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2025-2026学年河北省沧州市两校联考高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.命题 ： > 1， 3 > 2的否定形式为( )
A. > 1， 3 ≤ 2 B. > 1， 3 > 2
C. ≤ 1， 3 ≤ 2 D. > 1， 3 ≤ 2
2.已知集合 = { | > 1}， = { 2, 1,0,1,2}，则( ) ∩ =( )
A. { 2, 1} B. { 1,0,1,2} C. {0,1,2} D. {1,2}
5
3.函数 ( ) = √ 3 + 的定义域为( )
2
A. [3, +∞) B. (2,3] C. ( ∞, 2) ∪ (2,3] D. ( ∞, 2) ∪ (2,3)
4.若 ， ， ∈ ， < < 0，则下列不等式正确的是( )
1 1
A. < B. 2 < 2

C. ( 2 + 1) < ( 2 + 1) D. 2 <
5.下列各组中的函数 ( )和 ( )是表示同一个函数的是( )
3
A. ( ) = √ 2， ( ) = √ 3 B. ( ) = 1， ( ) = 0
2 9 , ≥ 0
C. ( ) = + 3， ( ) = D. ( ) = { ， ( ) = | |
3 , < 0
1 1
6.已知函数 ( )满足2 ( ) ( ) = ，则 ( ) =( )

1+ 2 2+ 2 1+ 2 2+ 2
A. B. C. D.
3 3
7.如果对于任意实数 ，[ ]表示不超过 的最大整数，例如[ ] = 3，[0.6] = 0，[ 1.6] = 2，那么“[ ] =
[ ]”是“| | < 1”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.函数 ( ) = √ 2 2 √ √ 2 的值域为( )
3
A. [ √ 2, 2] B. [√ 2, 2] C. [ √ 2, 1] D. [ , √ 2]
2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列从集合 到集合 的对应关系中， 是 的函数的是( )
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A. = = ，对应关系 ： → = 2 2 + 1

B. = = ，对应关系 ： → =
2
C. = [0, +∞)， = ，对应关系 ： → 2 =
D. = ， = {1}，对应关系 ： → = 1
10.定义集合 与 的运算： = { | ∈ ，且 ( ∪ )}， = { | ∈ ，且 ( ∩ )}.已知 =
( 1,4]， = [0,7)，则( )
A. = ( ∞, 1] ∪ [7, +∞) B. = ( ∞, 0) ∪ (4, +∞)
C. ( ) = [4,7] D. ( ) = ( ∞, 4] ∪ [7, +∞)
11.已知实数 ， 满足 2 + 2 2 = 4，则下列说法正确的是( )
4
A. 的最大值为 B. 2 + 4 的最大值为6
3
C. 2 + 2 的最大值为4 D. 2 2 的最大值为4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知函数 ( ) = √ ，则 ( (16)) = ．
13.已知集合 = { | < < 1}， = { | 2 3 4 > 0}，若 ∩ ≠ ，则实数 的取值范围为
______．
14.若对 ∈ ， > 0，使得 2 + 2 ≥ + 1成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2 2, < 1,
已知函数 ( ) = { 2 1, 1 ≤ ≤ 2,
+ 1, > 2.
(1)若 ( ) = 2，求实数 的值；
(2)在直角坐标系中画出函数 ( )的大致图象，并根据函数图象写出函数 ( )的值域(不用写解答过程)．
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16.(本小题15分)
已知命题 ： ∈ { | 1 ≤ ≤ 1}，不等式3 + 1 ≥ 2 3 恒成立；命题 ： ∈ { |1 ≤ ≤ 4}，使得
2 + 2 < 0成立．
(1)若 为真命题，求 的取值范围；
(2)若 为真命题，求 的取值范围；
(3)若命题 、 有且只有一个是真命题，求 的取值范围．
17.(本小题15分)
某农村合作社为了提高蔬菜产量，增加农民收入，计划建造一批蔬菜大棚.经过调研得知，初期需投入固定
成本20万元，除此之外，建造 个蔬菜大棚需另投入成本 ( )万元，且 ( ) =
2 + 10 (0 < ≤ 10, ∈ ),
{ 1440 初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元的收入．
40 + 380( > 10, ∈ ),

(1)求蔬菜大棚带来的利润 ( )(万元)关于大棚个数 的函数关系式；
(2)建造多少个蔬菜大棚时，带来的利润最大？并求最大利润．
18.(本小题17分)
设 ， ， ， 都是正数．
(1)求证： ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ≤ 0；
(2)若 3 + 3 = 3，求证： 2 + 2 > 6( )( ) + 2．
备注： 3 + 3 = ( + )( 2 + 2)， 3 3 = ( )( 2 + + 2).
19.(本小题17分)
已知有限集 = { 1, 2, … , }( ≥ 2， ∈ )，如果 中的元素 ( = 1,2, … , )满足 1 + 2 + + =
1 × 2 × … × ，就称 为“完美集”．
(1)判断：集合{ 1 √ 3, 1 + √ 3}是否是“完美集”并说明理由；
(2) 1、 2是两个不同的正数，且{ 1, 2}是“完美集”，求证： 1、 2至少有一个大于2；
(3)若 为正整数，求：“完美集” ．
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参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】( ∞, 1)
14.【答案】[2, +∞)
15.
解：(1)由题意知，当 < 1时， ( ) = 2 2 = 2，解
得 = 2；
当 1 ≤ ≤ 2时， ( ) = 2 1 = 2，解得 = √ 3或 =
√ 3(舍去)；
当 > 2时， ( ) = + 1 = 2，解得 = 1(舍去)；
综上， = 2或 = √ 3；
2 2, < 1
(2)由 ( ) = { 2 1, 1 ≤ ≤ 2，
+ 1, > 2
画出 ( )的图象，如图所示：
由函数的图象知， ( )的值域为[ 1, +∞)．
16.【答案】解：(1)当 1 ≤ ≤ 1时， 2 ≤ 3 + 1 ≤ 4，
对于命题 ： ∈ { | 1 ≤ ≤ 1}，不等式3 + 1 ≥ 2 3 恒成立，则 2 3 ≤ 2，
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解得1 ≤ ≤ 2，
若 为真命题，则实数 的取值范围是{ |1 ≤ ≤ 2}．
2 2
(2)当1 ≤ ≤ 4时，由基本不等式可得 + ≥ 2√ = 2√ 2，

2
当且仅当{ = ，即当 = √ 2时，等号成立，
1 ≤ ≤ 4
2
所以， + 的最小值为2√ 2，

若命题 为真命题，则 ∈ { |1 ≤ ≤ 4}，使得 2 + 2 < 0成立，
2+2 2
可得 > 2 + 2，可得 > = + ，所以， > 2√ 2，

则实数 的取值范围是{ | > 2√ 2}．
(3)因为命题 、 有且只有一个是真命题，
1 ≤ ≤ 2
若 真 假，则{ ，可得1 ≤ ≤ 2；
≤ 2√ 2
< 1 或 > 2
若 假 真，则{ ，可得 > 2√ 2．
> 2√ 2
综上所述，实数 的取值范围是{ |1 ≤ ≤ 2或 > 2√ 2}．
17.
(1)初期需投入固定成本20万元，除此之外，建造 个蔬菜大棚需另投入成本 ( )万元，
2 + 10 (0 < ≤ 10, ∈ ),
且 ( ) = { 1440 初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元的收入，
40 + 380( > 10, ∈ ),

当0 < ≤ 10时， ( ) = 30 2 10 20 = 2 + 20 20，
1440 1440
当 > 10时， ( ) = 30 40 + 380 20 = 10 + 360，

2 + 20 20(0 < ≤ 10, ∈ )
所以 ( ) = { 1440 ；
360 (10 + )( > 10, ∈ )

(2)当0 < ≤ 10时， ( ) = 2 + 20 20 = ( 10)2 + 80，
( )在(0,10]内单调递增，所以当 = 10时， ( )的最大值为80，
1440
当 > 10时， ( ) = 360 (10 + )，

1440 1440 1440
因为10 + ≥ 2√ 10 × = 240，当且仅当10 = ，

即 = 12时，等号成立，
所以 ( ) ≤ 360 240 = 120，
因为120 > 80，所以当 = 12时， ( )的最大值为120，
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所以建造12个生态农场获得的利润最大，最大利润为120万元．
18.
证明：(1)要证 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ≤ 0，
即证 + + + ≤ 2 + 2 + 2 + 2，
即证2 + 2 + 2 + 2 ≤ 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2，
即证2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 (2 + 2 + 2 + 2 ) ≥ 0，
即证( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 ≥ 0，
当且仅当 = = = 时等号成立，
故原命题得证；
(2)由 3 + 3 = 3，则 3 = 3 + 3 > 3，故 > ，同理 > ，
又 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 2 ≥ 2 √ 2 2 + 2 √ 2 2 + 2 √ 2 2
= 2 2 + 2 2 + 2 ≥ 2 √ 2 2 2 2 + 2 = 6 ，
当且仅当 = = 时，等号成立，又 > ， > ，即不可取等，
故 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 2 > 6 ，
3
2+ + 2 3
2
+ + 2 +
则 > 6 ，

2
2+ + 2+ + 2
即 + > 6 ，

3
2
3 3 3
又 + + 2 = ， 2 + + 2 = ，

3
3
3 3
所以 + > 6 ，
( ) ( )
3 3 3 3
则 ( ) + ( ) > 6 ( )( )，

又 3 + 3 = 3，则 3 = 3 3、 3 = 3 3，
故 2 ( ) + 2 ( ) = 2 3 + 2 3 = ( 2 + 2) 3 > 6 ( )( )，
即 ( 2 + 2 2) > 6 ( )( )，则 2 + 2 2 > 6( )( )，
即有 2 + 2 > 6( )( ) + 2，即得证．
19.【答案】解：(1)由( 1 √ 3) + ( 1 + √ 3) = 2，
( 1 √ 3)( 1 + √ 3) = 2，
则集合{ 1 √ 3, 1 + √ 3}是“完美集”；
(2)若 1、 2是两个不同的正数，且{ 1, 2}是“完美集”，
设 1 + 2 = 1 2 = > 0，
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根据根和系数的关系知， 21 = 2和 2相当于 + = 0的两根，
由 = 2 4 > 0，解得 > 4或 < 0(舍去)，
所以 1 2 > 4，又 1， 2均为正数，
所以 1、 2至少有一个大于2；
(3)不妨设 中 1 < 2 < 3 < < ，
由 1 2 = 1 + 2 + + < ，
得 1 2 1 < ，
当 = 2时，即有 1 < 2，
又 为正整数，所以 1 = 1，
于是1 + 2 = 1 × 2，则 2无解，
即不存在满足条件的“完美集”；
当 = 3时， 1 2 < 3，
故只能 1 = 1， 2 = 2，求得 3 = 3，
于是“完美集” 只有一个，为{1,2,3}；
当 ≥ 4时，
由 1 2 1 ≥ 1 × 2 × 3 × × ( 1)，
即有 > 1 × 2 × 3 × × ( 1)，
而 ( 1)( 2) = 2 + 4 2
= ( 2)2 + 2 < 0，
又( 1)( 2) ≤ 1 × 2 × 3 × × ( 1)，
因此 < 1 × 2 × 3 × × ( 1)，故矛盾，
所以当 ≥ 4时不存在完美集 ，
综上知，“完美集” 为{1,2,3}．
第 7 页，共 7 页

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