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北京市交通大学附属中学第二分校 2025-2026 学年高二上学期
10 月月考数学试题
一、选择题
1．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（ ）
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
2．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC 2，CC D ABCD1 3，则四棱锥 1 的体
积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
3．设 , 是两个不同的平面，m是直线且m ，则“ m / / ”是“ / / ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，
在羡除 ABCDEF 中，底面 ABCD是正方形， EF ∥平面 ABCD， EF 2，其余棱长都为1，
则这个几何体的体积为（ ）
2 2 2
A．2 2 B． 2 C． D．
3 3
5．如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱 AA1 20 ，下
6
底面 ABCD的边长为 5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为 ，则上底面
3
A1B1C1D1的边长为（ ）
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A．15 B．5 10 2 C．25 D．5 20 2
6．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，P为BC 的中点，Q为线段CC1上的动点，过
点 A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为 S，给出下列四个结论：
1
∥当0 < CQ < 时，S为四边形；
2
1
∥当CQ = 时，S为等腰梯形；
2
6
∥当CQ 1时，S的面积为 ；
2
3 1
∥当CQ = 时，S与C1D1的交点 R满足C1R = .以上结论正确的个数是（）
4 3
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．如图，在三棱锥D AEF 中，A1、B1 、C1 分别是DA、DE 、EF 的中点，B 、C 分别是
AE 、 AF 的中点，设三棱锥D AEF 的体积为V1，三棱柱 ABC A V1B1C1的体积为 2 ，则
V1 :V2 .
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8．如图，梯形 A B C D 是水平放置的平面图形 ABCD用斜二测画法得到的直观图，
A D 2B C 2, A B 1，则在平面图形 ABCD中，AB ；图形 ABCD的面积为 ．
9．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，则在正方体的顶点中，满足到平面 A1DB 的距
3
离为 的一个顶点为 .
3
10．某圆锥的母线长为 5cm，底面半径长为 3cm，则该圆锥的高为 ，体积为 .
11．已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，点M 为线段D1B1 上的动点，点N 为线段 AC 上的动点，
则与线段DB1相交且互相平分的线段MN 有 条.
12．如图，若正方体的棱长为 2，点 P 是正方体 ABCD A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1上的一个
动点（含边界），E, F 分别是棱BC, DD1上的中点，有以下结论：
①△PAE 在平面CDD1C1 上的投影图形的面积为定值；
②平面 AEF 截该正方体所得的截面图形是等腰梯形；
③ PE PF 的最小值是 13 ；
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2π
④若保持 EP 2 2 ，则点 P 在上底面内运动路径的长度为 ．
3
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
13．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形，点E ，F ，G 分别是PD，AC ，
PA的中点，平面PAB 平面EFG l .
证明：
(1) EF / /l ；
(2)平面EFG / / 平面PBC .
1 1
14．如图所示，点 P是平面 ABCD外一点，BC / / 平面PAD ，BC AD，PE ED .
3 2
(1)求证：CE / /平面PAB；
(2)问：是否存在线段 AD上的一点 N，使得对线段CE 上的任一动点M，均有MN / / 平面PAB
成立？若存在，请指出点 N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
15．如下图所示，多面体 A1B1D1DCBA是由长方体 ABCD A1B1C1D1沿相邻三个面的对角线
截出的几何体，其中 AB 4， AD 3， AA1 2，E 为 B1D1的中点，过 A1，D ，E 的平面交
CD1于 F ．
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(1)求该多面体 A1B1D1DCBA的体积；
(2)求证：B1C// 平面 A1DE ；
(3)判断直线EF 与直线B1C的位置关系，并对你的结论加以证明．
16．如图，空间四边形 ABCD中， E, F 分别是 AD, AB的中点，G, H 分别在BC,CD上，且
BG :GC＝DH : HC＝1: 2 ．
(1)求证：E, F ,G, H 四点共面；
(2)设 FG 与HE 交于点 P ，求证：P, A,C 三点共线．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B B D C D
7．8 : 3
8．2；3.
9．点 A（ A,B1,D1,C中任填一个即可）（答案不唯一）
10．4 cm；12π cm3 .
11．1
12．①④
13．
（1）在四棱锥P ABCD 中，连接BD，由底面 ABCD是平行四边形，得F 是BD的中点.
而 E 是PD的中点，则EF / /PB ，又EF 平面PAB，PB 平面PAB，则EF / /平面PAB，
而平面PAB 平面EFG l ，EF 平面EFG ，所以EF //l .
（2）由G ， F 分别是PA， AC 中点，得 FG //PC ，
又 FG 平面PBC ， PC 平面PBC ，则FG // 平面PBC ，
由（1）知EF //PB ，又EF 平面PBC ，PB 平面PBC ，则EF // 平面PBC ，
又 EF FG F ，EF, FG 平面EFG ，所以平面EFG // 平面PBC .
14．
1
（1）如图，在 AP 上取靠近 P 的三等分点 F，即PF FA，连接 EF , BF ，
2
1
PE ED ，
2
答案第 1 页，共 3 页
1
∥ EF / / AD，EF AD .
3
∥ BC / / 平面PAD ， BC 平面 ABCD，平面 ABCD 平面PAD AD，
∥ BC / / AD ，
1
∥ BC AD，
3
∥ BC / /EF ， BC EF ，
∥四边形BCEF 为平行四边形，
∥CE / /BF ，
∥CE 平面PAB， BF 平面PAB，
∥CE / /平面PAB .
（2）存在，点 N为 AD的靠近 A的三等分点.证明如下：
1
如图，在 AD上取点N 使得 AN AD，连接CN, EN .
3
1 1
∥ PE ED ， PE PD .
2 3
∥ EN / /PA .
∥ EN 平面PAB，PA 平面PAB，
∥ EN / / 平面PAB .
由（1）得，CE / /平面PAB，
∥CE EN E ，CE 平面CEN ，EN 平面CEN ，
∥平面CEN / / 平面PAB，
∥ MN 平面CEN ，
∥ MN / / 平面PAB .
15．
（1）长方体 ABCD A1B1C1D1的体积为V1 4 3 2 24，
1 1
被截去的三棱锥的体积为V2 4 3 2 4，
3 2
答案第 2 页，共 3 页
所以多面体 A1B1D1DCBA的体积为24 4 20．
（2）证明：在长方体中矩形中， A1B1 ∥CD， A B CD1 1 ，
所以四边形 A1B1CD为平行四边形．
所以 B1C//A1D，
又 B1C 平面 A1DE ， A A DE1D 平面 1 ，
所以B1C// 平面 A1DE ．
（3）直线EF // 直线B1C
证明：由（2）有B1C// 平面 A1DE ，
又 B C 平面D B C，平面D1B C1 1 1 1 平面 A1DE EF，
所以B1C //EF .
16．
（1）证明：在 ABD 中，∥ E, F 为 AD, AB的中点，
∥ EF / /BD ．
在 CBD 中，∥ BG :GC DH : HC 1: 2，
∥GH / /BD，∥ EF / /HG ，
∥ E, F ,G, H 四点共面．
（2）∥ FG HE＝P，P FG ，P HE，
∥ P 平面 ABC ， P 平面 ADC ，
又平面 ABC 平面 ADC＝AC ，
∥ P 直线 AC ．∥ P, A,C 三点共线．
答案第 3 页，共 3 页

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