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参考答案
1—5. DBBCB 6—10. ABCBA 11—12. BA
13. -3+ 或-3- 14. y=2（x-1）2-2
15. ab≤0 16. 8
17. 35° 18. 0＜m＜
19. 解：（1）他从第二步开始出现了错误；（2）3x（3x-1）=-（3x-1），
3x（3x-1）+（3x-1）=0，
（3x-1）（3x+1）=0，
3x-1=0或3x+1=0，
20. 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；点C1的坐标（4，1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；点B2的坐标（-3，-3）；
（3）△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2．
21. （1）解：由表格可知：一元二次方程和关联方程的系数特征是：二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，
一元二次方程和关联方程的根的关系特征是：对应根互为相反数；
（2）解：方程x2-2x-4=0和x2+2x-4=0是关联方程，理由如下：
∵方程x2-2x-4=0和x2+2x-4=0的二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合（1）中描述的特征，
∴它们是关联方程；
∵方程x2-2x-4=0的根是：
方程x2+2x-4=0的根是：
∴它们的两个根对应互为相反数，符合根的关系特征；
（3）证明：由公式法可知ax2+bx+c=0的根是：
由公式法可知它的关联方程ax2-bx+c=0的根是：
∴它们的两个根对应互为相反数．
22.解：（1）∵m=n,
∴点A（-1，m）与点B（3，n）关于抛物线的对称轴对称．
∴t= 1．
（2）由题意，作图
∴n＜c＜m.
（3）由题意，由抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=t,得x=-=t,
∴b=-2at.
∴y=ax2-2atx+c.
∵A（-1，m），B（3，n），
∵m＜n,
∴m-n＜0．
∴-8a+8at＜0．
∴8at＜8a.
∵a＞0，
∴t＜1．
∵c＜m,
∴m-c＞0．
∴a+2at＞0．
∵a＞0，
∵点E（x0，m）与A（-1，m）是对称点，
23. （1）解：依题意，设嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式为y=a（x-1）2+0.4，代入（0，0）得，
0=a+0.4，
解得：a=-0.4，
∴嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式为y=-0.4（x-1）2+0.4；
（2）解：①∵第一个蛙跳在点A处落地，
∴当y=0时，-0.4（x-1）2+0.4=0，
解得：x1=0，x2=2，
∴A（2，0），
∵第二个蛙跳路线为抛物线L2：y=a（x-h）2+k（a≠0），其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线L1相同．
由题意可得么：设y=-0.4（x-2.6）2+k,
又∵A（2，0），
∴-0.4（2-2.6）2+k=0，
②嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，
∵0.08＜0.12，
∴嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆；
（3）由题意可得：L1的顶点的纵坐标为0.4，
由题意可得；
L2的解析式为y=-0.4（x-h）2+0.4，
∵抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等，
∴L2的解析式为y=-0.4（x-h）2+0.4，
24.解：（1）设抛物线y=x2+bx+c与y轴交点为B，则B（0，-1），
将A（-1，2）、B（0，-1）代入y=x2+bx+c,得
解得：
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-1；
（2）∵抛物线y=x2-2x-1的对称轴为直线x=1，点A与点P关于该抛物线的对称轴对称，
∴P（3，2），
∴AP=3-（-1）=4，
∴S△OAP= ×4×2=4；
（3）把y=7代入y=x2-2x-1得，7=x2-2x-1，
解得x1=4，x2=-2，
∴当-2≤x≤m时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则m的取值范围是1＜m≤4；
（4）∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，
∴抛物线y=x2-2x-1的顶点为D（1，-2），
过点D作DH⊥l于点H，如图，

则DH=2-（-2）=4，
设点P（m,m2-2m-1），且m＞1，
则点P到直线l的距离为|m2-2m-1-2|=|m2-2m-3|，
由题意得：2|m2-2m-3|=4，2025-2026学年九年级上学期期中试卷
（数学）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若方程（m-2）x|m|-2x+1=0是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　）
A．x1= ，x2= B．x1= ，x2=
C．x1= ，x2= D．以上答案都不对
3.用配方法解一元二次方程2x2-4x-6=0时，配方后的方程是（　　）
A．（2x-1）2=8 B．2（x-1）2=8 C．（x-1）2=8 D．2（x-1）2=4
4．已知点A（a,2）与点B（3，b）关于原点对称，则a+b的值为（　　）
A．-3 B．-2 C．-5 D．5
5．当关于x的二次函数y=（a-1）x2+a2+4a的最大值为5时，a的值为（　　）
A．-1 B．-5 C．-1或-5 D．-1或-2
6．若点（-1，y1），（2，y2），（4，y3）都在二次函数y=2x2的图象上，则（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
7.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=25°，则旋转角α的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x=1，则以下四个结论：①2a+b=0，②a+c＞b,③4ac-4a＜b2，④3a+c＜0中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．ax2-2x=5 B．（x+2）（x-3）=1
C．y=（x+1）2-3 D．x2-2x=x（x+3）+1
10． 如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400m2，设道路的宽为x（m），则可列方程为（　　）
A．（62-x）（42-x）=2400 B．（30-x）（40-x）=600
C．62×42-62x-42x=2400 D．62x+42x=2400
11．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=-（x-h）2+5上的任意一点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，若AB=4，则点B到x轴的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12.某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m.如图所示，设矩形一边长为x m,另一边长为y m,矩形的面积为S m2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13．一元二次方程（x+3）2=1的解是
14． 将抛物线y=2（x-3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 ．
15．如果关于x的一元二次方程ax2+b=0有解，那么系数a,b的符号关系是 ．
16.在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足关系式y=-(x-8)(x+2) (x)，则实心球投出的水平距离OA为 m.
第16题图 第17题图
17.如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=10°，则∠AOB′的度数是 ．
18．已知点A（0，3），点B在直线y=2上运动，把点A绕点B逆时针旋转90°，点A的对应点为点C，我们发现点C随点B变化而变化．若点C在运动变化过程中始终在抛物线y=2x2的上方，设点B的横坐标为m,则m的取值范围是
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．(6分) 下面是李华用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．
解一元二次方程：3x（3x-1）=1-3x：
解：原方程可以化简为3x（3x-1）=-（3x-1）．……第一步
两边同时除以（3x-1）得3x=-1．……第二步
系数化为1，得 x= ．……第三步
任务：
（1）李华的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误．
（2）请完成这个方程的正确解题过程．
20．(6分)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在边长均为1个单位长度的正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）写出△A1B1C1经过怎样的旋转可直接得到△A2B2C2．
21．(8分) 阅读与思考
观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题：
方程及其根 方程及其根
方程及其关联方程 方程的根 方程及其关联方程 方程的根
①2x2-3x+1=0 x1= x2=1 ①x2+2x-3=0 x1=-3，x2=1
②2x2+3x+1=0 x1=- x2=-1 ②x2-2x-3=0 x1=3，x2=-1
… …
（1）请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征．
（2）方程x2-2x-4=0和x2+2x-4=0是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征．
（3）请以一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）为例证明关联方程根的关系特征．
22． (8分)在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，m），B（3，n）在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x=t.
（1）若m=n,求t；
（2）若t=2，写出m,n,c的大小关系；
（3）设点E（x0，m），（x0≠-1）在抛物线上，若c＜m＜n,求t的取值范围及x0的取值范围．
23．(8分) 体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似地看作是抛物线的一部分，如图1是嘉嘉连续两次蛙跳的运动示意图，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为y（m），距离起跳点的水平距离为x（m），第一个蛙跳的起跳点为原点，并在（1，0.4）达到最高点，在点A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物线（a≠0），其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路钱抛物线L1相同．
（1）求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式；
（2）若嘉嘉第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点2.6m时，到达最高点．
①求k的值；
②在距离原点3m处，水平放置一个距离地面高度为0.12m的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由；
（3）如图2为提高训练效果，老师指导嘉嘉在可调节坡度的斜坡（近似看作直线y=mx（m≠0））上进行训练，P为斜坡与山的交点，在点Q处设置可调节支撑杆，且PQ⊥x轴．当m，且抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出h的取值范围．
24． (10分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（-1，2）在抛物线y=x2+bx+c上．该抛物线与y轴交点的纵坐标为-1．P是该抛物线上一动点，其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点A与点P关于该抛物线的对称轴对称时，求△OAP的面积；
（3）当-2≤x≤m时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，直接写出m的取值范围；
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（含点A和点P）的图象为G，且函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，过点A作垂直于y轴的直线l,当该抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，直接写出m的值．

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