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高三数学期中考试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足（其中是虚数单位），且复数实部和虚部互为相反数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，则（ ）
A. 2 B. C. D. 3
4. 已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，若为直角三角形，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
5. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A. 4 B.
C. D. 8
7. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ）
A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小
C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小
8. 已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分）
9. 已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A. 点B到平面的距离是
B 平面与平面垂直
C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为
D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形
11. 函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则__________．
13. 已知是方程的一个根，是方程的一个根，则______.
14. 已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，其中e为自然对数的底数.
（1）若曲线在点处切线与直线l：垂直，求实数a的值；
（2）求函数的单调区间；
16. 已知数列中，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）给定正整数，设函数，求.
17. 在中，内角的对边分别是，若，且．
（1）求和；
（2）若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长．
18. 已知定义在上偶函数和奇函数，若，，．
（1）求的值；
（2）若函数．
（ⅰ）当时，求函数的最小值；
（ⅱ）是否存在，使得关于不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当，时，证明：．
参考答案
DABAB DAC 9ACD 10ABD 11BC 12 13 8 14
15 【小问1详解】
，因为在点处的切线与直线l：垂直，
则，解得.
【小问2详解】
，当时，，此时的单调增区间为，无单调减区间；
当时，令，解得，
令，解得.
则此时单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述：当时，的单调增区间为，无单调减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
16 【小问1详解】
，，
又，则是首项为1，公差为1的等差数列；
【小问2详解】
由（1）知，则，
，，
令，
则，
两式相减可得，
.
17【小问1详解】
因为，所以，
又，故，则；
因为，，
由余弦定理及正弦定理得：，
所以，解得；
【小问2详解】
由余弦定理得：，即有①；
设为的中点，即，又因为，
所以，即②，
由①，②得：，
所以，所以．
因为为的平分线，所以，
则，
即．
18【小问1详解】
因为为偶函数，则恒成立，即，
即，
因为，所以，即，
所以，因为对所有都成立，所以；
因为函数为奇函数，且定义域为，
所以，即，所以，
即，因为，所以符合题意；
【小问2详解】
因为，
则
，
令，则，
（ⅰ）因为，且是关于的增函数，所以，
，对称轴为，
当时，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递减，
所以，
综上，当时，的最小值为；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为；
（ⅱ）因为，则，
所以若的解集为，
则关于的不等式的解集为，
则是方程的两根，且，
所以有，且，
解得，
所以当时，不等式的解集为．
19【小问1详解】
当时，的定义域为．
，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此的极大值为，没有极小值．
【小问2详解】
，等价于在上恒成立，
令，由得，．
下面证明当时，在上恒成立．
当时，，
令，则，
当时，令，则，
所以在上单调递增，所以，所以在上单调递减，
所以成立，即在上恒成立．
当时，因为，，，
所以，
所以在上单调递增，则，即在上恒成立．
综上可知，实数a的取值范围为．
【小问3详解】
要证明，只需证明，
设，
当时，，
由（1）可知，，即，当且仅当时取得等号，
又，所以，因此．
当时，，所以在上单调递增，
所以．
当时，，
综上可知，，
故当，时，.

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