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2025-2026学年江苏省镇江市丹阳市高一上学期 10月质检
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知命题 ： > 1，使√ > 1，则命题 的否定为( )
A. > 1，都有√ > 1 B. > 1，都有√ ≤ 1
C. > 1，使√ ≤ 1 D. ≤ 1，使√ ≤ 1
2.已知集合 = { ∈ | 3 < < 4}， = { | 2 ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. { | 3 < ≤ 2} C. {1,2} D. { |0 < ≤ 2}
3.设 ∈ ，则“ < 2”是“ 2 4 < 0”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.命题“ ∈ [0,1]， 2 + ≤ 0”是真命题，则实数 的取值范围为( )
A. < 1 B. ≥ 1 C. > 0 D. ≤ 0
5.下列命题为假命题的是( )

A. 若 > 0，则 + 最小值为2

4
B. = + ( > 2)的最小值为6
2
4
C. 若 ∈ [3, +∞)，则√ 2 + 1 + 的最小值为4
√ 2+1
4
D. = 2 ( > 0)的最大值为 2

6.二次函数 = 2 + + 4有零点的一个必要不充分条件是( )
A. ( ∞, 4) ∪ (16, +∞) B. (4,16)
C. ( ∞, 4] ∪ [4, +∞) D. ( ∞, 0] ∪ [2, +∞)
7.已知 ≥ 0， ≥ 0， + + = 2，则 + 3 的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 2√ 3 D. 9 3√ 3
8.关于 的不等式 2 ( + 3) + 3 < 0恰有两个整数解，则实数 的取值范围为( )
A. 0 ≤ < 1 B. 0 < ≤ 1或5 < ≤ 6
C. 5 < ≤ 6 D. 0 ≤ < 1或5 < ≤ 6
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.若集合 = {1,2,4, }， = { 2, 1}，且满足 ∪ = ，则实数 的值可以为( )
A. √ 2 B. 2 C. 2 D. 0
10.设 > > 0 > > ，则下列不等式中正确的是( )
1 1
A. > B. > C. ≥ D. + > +

11.已知 ， ∈ (0, +∞)， 2 + = 4，则下列选项一定正确的是( )
A. √ 的最大值为2 B. √ + 的最大值为2√ 2
1 1
C. 2( + 4)的最大值为16 D. 2 + 的最小值为1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 = { |1 ≤ ≤ 4}， = { | ≤ ≤ + 1}，若 ，则实数 的取值范围______．
13.已知命题 ： ∈ ， 2 2 + 1 ≤ 0是假命题，则实数 的取值范围是______．
14.已知实数 ， > 0满足1 ≤ ≤ 2且2 ≤ 2 ≤ 3，则 2 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
3
已知 为实数集，集合 = { | > 0}， = { | 2 2 ≤ 0}．
1
(1)求集合 ∪ 和 ∩ ；
(2)求图中阴影部分所表示的集合．
16.(本小题15分)
已知命题 ：4 3 ≥ 0，命题 ：2 + 1 ≤ 0.若命题 与 有且只有一个为真命题 的取值集合为 ，不等式
| | > 2的解集为集合 ．
(1)求集合 和 ；
(2)已知“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为2500 2，地面的一边长为 (单位：
米)，工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元/ 2，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记
为 万元．
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(1)求总造价 关于 的表达式，并求出 的最小值；
(2)由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长 的限制范围．
18.(本小题17分)
已知函数 = 2 + 8的两个零点分别为 4和 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)当 > 0时，解关于 的不等式 2 ( + ) + ≤ 0；
1
(3)已知 > 0， > 0，且 + = 1，求3 + 2 的最小值
+2
19.(本小题17分)
已知二次函数 = 2 + + ，其中 ， ， ∈
(1)若关于 的不等式 > 0的解集为( 1,2)，解关于 的不等式 2 + 4 6 ≤ 0；
1
(2)当 ≠ 0时，若不等式 ≥ + 对 ∈ 恒成立．
2

( )求 的范围；

3 2+ 2
( )求 2 的最小值．

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参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[1,3]
13.【答案】( 1,1)
14.【答案】4
3
15. 由 > 0 ( 3)( 1) > 0 < 1或 > 3，
1
所以集合 = { | < 1或 > 3}；
由 2 2 ≤ 0 ( + 1)( 2) ≤ 0 1 ≤ ≤ 2，
所以 = { | 1 ≤ ≤ 2}．
(1) ∪ = { | ≤ 2或 > 3}， ∩ = { | 1 ≤ < 1}；
(2)由图可知，图中阴影部分表示的集合为( ) ∩ ，
又 为实数集，可得 = { |1 ≤ ≤ 3}， = { | 1 ≤ ≤ 2}，
所以图中阴影部分表示的集合为：{ |1 ≤ ≤ 2}．
3 1
16. (1)由4 3 ≥ 0，可得 ≥ ，由2 + 1 ≤ 0，可得 ≤ ，
4 2
当命题 与 有且只有一个为真命题时，
3
≥
若 真 假时，有{ 4 ，
1
>
2
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3
<
若 假 真时，{ 4 ，
1
≤
2
3 1
解得 ≥ 或 ≤ ，
4 2
3 1
所以 = { | ≥ 或 ≤ }；
4 2
由| | > 2，可得 > 2或 < 2，
解得 > 2 + 或 < 2，
所以 = { | > 2 + 或 < 2}；
(2)因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，
所以 ，
1
2 ≤
所以{ 2 (两个等号不同时成立)
3
+ 2 ≥
4
5 3
解得 ≤ ≤ ，
4 2
5 3
所以实数 的取值范围为{ | ≤ ≤ }．
4 2
17.
2500
(1)由题意，地面另一边的长度为 米，

2500
则墙面面积为2( + ) × 10平方米，

体艺馆的墙面造价为0.03万元/ 2，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为 万元，
2500 3 2500
所以 = 20( + ) × 0.03 + 40 = ( + ) + 40，
5
2500 2500
而 + ≥ 2√ = 100，

2500
当且仅当 = ，即 = 50米时取等号，

3
则 的最小值为 × 100 + 40 = 100万元；
5
(2)由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，
3 2500
则 = ( + ) + 40 ≤ 108，
5
可得3 2 340 + 7500 = (3 250)( 30) ≤ 0，
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250 250
所以30 ≤ ≤ ，即 ∈ [30, ]．
3 3
18.
(1)因 = 2 + 8的两个零点分别为 4和 ，
4 = 8 = 2
则由韦达定理，{ { ；
4 = = 2
2
(2)由(1) 2 ( + ) + ≤ 0 2 ( + 2) + 2 ≤ 0 ( )( 1) ≤ 0．

2 2
若 > 1 0 < < 2，则1 ≤ ≤ ；

2 2
若 < 1 > 2，则 ≤ ≤ 1；

2
若 = 1 = 2，则 = 1；

2
综上，当0 < < 2时，不等式的解集为{ |1 ≤ ≤ }；

2
当 > 2时，不等式的解集为{ | ≤ ≤ 1}；

当 = 2时，不等式的解集为{ | = 1}．
1 2
(3)由(1)， + = 1，
+2
1 2 +2 4
则3 + 2 = 2 + + 2 = [2 + ( + 2 )]( + ) = 4 + +
+2 +2
+2 4
≥ 4 + 2√ = 8，
+2
+2 4
当且仅当 = ，即(3 + 2 )( 2 ) = 0
+2
1 2
= 2 ，结合 + = 1 = 2, = 1时取等号，
+2
则3 + 2 的最小值为8．
19.
(1)已知二次函数 = 2 + + ，
由不等式 > 0的解集为( 1,2)可知 < 0，

= 1 + 2 = 1
= 且有{ ，∴ { ，
= ( 1) × 2 = 2 = 2

故 2 + 4 6 ≤ 0 2 + 4 + 12 ≤ 0( < 0)，
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即 2 4 12 ≤ 0，得 2 ≤ ≤ 6，
故不等式的解集为{ | 2 ≤ ≤ 6}；
1
(2)( )根据题意有 2 + ( ) + ≥ 0对 ∈ 恒成立，
2
> 0 2 2 + 2 1
∴ { 2 1 ，即4 ≥
2 + 2，两边同时除以4 2( > 0)，可得 ≥ = ( +
= ( ) 4 ( ) ≤ 0 4 2 4 2
2
1 1 1
1) = ( )2 + > ，
4 4 4
1
故 的范围为( , +∞)．
4
3 2+ 2 3 2+ 2
2
3+( )
( )由( )可知4 ≥ 2 + 2，故 2 ≥

2 = ， 4 4 1
1
令 = > ，
4
2 2 3 1 2 1 1 2 1 1 49 493+( ) 3+ + ( ) + ( )+ 4 4 1 1 1则 = = 1 =
4 4 8 4 64
1 = ( ) +
64
1 + 4 1 4 1 4 4 84 4 4
1 1 49
≥ + 2√ × = 1，
8 4 64
49
1 1
当且仅当 ( ) = 641时，即 = 2时取等号， 4 4
4
3 2+ 2
故 2 的最小值为1．

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