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2025-2026学年河北省石家庄十七中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin30°的值等于（　　）
A. B. C. D.
2.若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（　　）
A. 1： B. 1：2 C. 1：3 D. 1：4
3.下列属于一元二次方程的是（　　）
A. x2+3x=0 B. 4x+y=0 C. x2-y=5 D. 2x-7=3
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则AE：AC等于（　　）
A. 3：2
B. 2：3
C. 4：9
D. 1：2
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，那么tanA=（　　）
A. B. C. 2 D.
6.如果关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A. k＜1 B. k＜1且k≠0 C. k＞1 D. k＞1且k≠0．
7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　）
A. B. 3 C. 2 D. 1
8.某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的.”则这位同学是（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC=2：3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF：BF等于（　　）
A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2
10.在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（　　）
A. x（x+1）=21 B. （x+1）=21 C. x（x-1）=21 D. （x-1）=21
11.如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，则sinA=（　　）
A.
B.
C.
D.
12.如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线交AD于点F，如果AB=3，BC=4，那么DF的长是（　　）
A. 3
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知3y=4x,则= .
14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC的长为______．
15.如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______cm．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′C′D′，B′C与AD交于点E，AD的延长线与A′D′交于点F．当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，则EF=______．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程（或式）：
（1）x2-4x+2=0；
（2）9（x-1）2=16；
（3）2cos60°+3tan30°；
（4）sin30°+cos260°-°.
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，3），B（-3，1），C（-1，3），请按下列要求画图：
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）以点A为位似中心将△ABC放大2倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出点B2的坐标．
19.(本小题8分)
某水果店销售一种水果的成本价是5元千克.在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元千克时，每天可以卖出160千克.在此基础上，这种水果的单价每提高1元千克，该水果店每天就会少卖出20千克．
（1）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？
（2）在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？
20.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B.
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AE=4，DE=6，求菱形ABCD的边长.
21.(本小题8分)
如图，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，∠BCM=∠BAC.
（1）求sin∠BAC的值.
（2）求点B到直线MC的距离.
22.(本小题12分)
感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠DEA=90°，可得△ABC△DAE，进而得到=______.我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD=∠B．
①求证：△ABP△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】C
12.【答案】D
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】2
16.【答案】
17.【答案】；
；
；

18.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△AB2C2为所作，B2（-6，7）或（-2，-1）．
19.【答案】解：（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，设单价应为x元，
由题意得：（x-5）[160-20（x-7）]=420，
化简得，x2-20x+96=0，
解得x1=8，x2=12．
答：若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元；
（2）因为让利于顾客，所以单价应定为8元．
20.【答案】（1）证明：如图．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠AEB，
又∵∠B=∠AED，
∴△ABE∽△DEA；
（2）解：∵△ABE∽△DEA，
∴=，
∴AE DE=AB DA．
∵四边形ABCD是菱形，AB=AD，
∴AB2=AE DE=24，
∴AB=2或-2（舍去）．
∴菱形ABCD的边长为2．
21.【答案】解：（1）如图：
在Rt△ABC中，
BC===5．
sin∠BAC==；
（2）作BE⊥MC，垂足是E，
BE=BC sin∠BCE，
∴BE=5×=．
22.【答案】（1）；
（2）①证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，
∴∠BAP=∠CPD，
∵∠B=∠C，
∴△ABP△PCD；
②解：∵BC=12，点P为BC中点，
∴BP=PC=6，
∵△ABP△PCD，
∴=，即=，
解得：CD=3.6；
（3）解：BP的长为：2或．
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