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人教版2025—2026学年九年级上册数学期中考试调研检测试
（湖南长沙专用）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．未来乃可预见之时代，寰宇知名人工智能企业徽标林立，请问下列图示中，属中心对称而非轴对称的图像是（ ）
A． B． C． D．
2．设方程的两个根为，那么的值等于（ ）
A． B． C．4 D．6
3．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从大到小的顺序排列正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　
A．55° B．60° C．65° D．70°
7．若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
9．已知抛物线，当时，函数的最大值为2，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．把方程配方，化为的形式为 ．
12．设x1，x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．若x1+x2＝3，则x1x2＝ ．
13．若m是方程的一个根，则的值为 ．
14．已知抛物线经过点，则的最小值是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为 ．
16．已知函数在上有最大值9，则常数a的值是 ．
第II卷
人教版2025—2026学年九年级上册数学期中考试调研检测试卷（湖南长沙专用）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．已知一元二次方程．
(1)若方程的一个根为，则的值为______；
(2)若方程有相等的实数根，求的值．
18．已知函数．
(1)该函数的对称轴为________，顶点为________；
(2)当________时，随增大而减小；
(3)当时，函数值的取值范围是________．
19．解方程：
(1)； (2)．
20．在平面直角坐标系中，的顶点坐标是、、．
（1）画出绕点B逆时针旋转的；
（2）画出关于点O的中心对称图形；
（3）可由绕点M旋转得，请写出点M的坐标：________．
21．已知关于x的方程：x2﹣（6+m）x+9+3m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程都有实数根．
（2）若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长，求m的值．
22．景城邻里中心超市进了一批成本为8元/个的文具盒．调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：
（1）这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式 （不必写出自变量x的取值范围）；
（2）设超市每星期的销售利润为W，写出W与x之间的函数关系式；
（3）若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于125个，且单件利润不低于3元（x为整数），当每个文具盒定价多少元时，超市每星期利润最高？最高利润是多少
23．已知：x1，x2是x2+8x+m＝0的两个实数根，且＝60求．
（1）m的值；
（2）
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为(4，0)，与y轴交于C(0，﹣4)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
25．在平面直角坐标系中，对于点，当 点满足时，称点是点的“差反点”．
(1)判断点， 哪个是点的“差反点”？
(2)若直线上的点A 是点的“差反点”，求点A的坐标；
(3)抛物线上存在两个点是点的“差反点”，求p 的取值范围；
(4)对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t 的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A D C B B D B
二、填空题
11．
12．2
13．
14．
15．.
16．1或
三、解答题
17．【解】（1）解：方程的一个根为，
，
解得：；
（2）解：根据题意，可得且，
解得：．
18．【解】（1）解：
，
∴该函数的对称轴为直线，顶点为；
故答案为：，
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，随增大而减小；
故答案为：
（3）解：∵抛物线开口向下，顶点为，
∴当时，函数有最大值，最大值为5，
当时，，
当时，，
∴当时，函数值的取值范围是．
故答案为：
19．【解】（1）解：
∵，
∴，
∴；
∴；
（2）解：，
∴
或，
∴．
20．【解】解：（1）如图，是所求作的三角形，
（2）如图，是所求作的三角形；
（3）如图，；是旋转对应点，
到旋转中心的距离相等，到旋转中心的距离相等，
则线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，其坐标为：
21．【解】（1）证明：对于关于x的方程x2-（6+m）x+9+3m=0，
∵，，，
∴=（6+m）2-4（9+3m）=m2≥0，
∴无论m为何值方程都有两个实数根；
（2）解：∵直角三角形的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴AB+AC=m+6，AB AC=9+3m，
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2，
∴（AB+AC）2-2AB AC=BC2，
即（m+6）2-2×（9+3m）=52，
解得：m=-7或m=1，
又∵AB AC=9+3m，m为正数，
∴m的值是1．
22．【解】解：（1）设，
根据图象列式，解得，
∴，
故答案是：；
（2）；
（3），解得，
，解得，
∴，
，
当时取最大值，但是x取不到19，只能取17.5，
当时，，
答：当每个文具盒定价17.5元时，超市每星期利润最高，最高是1187.5元．
23．【解】解：（1） x1，x2是x2+8x+m＝0的两个实数根，
解得：
经检验：符合题意.
（2）
方程的两个根都为负数，
设
即
24．【解】(1)将B、C两点的坐标代入得：
，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣3x﹣4；
(2)存在点P，使四边形POP′C为菱形，
如图1，连接PP′，设PE⊥CO于E，
∵C(0，﹣4)，
∴CO=4，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=2
∴y=﹣2；
∴x2﹣3x﹣4=﹣2
解得：x1=，x2=(不合题意，舍去)，
∴P点的坐标为(，﹣2)；
(3)如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P(x，x2﹣3x﹣4)，设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x﹣4，
则Q点的坐标为(x，x﹣4)；
令，则0=x2﹣3x﹣4，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴A点坐标为(-1，0)，
∴AO=1，AB=5，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB OC+QP BF+QP OF
=AB OC+QP OB
=×5×4+4 [x﹣4﹣(x2﹣3x﹣4)]
=﹣2x2+8x+10
=﹣2(x﹣2)2+18，
当x=2时，四边形ABPC的面积最大，最大值为18．
此时P点的坐标为：(2，﹣6)，四边形ABPC的面积的最大值为18．
25．【解】（1）解：∵，
∴是点的“差反点”；
故答案为：
（2）解：∵点A是直线上的点，
∴可设点，
∵点A是点的“差反点”，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）解：设抛物线上满足题意的“差反点”为，
∵点，
∴，
整理，得，
∵抛物线上存在两个满足题意的“差反点”，
∴，
∴；
（4）解：设抛物线 上满足题意的唯一的“差反点”为，
∵，
∴，
整理，得，
∵抛物线上存在唯一的“差反点”，
，
整理，得，
∴n关于m 的函数图象开口向下，其对称轴为直线，
分类讨论如下：
①如图，当时 ，
∵，
∴函数在时，取得最大值，最大值为，
解得：（舍去）；
②如图，当时 ，
∵，
∴函数在时，取得最大值，
∴，
化简得， 此时无解；
③如图，当时 ，
∵，
∴函数在时，取得最大值，
∴，
解得：
综上所述，t的值为或．
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