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2025-2026学年内蒙古呼和浩特六中高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列各对象可以组成集合的是( )
A. 与1非常接近的全体实数
B. 新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生
C. 高一年级视力比较好的同学
D. 高中学生中的游泳高手
2.已知 = ( + 2)( + 3)， = 2 + 5 + 4，则( )
A. > B. < C. = D. 无法确定
3.若 = {(1,1)，(1,2)}，则集合 中元素的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.“ = 2”是“ 2 2 = 0”的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
5.命题 : 3 ≤ ≤ 1， : ≤ .若 的一个充分不必要条件是 ，则 的取值范围是( )
A. ( 3, +∞) B. [ 3, +∞) C. (1, +∞) D. [1, +∞)
6.用反证法证明命题时，对结论：“自然数 , , 中至少有一个是偶数”正确的假设为( )
A. , , 都是奇数 B. , , 都是偶数
C. , , 中至少有两个偶数 D. , , 中至少有两个偶数或都是奇数

7.已知 ∈ ， ∈ ，若集合{ , , 1} = { 2, + , 0}，则 2025 + 2025的值为( )

A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
8.关于 的不等式 2 2( + 1) + 4 ≤ 0的解集中恰有4个正整数，则实数 的取值范围是( )
5 5 1 1 5
A. ( , 3) B. [ , 3) C. ( 1, ] D. ( 1, ] ∪ [ , 3)
2 2 2 2 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若 > > 0，则 2 > 2
B. 若 2 < < 3，1 < < 2，则 4 < < 2
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C. 若 > > 0且 < 0，则
2
> 2

1 1
D. 若 > > ，则 >

10.下列叙述正确的是( )
A. ∈ ， 2 3 + 3 < 0
B. 命题“ ∈ ，1 < ≤ 2”的否定是“ ∈ ， ≤ 1或 > 2”
C. 设 ， ∈ ，则“ ≥ 2且 ≥ 2”是“ 2 + 2 ≥ 8”的必要不充分条件
D. 命题“ ∈ ， 2 > 0”的否定是真命题
11.设非空集合 = { | ≤ ≤ }满足：当 ∈ 时，有 2 ∈ ，给出如下命题，其中真命题是( )
1 1
A. 若 = 1，则 = { | ≥ 1} B. 若 = ，则 ≤ ≤ 1
2 4
1 √ 2
C. 若 = ，则 ≤ ≤ 0 D. 若 = 1，则 1 ≤ ≤ 0
2 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.集合{ | > 5或 < 1}用区间表示为______．
2
13.曲线 = 与直线 = 2 的交点组成的集合为______．

14.已知集合 = { | 1 < < 3}， = { | < }，若 ∩ = ，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设全集 = {1,2,3,5,7,8,9}， = {2,3,5}， = {1,5,7,9}，求 ∩ ， ∪ ， ∩ ( )．
16.(本小题15分)
解下列不等式：
(1) 2 + 4 4 < 0；

(2) > 0；
1
(3)|1 2 | ≤ 7．
17.(本小题15分)
已知集合 = { |( 1) 2 3 + 2 = 0}至多有一个元素，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，图片中为初中化学实验试题.已知 不饱和的盐水中含有 氯化钠( > > 0)，若再加入 氯化钠
( > 0)并能完全溶解，则盐水变得更咸了．
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(1)用数学中的不等式解释这一现象；
(2)证明(1)中的不等式．
19.(本小题17分)
若集合 具有以下性质：
①0 ∈ ，1 ∈ ；
1
②若 ， ∈ ，则 ∈ ，且 ≠ 0时， ∈ ．

则称集合 是“好集”．
(1)分别判断集合 = { 1,0,1}，有理数集 是否是“好集”，直接写出结论；
(2)设集合 是“好集”，求证：若 ， ∈ ，则 + ∈ ；
(3)设集合 是“好集”，求证：若 ∈ ，则 2 ∈ ．
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参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( ∞, 1) ∪ (5, +∞)
13.【答案】{(1,2)，( 1, 2)}
14.【答案】[3, +∞)
15.
解：因为全集 = {1,2,3,5,7,8,9}，集合 = {2,3,5}，集合 = {1,5,7,9}，
所以 ∩ = {2,3,5} ∩ {1,5,7,9} = {5}，
∪ = {2,3,5} ∪ {1,5,7,9} ∪= {1,2,3,5,7,9}，
所以 = {2,3,8}， ∩ ( ) = {2,3}．
16.【答案】解：(1)由 2 + 4 4 < 0得 ( 2)2 < 0，即( 2)2 > 0，解得 ≠ 2，
所以不等式 2 + 4 4 < 0的解集为{ | < 2或 > 2}．

(2)因为 > 0，即 ( 1) > 0，解得 > 1或 < 0，
1

所以不等式 > 0的解集为{ | < 0或 > 1}．
1
(3)|1 2 | ≤ 7 |2 1| ≤ 7 7 ≤ 2 1 ≤ 7，解得 3 ≤ ≤ 4，
所以不等式|1 2 | ≤ 7的解集为{ | 3 ≤ ≤ 4}．
17.
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解：由题意，集合 = { |( 1) 2 3 + 2 = 0}至多有一个元素，
当 1 = 0，即 = 1时，方程化为 3 + 2 = 0，
2
解得 = ，
3
2
此时 = { }，满足题意，
3
当 1 ≠ 0时，则 = 9 4( 1) × 2 ≤ 0，
17
解得 ≥ ，
8
17
综上所述， 的取值范围为{ | ≥ } ∪ {1}．
8
18.
+
(1)因为 > ，
+
盐水中含有氯化钠的浓度变大了，则盐水变得更咸了．
(2)证明：因为 > > 0 > 0， > 0，
+ ( + ) ( + ) ( )
= = > 0，
+ ( + ) ( + )
+
即 > ．
+
19.
(1) 不是“好集”，理由是：
1 ∈ ，1 ∈ ，而 1 1 = 2 ，∴ 不是“好集”；
是“好集”，理由是：0 ∈ ，1 ∈ ；对任意 ∈ ， ∈ ，有 ∈ ，
1
且 ≠ 0时， ∈ ，∴有理数集 是“好集”．

(2)因为集合 是“好集”，所以0 ∈ ．
若 ， ∈ ，则0 ∈ ，即 ∈ ．
所以 ( ) ∈ ，即 + ∈ ．
(3)对任意一个“好集” ，任取 ∈ ，
若 = 0或 = 1时，显然 2 ∈ ．
1 1
≠ 0且 ≠ 1时，由定义可知： 1, , ∈ ．
1
1 1 1
所以 ∈ ，即 ∈ ．
1 ( 1)
所以 ( 1) ∈ ．
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由(2)可得： ( 1) + ∈ ，即 2 ∈ ．
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