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2025--2026学年江苏省南通市如皋市实验初中九年级（上）数学期中试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.如图，A，B，P是⊙O上三点，若∠P＝110°，则∠AOB的度数为（　　）
A. 70° B. 110° C. 125° D. 140°
3.若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
4.将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为（）
A. B. C. D.
5.如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为，底面半径为，制作这把遮阳伞至少需要用布料（ ）
A. B. C. D.
6.如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则的值为（ ）
A. 3 B. C. 12 D.
7.如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（　　）
A. B. C. 2 D. 3
8.如图，直线m是正五边形的对称轴，点P是直线m上的动点，当的值最小时，的度数是（　　）
A. B. C. D.
9.已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为( )
A. ﹣6 B. ﹣9 C. 0 D. 9
10.如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知反比例函数，若在每个象限内随的增大而增大，那么的取值范围是 ．
12.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（用“<”号连接） ．
13.如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了____ ____cm．（结果保留）
14.如果点是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是 ．（填“”，“”或“”）
15.如图，点都是上的点，，，则的度数为 ．
16.如图，的半径是，是的优弧的中点，弦，则的长为 ，为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数表达式为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知二次函数．
(1) 将二次函数化成的形式；
(2) 在平面直角坐标系中画出的图象；
(3) 结合函数图象，直接写出时x的取值范围．
18.(本小题8分)
《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学完《切线的性质与判定》后，王老师布置一题：
已知，如图所示，及外一点P．
(1) 按要求完成作图步骤并准确标注字母，尺规作图：作出线段的垂直平分线交于点A；以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），连接．
(2) 请问（1）中作图得到的是的切线吗？若是，请说明理由
(3) 设（1）中所作垂直平分线交于点C，若半径为3，，求的长．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
(3) 点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
20.(本小题8分)
如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．
(1) 求证：；
(2) 若，求的直径．
21.(本小题8分)
如图，已知二次函数的图象经过点.
(1) 求的值和图象的顶点坐标．
(2) 点在该二次函数图象上.
①当时，求的值；
②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.
22.(本小题8分)
如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，，求阴影部分的面积．
23.(本小题8分)
已知抛物线为常数．
(1) 求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(2) 若，两点在此抛物线上，比较与的大小；
(3) 已知点，都在该抛物线上，求证：．
24.(本小题8分)
综合与实践

如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
(1) 【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或__ ____m，_ _____m．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
(2) 【类比探究】
若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由．
(3) 【问题延伸】当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值．
(4) 【拓展应用】
外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围 ．
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为．
(1) 求此抛物线对应的函数表达式．
(2) 当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连接，求线段的长．
(3) 将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．
当图象对应的函数值随的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求的取值范围；
设点的坐标为，点的坐标为，连接，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】


17.【答案】【小题1】
；
【小题2】
由（1）得：顶点坐标为：(-1，4)，对称轴为：，开口向下，
当x=0时，y=3，∴交y轴正半轴3处，当y=0时，x=1或-3，∴与x轴有两个交点，
综上所述，图像如图所示：

【小题3】
根据（2）所画图像可得，，－3＜x ＜1.

18.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求，
【小题2】
是的切线．
理由如下：连接，
∵是的直径，
∴，
即于点B，
∴是的切线．
【小题3】
连接，
∵为的垂直平分线
∴
在中，
∴，
在中
．

19.【答案】【小题1】
解：反比例函数的图象经过点，
，
解得：，
，
把的坐标代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
【小题2】
解：观察图象可得，
不等式的解集为：或；
【小题3】
解：连接，由一次函数的解析式为可得，
∴，
设，
由题意可得，解得：，
或．


20.【答案】【小题1】
证明：连接，如图，

∵为的直径，
∴，即，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：设交于点T，如图，

∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴，即的直径为5；

21.【答案】【小题1】
解：把代入，得，
解得.
∵，
∴顶点坐标为.
【小题2】
①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.

22.【答案】【小题1】
证明：如图连接，则，
，
平分，
，
，
，
交的延长线于点，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
【小题2】
是的直径，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
．

23.【答案】【小题1】
解：∵，
∴抛物线顶点坐标为．
【小题2】
解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，，
又∵，
∴．
【小题3】
解：∵抛物线经过，，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴
将代入得，
∵，
∴．

24.【答案】【小题1】

4
2
【小题2】
不能围出面积为的矩形；
理由如下：
的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形．
故答案为：与函数图象没有交点；
【小题3】
如图中直线：所示，
∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，
∴由唯一解，即：方程只有一个解，
∴，解得：（负值舍去），
此时：，解得：，
当时，，
∴此时交点坐标为；
【小题4】


25.【答案】【小题1】
解：∵抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，
∴，，
∴，
∴此抛物线对应的函数表达式为；
【小题2】
解：∵点在点的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为，点、点关于此抛物线的对称轴直线对称，
∴，
解得：，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
∴线段的长为；
【小题3】
解：当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，可知：
点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意，
点A在左侧，点B在右侧；
可得：
解得：；
图象G在时，y随x的增大而先减小；在时，y随x的增大而增大；
则最低点即为抛物线顶点；
当，即时；点为图象G的最高点；
则；
由可得：；
当，即时；
点为图象G的最高点；则；
由得：；
∴综上，h的取值范围为：；
由题意，，即，
当线段与图象有公共点时，，
解得：，
当时，代入抛物线表达式可得，
设线段与抛物线的交点为点，则，
由题意可知点在线段上；
当，即时，则点在点上方，
∴，
又，
解得：；
当，即时；则点在点下方，
∴，
又，
解得：，
综上所述：或．

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