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2025--2026学年度上学期质量检测九年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．1，，6 B．，2，6 C．1，2， D．1，2，6
2．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
3．数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的半径为5，弦是弦上的一个动点，则的长可能是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______________．
8．已知二次函数的对称轴是直线，若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______________．
9．已知点与点是关于原点O的对称点，则长为______________．
10．如图，是的直径，D，C是上的点，，则______________．
11．如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为______________．
三、解答题（共87分）
12．（6分）解方程：；
13．（6分）某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，求共有多少个队参加？
14．（6分）如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面，在图中直角坐标系中，求出该抛物线的解析式．
15．（7分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，请按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中作一个面积为6的轴对称四边形；
（2）在图②中作一个面积为6的中心对称四边形；
（3）在图③中，作一个面积为7且有一组邻边相等的四边形．
16．（7分）如图，是的直径，点C、D均在上，，弦．
（1）求的直径．
（2）求的长．
17．（7分）如图，一张正方形纸板的边长为，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设，阴影部分的面积为．
（1）求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围；
（2）当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．
18．（8分）如表是二次函数的部分取值情况：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 c 4 3 n …
根据表中信息，回答下列问题：
（1）求该二次函数的图象的对称轴；
（2）二次函数的图象的顶点坐标是______________，表中c的值为______________，n的值为______________；
（3）在如图中的平面直角坐标系内画出该二次函数的图象．
（4）观察图象，直接写出时，x的取值范围是______________．
19．（8分）为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元．
（1）求2022-2024年买图书资金的平均增长率；
（2）按此增长率，计算2025年用于购买图书的费用．
20．（10分）“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至．某商家提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；
（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
21．（10分）如图，和都是等腰直角三角形，．
（1）如图①，当点E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______________，位置关系是______________；
（2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接与交于点与交于点N，此时①中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）绕点C在平面内旋转的过程中，若，当点E在线段上，直接写出的长．
22．（12分）如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点，使，求点D的坐标；
（4）若点P在直线上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
2025—2026学年度上学期质量检测九年级数学试题参考答案及评分标准
一、C C C C D B
二、7．1 8．（“”亦可） 9．10 10． 11．1
三、12．解：
2分
或 4分
或 6分
13．解：设共有x个队参赛，则 1分
4分
解得：（舍去）． 6分
答：共有8个队参赛．
14．解：设该抛物线的解析式是， 1分
由图象知，点在函数图象上，代入得： 3分
解得： 4分
故该抛物线的解析式是 6分
15．
（1） 2分
（2） 4分
（3） 7分
（若画图正确，但字母顺序标记反，则扣1分）
16．解：（1）是的直径，． 1分
∵同弧所对的圆周角相等，． 2分
． 3分
的直径为． 4分
（2）连接，则． 5分
7分
17．解：（1），
， 1分
，（有等不扣分） 4分
（2）， 5分
， 6分
∴当时，y有最大值为32，
故当时，阴影部分面积最大值为．（没有单位不扣分） 7分
18．解：（1），
1分
∴抛物线的对称轴为直线； 2分
（2），3，0； 5分
（3） 7分
（4）． 8分
19．解：（1）设2022-2024年买书资金的平均增长率为x， 1分
根据题意得：， 4分
解得：（不符合题意，舍去）， 6分
答：2022-2024年买书资金的平均增长率为20%；
（2）由题意得： 7分
（元）， 8分
20．解：（1）根据题意得： 1分
， 2分
（2）根据题意得：， 4分
整理得：，
解得：， 5分
，
， 6分
∴当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；
（3）根据题意得： 7分
，
，∴当时，w随x的增大而增大， 8分
， 9分
∴当时，w有最大值，最大值为2640， 10分
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
21．（1）（“相等”亦可）；（“垂直”亦可）； 2分
（2）（1）中结论还成立；理由如下： 3分
∵把绕点C旋转到如图②的位置，， 4分
在和中，
， 6分
， 7分
，
，
，
； 8分
（3） 10分
22．解：（1）把代入二次函数得：， 1分
得；（直接写出3，而没有上面的代入方程过程，扣1分） 2分
（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：；
当时，，
当时，，
，
，
或3， 3分
； 4分
（3），
当时，， 5分
或2，
符合题意． 6分
当时，，
10分
综上所述，点D的坐标为
（4）故点Q的坐标为或． 12分

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