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北师大版九年级上册 第4章 图形的相似 单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列图形一定是相似图形的是（　　）
A．任意两个菱形 B．任意两个等边三角形
C．任意两个等腰三角形 D．任意两个矩形
2．下列四条线段为成比例线段的是（　　）
A．a=10，b=5，c=4，d=7 B．
C．a=8，b=5，c=4，d=3 D．
3．如果两个相似三角形的相似比为3：2，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　）
A．81：16 B．3：2 C．1：1 D．9：4
4．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若，△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
6．如图，AD∥BE∥CF，若AB=2，BC=4，EF=5，则DE的长度是（　　）
A．6 B． C． D．
7．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，CE的长为（　　）
A．2 B．4 C．3 D．5
8．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠C=∠E B．∠B=∠ADE C． D．
9．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD交于O，下列等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连结DE，BD，且DE∥BC．若AE：BE=1：2，△ADE的面积为3，则△BDC的面积为（　　）
A．21 B．18 C．15 D．12
11．如图，将边长为9的正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点B的对称点E落在边CD上，点A的对称点为F，EF交AD于点G，连接BG交PQ于点H，连接BE．下列四个结论中：①△PFG∽△QCE；②若BQ：CQ=5：4，则△PFG的面积为3；③EG2-BH2=GH2．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．如图，在△ABC中，点D、E在AC、BC边上，连接DE并延长交AB延长线于点G．过D作DF⊥AG于F．若2∠ADF=∠G，CE：BE=2：1，AD=2，AF=2，GE=4，则BA的长度为（　　）

A． B． C．9 D．12
二．填空题（共5小题）
13．若，则= ______．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 ______．（写出一种情况即可）
15．如图，l1∥l2∥l3，已知AB=6cm,BC=3cm,A1B1=4cm,则线段B1C1的长为______cm.
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是△ABC内部一点（不包括三条边），点F、G分别在AC、AB边上，且EF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为F、G．点D是AB边的中点，连接ED，若EF＜EG，则ED长的取值范围是 ______．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E是AB的中点，连结DE，P是边CD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点C落在DE上的点C′处，当△DPC′与△ADE相似时，CP= ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F．写出图中任意一对相似三角形，并说明理由．
19．如图，点E为矩形ABCD的边CD的延长线上一点，连接BE交AD于点F，AF=2DF．
（1）求证：CD=2DE；
（2）若△DEF的周长为6，求△ABF的周长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，已知：AC=3，BC=6．求：
（1）AB的长度；
（2）正方形CDEF的边长．
21．在图1中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
问题引入：
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，求S△ABD：S△ABC=______；当点D是BC边上任意一点时，求S△ABD：S△ABC=______（用图中已有线段表示）．
探索研究：
（2）如图2，O是线段AD上任意一点（不与点A、D重合），连接BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
22．如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD．
（1）求DE的长；（结果保留根号）
（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF．
①求证：△AGE∽△DGF；
②求DF的长．（提示：过点E作EH⊥CD于点H．）
北师大版九年级上册第4章图形的相似单元测试卷
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、B 3、B 4、A 5、C 6、C 7、B 8、D 9、C 10、B 11、B
12、C
二．填空题（共5小题）
13、； 14、∠ADE=∠C（答案不唯一）； 15、2； 16、＜DE＜5； 17、或；
三．解答题（共5小题）
18、解：①△AFD∽△EFC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，
∴∠DAF=∠CEF，∠D=∠FCE，
∴△AFD∽△EFC．
②△EFC∽△EAB，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠EFC=∠EAB，∠FCE=∠ABE，
∴△EFC∽△EAB．
③△EAB∽△AFD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠DAF=∠E，
∴△EAB∽△AFD．
综上所述有三对三角形相似，它们是：△AFD∽△EFC；△EFC∽△EAB；△EAB∽△AFD．
19、（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△ABF∽△DEF，
∴=，
∵AF=2DF，
∴AB=2DE，
∴CD=2DE；
（2）解：∵△ABF∽△DEF，
∴==2，
∵△DEF的周长为6，
∴△ABF的周长为12．
20、解：（1）∵∠C=90°且AC=3，BC=6，
由勾股定理知：AB2=AC2+BC2且AB＞0，
∴AB=，
故AB的长度为3；
（2）方法一、设正方形CDEF的边长为x,
∴CD=DE=EF=FC=x,
AF=AC-FC=3-x,
∵四边形CDEF是正方形，
∴EF∥CD 且∠EFA=∠EFC=90°，
∴∠AEF=∠ABC，∠EFA=∠EFC，
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得：x=2，
故正方形CDEF的边长为2．
方法二、连接CE，
∵S△ABC=×AC EF+BC DE，
∴3×6=（3+6）×EF，
∴EF=2，
故正方形CDEF的边长为2．
21、解：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=1：2；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC，
故答案为：1：2，BD：BC；
（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，
如图②作OE⊥BC于E，作AF⊥BC于F，
∵OE∥AF，
∴△OED∽△AFD，
∴，
∴．
22、（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
∵∠C=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∴DB=DC=AB=4，
∵BE=EC
∴DE⊥BC，
∴DE=CD sinC=2．
（2）①证明：∵AD∥BC
∴∠ADG=∠DEC=90°，
∴∠ADG=∠GFE=90°，
又∵∠AGD=∠EGF，
∴△AGD∽△EGF，
∴=，
∴=，
∵∠AGE=∠DGF，
∴△AGE∽△DGF，
②解：作EH⊥CD于H．
∵△AGE∽△DGF，
∴∠EAG=∠GDF=30°，
∵∠GFE=∠ADG=90°，
∴EF=AE==，
在Rt△ECH中，CH=1，EH=，
在Rt△EFH中，FH==2，
∴CF=2+1=3，
∴DF=CD-CF=1．

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