答案】A
【解析】利用三角形内角和为180°求出∠B，∠A，设∠BCM＝x，通过外角定理与三角形内心的性质求出∠CMP，∠MCP，再利用三角形内角和定理消去x即可求出结论．
∵∠ACB＝80°，AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝50°，
设∠BCM＝x°，
则∠MCA＝80°﹣x，
∴∠AMC＝50°+x，
∵点P是ACM的内心，
∴CP平分∠MCA，MP平分∠AMC，
∴∠MCP＝∠ACP＝MCA＝（80°﹣x），∠CMP＝∠AMP＝AMC＝（50°+x），
∴∠MPC＝180°﹣∠MCP﹣∠CMP＝180°﹣（80°﹣x）﹣（50°+x°）＝115°．
故选：A．
【举一反三2】如图，点F是△ABC的内心，连接BF，CF，若∠BFC＝112°，则∠A＝（　 　）
A.44° B.45° C.50° D.55°
【答案】A
【解析】由F是△ABC的内心，得到BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，推出∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝2（180°﹣∠BFC），由三角形内角和定理即可求出∠A的度数．
∵点F是△ABC的内心，
∴BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝2（180°﹣∠BFC），
∵∠BFC＝112°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×（180°﹣112°）＝136°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝44°．
故选：A．
【举一反三3】如图，若AD、BE为△ABC的两条角平分线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE＝1，则ID＝　　．
【答案】
【解析】由已知条件和三角形的内角和定理可求出∠ACB＝60°，再由I为内心即可得到∠ICD＝30°，由正弦定理即可求出ID的长．
连接CI，
∵AD、BE为△ABC的两条角平分线，
∴∠BAI＝∠BAC，∠IBA＝∠ABC，
∵∠AIB＝180°﹣∠BAI﹣∠IBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），
又∵∠ABC+∠CBA+∠ACB＝180°，
∴∠AIB＝90°+∠C，
∵C，D，I，E四点共圆，
∴∠EID+∠ACB＝180°，
又∵∠AIB＝∠EID，
∴90°+∠C+∠C＝180°，
∴∠ACB＝60°，
∵I为内心，
∴∠ICD＝30°，
∵DE＝1，
∴＝2R，
∴R＝，
∴，
∴ID＝，
故答案为：．
【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，D是的中点，点E在AD上，且DE＝DB，点E是△ABC的内心吗？并说明理由．
【答案】解：点E是△ABC的内心，
证明如下：∵D是的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE＝DB，
∴∠DBE＝∠DEB，即∠DBC+∠EBC＝∠BAD+∠ABE，
∵＝，∴∠DBC＝∠BAD，
∴∠EBC＝∠ABE，又∠BAD＝∠CAD，
∴点E是△ABC的内心．
【举一反三5】已知⊙O为△ACD的外接圆，过C作CE⊥AC，交⊙O于G，连接ED，∠CDE＝90°，点B为CE上一点，使得CA＝CB＝CD，⊙O交AB于点F．求证：F为△CDE的内心．
【答案】证明：连接CF、DF、BD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∴∠CDF＝∠CAF＝45°，
∴∠EDF＝∠CDE﹣∠CDF＝45°，
∴DF平分∠CDE，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∵∠CDF＝∠CAF＝∠CBA，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴DF＝BF，
∵CD＝CB，CF＝CF，
在△CDF和△CBF中，
，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴∠DCF＝∠BCF，
∴CF平分∠DCE，
∴点F是△CDF内心．
【题型3】三角形的内切圆与内心的应用
【典型例题】如图，已知△ABC中，∠C＝70°，AB＝10，内切圆⊙O半径为3，则图中阴影部分面积和是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是△AOB的面积﹣扇形TOQ的面积，进而即可求解．
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为G，D，R，
∴图中阴影部分面积和是△AOB的面积﹣扇形TOQ的面积，
∵OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
∴∠OAB＝CAB，∠OBA＝∠CBA，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OAB+∠OBA＝∠CAB+∠CBA＝55°，
∴∠AOB＝180﹣（∠OAB+∠OBA）＝125°，
∴S阴影＝S△AOB﹣S扇形＝×10×3﹣×π×32＝15﹣π，
故选：A．
【举一反三1】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（　　）
A.130° B.120° C.100° D.90°
【答案】A
【解析】运用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB的度数，再根据点O是△ABC的内切圆的圆心，得出∠OBC+∠OCB＝50°，从而得出答案．
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝130°．
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，内切圆O与BC，CA，AB分别切于D，E，F若∠A＝50°，则∠EDF＝（　　）
A.55° B.65° C.75° D.85°
【答案】B
【解析】先根据切线的性质和四边形内角和定理求出∠EOF＝130°，再由同圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半即可得到答案．
如图所示，连接OE，OF，
∵内切圆O与CA，AB分别切于E，F，
∴∠AFO＝∠AEO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠EOF＝360°﹣∠A﹣∠AFO﹣∠AEO＝130°，
∵点D在圆O上，
∴，
故选：B．
【举一反三3】如图，△ABC的内切圆⊙O分别切AB，AC，BC于F，E，D，若∠A＝70°，则∠BOC＝　 　度，∠EDF＝　 　度．
【答案】125；55
【解析】已知O是△ABC的内心，则OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；由三角形内角和定理，可求出∠ABC+∠ACB的度数，进而可求得∠OBC、∠OCB的度数；在△OBC中，即可求出∠BOC的度数；
由切线长定理知：CE＝CD；且OC平分∠ECD，根据等腰三角形三线合一的性质可得出OC垂直平分DE，同理可求得OB也垂直DF，因此∠BOC和∠FDE互补，由此可求得∠FDE的度数．
∵O是△ABC的内心，
∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣70°）＝55°；
∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°．
∵CA、CB分别切⊙O于E、D，
∴CE＝CD；又OC平分∠BCA，
∴OC⊥DE；
同理可得：OB⊥DF；
∴∠FDE＝180°﹣∠BOC＝55°．
故答案为：125；55
【举一反三4】如图，已知在△ABC中，内切圆I与边AB、AC分别相切于点D、E，点F是劣弧DE上一点，探索∠DFE与∠A的数量关系．
【答案】解：连接IE和ID．
∵AB和AC是圆的切线，
∴ID⊥AB，IE⊥AC．
∴∠ADI＝∠AEI＝90°，
∴∠A+∠DIE＝180°，
∴∠DIE＝180°﹣∠A．
∵∠DFE＝∠1，即∠1＝2∠DFE，
又∠1+∠DIE＝360°，
∴180°﹣∠A+2∠DFE＝360°，
∴2∠DFE﹣∠A＝180°．
【举一反三5】如图，设△ABC的边BC＝a，CA＝b，AB＝c，s＝（a+b+c），内切圆⊙I和各边分别相切于点D，E，F．
求证：AE＝AF＝s﹣a，BF＝BD＝s﹣b，CD＝CE＝s﹣c．
【答案】证明：内切圆⊙I和各边分别相切于点D，E，F．
∴AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE，
设AE＝x，BF＝y，CD＝z，
∵BC＝a，CA＝b，AB＝c，
∴，
∵s＝（a+b+c），
∴AE＝AF＝s﹣a，BF＝BD＝s﹣b，CD＝CE＝s﹣c．
【题型4】三角形的内心和外心的综合应用
【典型例题】已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（　　）
A.50° B.55° C.62.5° D.65°
【答案】C
【解析】连接OB、OC，如图，利用内心的性质和三角形内角和得到∠BOC＝90°+∠BAC＝125°，利用点O是△BCP的外心，然后根据圆周角定理得到∠BPC＝∠BOC．
连接OB、OC，如图，
∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°+∠BAC＝90°+×70°＝125°，
∵点O是△BCP的外心，
∴∠BPC＝∠BOC＝×125°＝62.5°．
故选：C．
【举一反三1】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC＝20°，则∠CAI的度数为（　　）
A.20° B.25° C.30° D.35°
【答案】D
【解析】连接OC，则OC＝OB，所以∠OCB＝∠OBC＝20°，则∠BOC＝140°，所以∠BAC＝∠BOC＝70°，而点I是△ABC的内心，则∠CAI＝∠BAC＝35°，于是得到问题的答案．
连接OC，则OC＝OB，
∵∠OBC＝20°，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝140°，
∴∠BAC＝∠BOC＝70°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI＝∠BAC＝35°，
故选：D．
【举一反三2】如图：
（1）点O是△ABC　 　心，又是△DEF的　 　心；
（2）⊙O是　 　的内切圆，又是　 　的外接圆；
（3）△　 　是⊙O的　 　三角形．
【答案】（1）内；外；
（2）△ABC；△DEF；
（3）ABC；外切
【解析】根据三角形外接圆好外心、内切圆和内心的概念进行解答即可．
如图，
（1）点O是△ABC的内心，又是△DEF的外心；
（2）⊙O是△ABC的内切圆，又是△DEF的外接圆；
（3）△ABC是⊙0的外切三角形．
故答案为：（1）内；外；
（2）△ABC；△DEF；
（3）ABC；外切．
【举一反三3】如图，△ABC的内心为I，∠A＝52°，则∠BIC＝　 　，O为△ABC的外心，则∠BOC＝　 　．
【答案】116°；100°
【解析】直接利用三角形内心即角平分线的交点，外心是外接圆圆心，进而得出答案．
∵△ABC的内心为I，∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠BIC＝180°﹣×128°＝116°，
∵O为△ABC的外心，
∴∠BOC＝100°．
故答案为：116°；100°．
【举一反三4】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．
（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．
【答案】解：如图，△ABC中，AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，
由题意可知：
△ABC是锐角三角形，
则外心在三角形的内部．
作AD⊥BC于点D，
∴BD＝DCBC＝30cm，
∴AD40（cm）．
设△ABC的内心为I，半径为r，
外心为O，半径为R，
则点I、O都在AD上，
作IE⊥AB于点E，
则IE＝ID＝r，
连接IB、OB，
则OB＝OA＝R．
（1）∵S△ABD＝S△ABI+S△BDI
∴BD ADAB IEBD ID
即30×4050×r30×r
解得r＝15cm．
答：能从这块钢板上截得的最大圆的半径为15cm；
（2）在Rt△OBD中，OB＝R，BD＝30
OD＝AD﹣AO＝40﹣R，
根据勾股定理，得
R2＝（40﹣R）2+302
解得R（cm）．
答：用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是cm；
（3）∵ID＝r＝15cm，
OD＝40﹣R＝40（cm），
∴IO＝ID﹣OD（cm）．
答：这个等腰三角形的内心与外心的距离为cm．
【举一反三5】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC，交⊙O于D，点M是△ABC的内心．
（1）判断BC与DM的数量关系，并证明；
（2）若AB＝8，AC＝6，求AD的长．
【答案】解：（1）BC＝DM．理由如下：
连接DB、DC、CM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝CD，
∵点M是△ABC的内心，
∴CM平分∠ACB，
∴∠MCB＝∠MCA，
∵∠DMC＝∠DAC+∠MCA，
∠DAC＝∠BCD，
∴∠DMC＝∠BCD+∠MCB＝∠MCD，
∴DM＝DC，
∴BC＝DM；
（2）作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，如图，
在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10，
∴△ABC的内切圆的半径＝＝2，
∵点M是△ABC的内心，
∴AM平分∠BAC，
∴ME＝MF，
∴四边形AEMF为正方形，
∴AM＝ME，
∴AM＝2，
而DM＝BC＝5，
∴AD＝AM+DM＝7．
【题型5】三角形的内切圆和外接圆的综合应用
【典型例题】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G．则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若，则；③若点G为BC的中点，则；④AE＝DE＝DB．其中不一定正确的是（　 　）
A.① B.② C.③ D.④
【答案】D
【解析】利用圆的性质，结合内心的性质即可得出答案．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACB＝2∠BCE，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠CBE+∠BCE），
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠CBE+∠BCE＝60°，
∴∠BEC＝120°，故②正确；
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵点G为BC的中点，
∴BG＝CG，
∴在圆中，AG⊥BC，
∵AG＝AG，则△ABG≌△ACG，
∴∠AGB一定等于∠AGC，
即∠BGD＝90°一定成立，故③正确；
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
但AE≠BE，故④不一定正确．
∴一定正确的①②③，
故选：D．
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，I是△ABC的内心，连接OI，若OI＝，∠BOI＝45°，则BC的长是（　 　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过I作IH⊥AB于H，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，根据已知条件推出四边形IECF是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到IH＝OH＝OI＝1，根据全等三角形的性质得到BE＝BH，根据直角三角形的性质即可得到结论．
过I作IH⊥AB于H，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，
∵∠C＝90°，
∴四边形IECF是矩形，
∵I是△ABC的内心，
∴IE＝IF，
∴四边形IECF是正方形，
∵∠IOB＝45°，
∴△IOH是等腰直角三角形，
∴IH＝OH＝OI＝1，
∴CE＝IE＝IH＝1，
∵IE＝IH，BI＝BI，
∴Rt△BHI≌Rt△BEI（HL），
∴BE＝BH，
∴BC＝OB，
∴BC＝AB，
∴∠A＝30°，
∴∠IBE＝，
∴BE＝＝，
∴BC＝1+，
故选：D．
【举一反三2】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝　 　．
【答案】65°
【解析】设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α，根据内心得∠DAB＝α，∠ABE＝β，利用三角形内角和定理即可求得α+β＝65°，即可求得答案．
设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠DAB＝α，∠ABE＝β，
∴∠CAB+∠ABC+50°＝2α+2β+50°＝180°，
∴α+β＝65°，
则∠DBE＝α+β＝65°．
故答案为：65°．
【举一反三3】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝50°，则∠BEC＝130°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的选项是 　 　．
【答案】①③④
【解析】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧和等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明∠DEB＝∠DBE得到BD＝DE，则可对④进行判断．
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵点E是△ABC的内心，
∴，，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝130°，
∴，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣65°＝115°，故②不正确；
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD，
∵点G为BC的中点，
∴DG⊥BC，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
∵点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确，
∴一定正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【举一反三4】如图，△ABC中，E是△ABC的内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，求证：DE＝DB．
【答案】解：连接BE，
∵E为内心，
∴AE，BE分别为∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠EBA＝∠EBC，∠BAE＝∠EAC，
∴∠BED＝∠EBC+∠EAC，∠EBD＝∠EBC+∠CBD，
∵＝，
∴∠EAC＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠BED，
∴DE＝BD．

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