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2025-2026学年四川省绵阳市富乐实验学校九年级（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线y=（x-2）2+3的顶点坐标是（　　）
A. （-2，3） B. （2，3） C. （-2，-3） D. （2，-3）
2.某中学举办智力问答比赛，九年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些成绩的众数是（　　）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
3.下列各图中，能表示y是x的函数的是（　　）
A. B. C. D.
4.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A. OB=OD，OA=OC B. AB∥CD，AD∥BC
C. AD∥BC，AB=CD D. AB∥CD，AB=CD
5.如图，直线y1=kx+b与直线y2=mx-n交于点P（2，t），则不等式kx+b＜mx-n的解集是（　　）
A. x＞0
B. x＜0
C. x＞2
D. x＜2
6.如图是一张长40cm、宽28cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是364cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为x cm，那么x满足的方程是（　　）
A. 40×28-4x2=364
B. （40-2x）（28-2x）=364
C. 40×28-2（40x+28x）=364
D. （40-2x）（28-2x）=364×
7.小马在解关于x的一元二次方程x2-4x+c=0时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（　　）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个根是x=2
8.关于x的一元二次方程（k-1）2x2+（2k+1）x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A. 且k≠1 B. 且k≠1 C. D.
9.已知a和b是方程x2+2024x-4=0的两个解，则a2+2023a-b的值为（　　）
A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028
10.如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点.动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　）
A. 2 B. 2.5 C. D. 4
11.如图，在长方形ABCD中，AC是对角线，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°到长方形GBEF的位置，H是EG的中点，若AB=3，BC=4，则线段CH的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
12.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（-1，0），对称轴为直线x=1，下列结论中：①a-b+c=0；②若点（-3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2+bm+c≤-4a；④若+bx1=+bx2且x1≠x2，则x1+x2=-2；⑤方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜-1，x2＞3.其中正确的结论个数是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算：= .
14.某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按5：3：2的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是80，70，90，则他的总分为 .
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC=3，BC=4，则EF的长为 .
16.如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为______米．
17.若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）-2x1x2=20，则m= .
18.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E，F分别在BD和BC上，且DE=BF，则AE+AF的最小值为 .
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
用指定方法解下列方程：
（1）x2-6x+4=0（配方法）；
（2）5x2-3x=x+1（公式法）.
20.(本小题8分)
某校在进行数学测试后，从两个班级中各随机抽取了10名学生分成两队，整理成绩、描述和分析如下，成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100.
甲队的成绩是：95，95，80，95，97，97，91，99，90，81.
乙队成绩在C组中的数据是：94，90，92.
甲、乙两队的成绩统计表
队伍 平均数 中位数 众数 方差
甲队 92 m n
乙队 92 93 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述m、n、a的值；m=______，n=______，a=______；
（2）学校欲选派成绩更稳定的队伍参加数学竞赛，学校应选派哪一个队？请说明理由.
21.(本小题8分)
如图，菱形ABCD中，BD为对角线，点E、F是直线BD上的不同的两个点，且BE=DF.
（1）试判断四边形AECF的形状，并加以证明；
（2）若，菱形ABCD的边长为5，EF=12，试求菱形ABCD的面积.
22.(本小题8分)
第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开.徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱.某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚.
（1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
（2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
23.(本小题8分)
如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是以AP为腰的等腰三角形时，求m的值．
24.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，若S△BEF：S△BDE=2：3，求出点D的坐标；
（3）若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】B
12.【答案】C
13.【答案】
14.【答案】79分
15.【答案】1
16.【答案】1
17.【答案】3或5
18.【答案】4
19.【答案】，；
x1=1，．
20.【答案】95，95，40；
学校应选派甲队，理由见解析
21.【答案】解：（1）四边形AECF是菱形，理由如下：
如图，连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，AB=CD，AB∥CD，
∴AE=CE，∠ABD=∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF，∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE=CE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵BE=DF，
∴DE=BF，
∵DE=BD，
∴DE=BF=BD，
∵EF=12，
∴BD=6，
∵菱形ABCD的边长为5，
∴AD=5，DO=BO=3，AO=CO，AC⊥BD，
∴AO===4，
∴AC=8，
∴菱形ABCD的面积==24．
22.【答案】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x,
根据题意得：256（1+x）2=400，
解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不符合题意，舍去），
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为（68-45-m）元，月销售量为（400+20m）枚，
根据题意得：（68-45-m）（400+20m）=8400，
整理得：m2-3m-40=0，
解得：m1=8，m2=-5 （不符合题意，舍去），
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
23.【答案】解：（1）由题意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2-m，AD=4-m，
∴点D的坐标为（-2，4-m）．
（2）分三种情况
①若AP=AD，则4+m2=（4-m）2，解得m=；
②若PD=PA
过P作PF⊥AB于点F（如图），
则AF=FD=AD=（4-m）
又∵OP=AF，
∴m=（4-m）则m=．
综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或．
24.【答案】解：（1）由抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，设抛物线为y=a（x-3）（x+1），
∴y=ax2-2ax-3a,
∴-3=-3a,
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）在y=x2-2x-3中，令x=0得y=-3，
∴C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B（3，0）、C（0，-3）代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设D（m,m2-2m-3），则E（m,m-3），F（m,0），
∴EF=3-m,DE=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m,
∵S△BEF：S△AEF=2：3，
∴EF：ED=2：3，
∴=，
解得：m1=3（不符合，舍去），，
∴D点的坐标为；
（3）存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设P（a,0），Q（b,b2-2b-3），且B（3，0），C（0，-3），
①当PQ，BC为对角线时，则PQ，BC的中点重合，
，
解得：或（此时B，P重合，舍去），
∴P（1，0）；
②当PB，QC为对角线时，PB，QC中点重合，
∴
解得：或，
∴或；
③当PC，QB为对角线时，
∴（舍去）或，
∴P（5，0）．
综上所述，P的坐标为（1，0）、（-2+，0）、、（5，0）．
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