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2025-2026学年广东省八校联盟高一上学期质检数学试卷（一）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | < 4}， = { |0 < < 5}，则 ∪ =( )
A. { | < 4} B. { | > 0} C. { |0 < < 4} D. { | < 5}
2.已知 < 0， 1 < < 0，那么( )
A. > > 2 B. 2 > > C. > > 2 D. > 2 >
1
3.不等式 ≥ 0的解集为( )
2
A. { |1 ≤ ≤ 2} B. { | ≤ 1，或 ≥ 2}
C. { |1 ≤ < 2} D. { | ≤ 1，或 > 2)
4.“ ≥ 5”是命题“ ∈ [1,2]，2 ≤ 0”为真命题的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知关于 的一元二次不等式 2 + + ≤ 0的解集为{ |2 ≤ ≤ 3}，则关于 的不等式 2 + + 1 ≤ 0
的解集为( )
1 1
A. { | ≤ ≤ } B. { |2 ≤ ≤ 3}
3 2
1 1
C. { | 3 ≤ ≤ 2} D. { | ≤ ≤ }
2 3
6.若 > > 0，则下列不等式成立的是( )
+ +
A. > > > √ B. > > √ >
2 2
+ +
C. > > > √ D. > ≥ √ >
2 2
7.若命题“ ∈ ， 2 + 1 ≤ 0”是假命题，则实数 的取值范围为( )
A. { |0 ≤ < 4} B. { |0 < < 4}
C. { |0 ≤ ≤ 4} D. { | ≤ 0或 > 4}
8.对于任意两个数 ， ( , ∈ )，定义某种运算“ ”如下：①当 ， ( , ∈ )同为奇数或同为偶数
时， = + ；②当 ， ( , ∈ )一奇一偶时， = ，则集合 = {( , )| = 10}的子集个
数是( )个．
A. 214 B. 213 C. 211 D. 27
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.设全集 = ，若集合 ，则( )
A. ∩ = B. ∪ = C. ( ) ( ) D. ∩ ( ) ≠
10.若正实数 ， 满足2 + = 1，则下列说法正确的是( )
1 1 4
A. 有最小值为 B. + 有最小值为6 + 4√ 2
8
1 1
C. 4 2 + 2有最小值为 D. ( + 1)有最大值为
2 2
11.定义：如果关于 的一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)有两个不同的实数根，且其中一个根是另一
个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”.下列命题正确的是( )
A. 方程 2 + 2 = 0是“和谐方程”
B. 若关于 的方程 2 + + 8 = 0是“和谐方程”，则 = ±6
C. 若关于 的方程 2 3 + = 0( ≠ 0)是“和谐方程”，则函数 = 2 + 3 + 的零点为 1和 2
4
D. 若点( , )在反比例函数 = 的图象上，则关于 的方程 2 + 3√ 2 + = 0是“和谐方程”

三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1
12.已知 > 1，则 + 的最小值为______．
1
13.已知集合 = {4, 2 }， = {4, 2}，且 = ，则 的值为 ．
14.若集合 = { | 2 2 + 1 = 0} = ，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知集合 = { |0 < 2 + ≤ 3}， = { | < < 2}．
2
(1)当 = 1时，求 ∩ 和 ∪ ；
(2)若 ，求实数 的取值的集合．
16.(本小题15分)
设命题 ：关于 的方程 2 + + 1 = 0有两个不相等的实数根， ：关于 的方程4 2 + (4 2) + 1 =
0无实数根．
(1)若 为真，求实数 的取值范围；
(2)若 、 有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园．设菜园的长为 米，宽为 米．
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(1)若菜园面积为36平方米，则 ， 为何值时，所用篱笆总长最小？
2 +
(2)若使用的篱笆总长为30米，求 的最小值．

18.(本小题17分)
设 是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素 ， ， ∈ ，使得 = ，则称 为“等差
集”．
(1)若集合 = {1,3,5,9}， ，且 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的 ；
(2)若集合 = {1, , 2 1}是“等差集”，求 的值．
19.(本小题17分)
设函数 ( ) = 2 + (1 ) + 2( ∈ )．
(1)若 = 2，求 ( ) < 0的解集．
(2)若不等式 ( ) ≥ 2对一切实数 恒成立，求 的取值范围；
(3)解关于 的不等式： ( ) < 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.0
14.{ | ≤ 0}
1
15.解：(1)当 = 1时， = ( , 2]，
2
1 1
所以 ∩ = ( , 2)， ∪ = ( , 2]；
2 2
3
(2)因为 = { |0 < 2 + ≤ 3} = { | < ≤ }， ，
2 2
3
当 = 时， ≥ ，无解；
2 2
3
<
2 2 1
当 ≠ 时，由 ，可得 ≥ ,
2 2
3
{ < 22
解得 1 < ≤ 1．
综上所述，实数 的取值的集合为{ | 1 < ≤ 1}．
16.解：(1)根据题意，对于 ：关于 的方程 2 + + 1 = 0有两个不相等的实数根，
对于方程 2 + + 1 = 0，必有 21 = 4 > 0，解可得： < 2或 > 2，
因 为真，故实数 的取值范围为( ∞, 2) ∪ (2,+∞)
(2)根据题意，对于 ，因关于 的方程4 2 + (4 2) + 1 = 0无实数根，
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1 3
所以 2 = (4 2)
2 16 < 0，解可得： < < ．
2 2
1 3
若 为真，故 的取值范围为( , )．
2 2
、 有且仅有一个为真命题，所以 、 一真一假，
分2种情况讨论：
< 2 或 > 2
当 真 假时，{ 1 3，解可得： < 2或 > 2；
≤ 或 ≥
2 2
2 ≤ ≤ 2 1 3
当 假 真时，{ 1 3，解可得： < < ，
< < 2 2
2 2
1 3
综上所述：实数 的取值范围为( ∞, 2) ∪ ( , ) ∪ (2,+∞)．
2 2
17.解：(1)由题意可得， = 36，所用篱笆的总长为 + 2 ，
因为 + 2 ≥ 2√ 2 = 2 × √ 2 × 36 = 12√ 2，当且仅当 = 2 ，即 = 6√ 2, = 3√ 2时取等号，所以当
菜园的长 = 6√ 2 ，宽 = 3√ 2 时，所用篱笆的总长最小；
(2)由题意可得， + 2 = 30，
2 + 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 3
所以 = + = ( + )( + 2 ) = ( + + 5) ≥ (2√ + 5) = ，
30 30 30 10
2 2 2 + 3
当且仅当 = ，即 = = 10时，取等号，所以 的最小值为 ．
10
18.
19.解：(1)
由函数 ( ) = 2 + (1 ) + 2( ∈ )，
若 = 2，可得 ( ) = 2 2 + 3 4，
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又由 ( ) < 0，即不等式 2 2 + 3 4 < 0，
即2 2 3 + 4 > 0，
因为 = 9 4 × 2 × 4 < 0，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式2 2 3 + 4 > 0的解集为 ，
即 ( ) < 0的解集为 ；
(2)由 ( ) ≥ 2对一切实数 恒成立，
等价于 ∈ ， 2 + (1 ) + ≥ 0恒成立，
当 = 0时，不等式可化为 ≥ 0，不满足题意，
> 0
当 ≠ 0，则满足{ ，
≤ 0
> 0 1
即{ 2 ，解得 ≥ ， 3 + 2 1 ≥ 0 3
1
所以 的取值范围是[ , +∞)；
3
(3)依题意，
( ) < 1等价于 2 + (1 ) 1 < 0，
当 = 0时，不等式可化为 < 1，解集为{ | < 1}，
当 > 0时，不等式可化为( + 1)( 1) < 0，
1
此时 < 1，

1
所以不等式的解集为{ | < < 1}，

当 < 0时，
不等式化为( + 1)( 1) < 0，
1
①当 = 1时， = 1，

不等式的解集为{ | ≠ 1}；
1
②当 1 < < 0时， > 1，

1
不等式的解集为{ | < 1或 > }；

1
③当 < 1时， < 1，

1
不等式的解集为{ | < 或 > 1}；

1
综上，当 < 1时，解集为{ | < 或 > 1}；

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当 = 1时，解集为{ | ≠ 1}；
1
当 1 < < 0时，解集为{ | < 1或 > }；

当 = 0时，解集为{ | < 1}；
1
当 > 0时，解集为{ | < < 1}．

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