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2025-2026学年福建省福州八中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.未来将是一个可以预见的AI时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.把抛物线y=-2x2先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（　　）
A. y=-2（x+6）2+2 B. y=-2（x+6）2-2 C. y=-2（x-6）2+2 D. y=-2（x-6）2-2
3.如图，在△ABC中，∠A=50°，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△BDE，点D恰好落在AC的延长线上，则旋转角的度数是（　　）
A. 90°
B. 80°
C. 70°
D. 60°
4.已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. P在圆内 B. P在圆上 C. P在圆外 D. 无法确定
5.如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（　　）
A. OB=OB′
B. BC∥B′C′
C. 点A的对称点是点A′
D. ∠ACB=∠A′B′C′
6.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=150°，则∠ABC的度数（　　）
A. 30°
B. 150°
C. 105°
D. 110°
7.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm,瓶内液体的深度CD=2cm,则截面圆中弦AB的长为（　　）
A. 4cm B. C. 6cm D. 8cm
8.下列说法中，不正确的是（　　）
A. 直径是最长的弦 B. 同圆中，所有的半径都相等
C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的弧是等弧
9.已知锐角△ABC中，O是AB的中点，甲、乙二人想在AC上找一点P，使得△ABP的外心为点O，其作法如下.对于甲、乙二人的做法，正确的是（　　）
甲的作法
…（如图）
乙的作法
以A为圆心，AO长为半径画弧，交AC于点P，则P即为所求.
A. 只有甲正确 B. 只有乙正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，-m-2≤x≤-m+4.若A（-m-3，p），B（3m,q）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，且p＞q,则m的取值范围为（　　）
A. B. 或
C. 或 D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.点（2，-3）关于原点对称的点坐标是 .
12.如图，在⊙O中，，∠BDC=25°，则∠AOB的度数是 .
13.已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是______．
14.若抛物线y=x2-8x+k与x轴只有一个公共点，则k的值为______．
15.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=8，CD=15，则四边形ABCD的周长为 .
16.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=3，∠ACB=90°，将边长为1的正方形BDEF绕点B旋转一周，连结AE，点M为AE的中点，连结FM，则线段FM的最大值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程：
（1）x2-4x+1=0；
（2）3x（x-2）=2-x.
18.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2-（k+5）x+2k+6=0.
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于-1，求k的取值范围.
19.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC=40°．则∠BAF的度数为______；
（2）若AC=8，BC=6，求AF的长．
20.(本小题10分)
电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎.某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个.
（1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率.
（2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动.已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？
21.(本小题10分)
如图，已知△ABO.
（1）尺规作图：求作△CDO，使得△CDO与△ABO关于点O对称，其中A，C为对称点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AD，BC，若E，F分别是AD，BC的中点，求证：点E、O、F在一条直线上.
22.(本小题10分)
已知二次函数y=-4x2+4x.
（1）请完善表格，通过描点、连线，在网格图中画出函数图象，并利用图象回答：
当y≥0时，x的取值范围是______；
x … 0 0.5 1 …
y … …
（2）两个不相等的正数a,b满足a+b=2.
求证：关于x的方程ax2+2ax+2a-1=0，bx2+2bx+2b-1=0不可能同时有实数根.
23.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=90°，点E在BC的延长线上，且∠CED=∠CAB.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=4，DC=2时，求AC的长.
24.(本小题10分)
太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具.目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的.若抛物线的表达式为y=ax2，则抛物线的焦点为.
（1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______；
（2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与y轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径AB为1.5米，凹面深度CD为0.25米，求抛物线的表达式______；
（3）如图4，在（2）的条件下，MN为平行于y轴的入射光线，NF为反射光线，N为切点，F为焦点，当∠MNG=∠FNG=22.5°时，求点N的横坐标；
（4）如图5，在（1）的条件下，点E是焦点，α表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当α为45°时，求点B的坐标.
25.(本小题10分)
将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，且点D落在BC的延长线上，连接CE.
（1）如图1，若α=120°，∠DEC=90°，CE交AD于点F.
①求∠BAC的度数；
②直接写出的值.
（2）如图2，若点M，N分别为BD，CE的中点，连接MN并延长交AD于点G，求证：MG⊥AD.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】（-2，3）
12.【答案】50°
13.【答案】相离
14.【答案】16
15.【答案】46
16.【答案】
17.【答案】；

18.【答案】（1）证明：一元二次方程x2-（k+5）x+2k+6=0，
∵a=1，b=-（k+5），c=2k+6，
∴Δ=b2-4ac=[-（k+5）]2-4（2k+6）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（k+5）x+2k+6=0，
∵a=1，b=-（k+5），c=2k+6，
∴Δ=b2-4ac=（k+1）2，
∴，
∴x1=2，x2=k+3，
∵此方程恰有一个根小于-1，
∴k+3＜-1，
∴k＜-4．
19.【答案】（1）65°；
（2）∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE=BC=6，EF=AC=8，
∴AE=AB-BE=10-6=4，
∴AF==4．
20.【答案】日平均增长率为30%；
每个玩偶降价2元
21.【答案】（1）解：如图，△CDO即为所求；
（2）证明：∵△CDO与△ABO关于点O对称，
∴△AOB≌△COD，
∴∠OAB=∠OCD，OA=OC，OB=OD，
∴AB∥CD，
∵AE=ED，BF=CF，
∴OE∥CD，OF∥AB，
∴OF∥CD，
∵OE∥CD，
∴E，O，F共线．
22.【答案】见解析，0≤x≤1；
见解析．
23.【答案】（1）证明：如图，连接BD，
∵∠DAB=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°，
∵∠CED=∠CAB，
∴∠BAC+∠CDE=90°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，
∴∠BDE=90°，
即：BD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：设BD与AC交于点F，
由（1）知：BD⊥DE，
∵DE∥AC，
∴BD⊥AC，
∴CB=AB=4，，
在Rt△BCD中，，
∵，
∴，
∴．
24.【答案】（0，1）；
；
或；
．
25.【答案】（1）解：①∵AB=AD，∠BAD=120°，
∴∠B=∠ADB=30°，
∵AC=AE，∠CAE=120°，
∴∠ACE=∠AEC=30°，
∵∠DEC=90°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=30°+90°=120°，
由旋转变换的性质可知∠ACB=∠AED，
∴∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-120°=30°；
②=．
（2）证明：连接AM，AN．
∵AB=AD，BM=DM，
∴AM⊥BD，AM平分∠BAD，
∵AC=AE，CN=EN，
∴AN⊥CE，AN平分∠CAE，
∴∠AMC=∠ANC=90°，
∴A，C，M，N四点共圆，
∴∠ACN=∠AMN，
∵∠BAD=∠CAE=α，∠CAN=∠CAE，∠MAD=∠BAD，
∴∠CAN=∠MAD，
∵∠ACN+∠CAN=90°，
∴∠AMG+∠MAG=90°，
∴∠AGM=90°，
∴MG⊥AD．
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