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北师大版2025—2026学年九年级上册期中焦点热题集训卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·潮南期中）是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（　　）
A． B．2017 C． D．2025
2．（2024九上·番禺期中）设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·顺德期中）某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·宁波期中）如图所示，在长方形ABCD中，AC是对角线.将长方形ABCD绕点顺时针旋转到长方形GBEF位 ，是EG的中点.若，则线段CH的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·安吉期中）为了解某地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高
人数 59 261 557 123
根据统计，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（　　）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
6．（2024九上·温江期中）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．20° D．10°
7．（2023九上·沙洋期中） 若a为方程x2+2x-4＝0的解，则3a2+6a-8的值为（　　）
A．4 B．2 C．-4 D．-12
8．（2023九上·大城期中）在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（　　）
A．P一定等于
B．P一定不等于
C．多抛一次，P更接近
D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近
9．（2023九上·浦北期中）某电动自行车厂三月份的产量为1 000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到l 210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为（　　）
A．12.1% B．20% C．21% D．10%
10．（2023九上·莱芜期中）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·秀洲期中）随机抽取一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表.
抽取件数（件） 1000
合格频数 950
合格频率
估计出厂的2000件毛衫中，次品大约有　 　件.
12．（2023九上·渠县期中）如图，正方形的边长为6，若，四边形为正方形，则　 　．
13．（2024九上·惠城期中）某药品原价25元/盒，经两次降价后，现价16元/盒，则平均每次降价的百分率为　 　．
14．（2023九上·兰州期中） 如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为　 　.
15．（2024九上·河东期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 　 　．
16．（2024九上·威远期中）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。
其中正确的有　 　（填正确的序号）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·达州期中）解方程：
（1）2x2-2x-1=0
（2）(x－2)2－3(x－2)＝0．
18．（2024九上·杭州期中）如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题：
（1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________；
（2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
19．（2023九上·福田期中）如图9，△ 中，∠ =90°， 是边 上的中线，分别过点 ， 作 和 的平行线，两线交于点 ，且 交 于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若∠ =60°， =6，求四边形 的面积．
20．（2024九上·成都期中）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围．
（2）若方程一实数根为，求实数的值．
21．（2023九上·都昌期中）如图，一张矩形纸片ABCD，将点B折叠到对角线AC上的一点M处，折痕CE交AB于点E，将点D折叠到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F.
（1）求证：.
（2）当的大小为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由.
22．（2024九上·武侯期中）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分8分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知该校初三共 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人；
（2）由图可知的值为 ；
（3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中至少有1个女生的概率．
23．（2023九上·西安期中） 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点（DE＜BE），连接AE，过点E分别作EF⊥AE交BC于点F，EG⊥BD交BC的延长线于点G．
（1）若AD＝6，DE＝2，求EG的长度；
（2）求证：FG＝AB．
24．（2018九上·紫金期中）已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x -mx+ - =0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形 求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少
25．（2023九上·绥化期中）如图①在正方形中，点是对角线上一点.点在的延长线上，且交于点.
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当，连接.试探究线段与线段的数量关系，并说明理由.
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北师大版2025—2026学年九年级上册期中焦点热题集训卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·潮南期中）是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（　　）
A． B．2017 C． D．2025
【答案】C
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为C.
【分析】本题利用一元二次方程根的定义（根代入方程等式成立 ），先得到的值，再通过代数式变形（提取公因式 ），将所求代数式转化为含的形式，最后整体代入求值.
2．（2024九上·番禺期中）设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
整理得：，即，
解得：．
故答案为：C．
【分析】
根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解，解答即可．
3．（2024九上·顺德期中）某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵全班有x名学生，
∴每名学生应该送的相片为（x-1）张，由题意得：
x（x-1）=2550．
故选：B．
【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为（x-1）张，根据“全班共送了2550张相片”，即可列出方程.
4．（2024九上·宁波期中）如图所示，在长方形ABCD中，AC是对角线.将长方形ABCD绕点顺时针旋转到长方形GBEF位 ，是EG的中点.若，则线段CH的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
过点H作HM⊥BCD1于点M，
∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB=6， BC=8，
∴BE=BC=8， ∠CBE=90°， BG=AB=6，
∴HM∥BE，
∵H是EG的中点，
，
∴CM =BC-BM=8-3=5，
在Rt△CHM中，
故答案为：B.
【分析】首先过点H作HM⊥BC于点M， 由将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置， AB=6， BC=8，可得BE=BC =8， ∠CBE=90°，BG= AB=6， 又由H是EG的中点， 易得HM是△BEG的中位线，继而求得HM与CM的长，由勾股定理即可求得线段CH的长.
5．（2024九上·安吉期中）为了解某地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高
人数 59 261 557 123
根据统计，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（　　）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【解析】【解答】解：样本中身高不低于的概率，
估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于的概率是．
故答案为：C．
【分析】先计算出样本中身高不低于的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
6．（2024九上·温江期中）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．20° D．10°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD外侧作等边，
∴，
，，
，
故答案为：A
【分析】根据正方形与等边三角形的性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
7．（2023九上·沙洋期中） 若a为方程x2+2x-4＝0的解，则3a2+6a-8的值为（　　）
A．4 B．2 C．-4 D．-12
【答案】A
【解析】【解答】解：为方程的解，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】由a为方程x2+2x-4＝0的解可得，再整体代入代数式求值.
8．（2023九上·大城期中）在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（　　）
A．P一定等于
B．P一定不等于
C．多抛一次，P更接近
D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近
【答案】D
【解析】【解答】解：硬币只有正反两面
∴ 投掷时正面向上的概率是
∴ 随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近
故答案为：D
【分析】本题考查用频率估计概率， 在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．据此可得答案。
9．（2023九上·浦北期中）某电动自行车厂三月份的产量为1 000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到l 210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为（　　）
A．12.1% B．20% C．21% D．10%
【答案】D
【解析】【解答】该厂四、五月份的月平均增长率为 .
则：
解得： (舍去).
故答案为：D.
【分析】此题是一道平均增长率的问题，利用公式a(1+x)n=p，（a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，p是增长结束达到的量），即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可。
10．（2023九上·莱芜期中）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
过点A作AF⊥PE于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABC=∠D=30°，AD=CD，
∴∠DAC=（180°-∠D）=75°，
根据折叠的性质可得，∠E=∠D=30°，
∴∠APE=∠DAC-∠AEP=45°，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴PF=AF=AP=×=，
在直角三角形AEF中，∵∠E=30°，
∴EF=AF=3，
∴PD=PE=PF+EF=+3；
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质、折叠的性质，直角三角形的性质求出答案即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·秀洲期中）随机抽取一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表.
抽取件数（件） 1000
合格频数 950
合格频率
估计出厂的2000件毛衫中，次品大约有　 　件.
【答案】100
【解析】【解答】解：由表格知，任意抽一件衬衣是合格品的概率为，
估计次品的数量为（件），
故答案为：100．
【分析】用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个固定的近似值就是这个事件的概率，由此得任意抽一件衬衣是合格品的概率，再用总数乘以次品对应的概率即可．
12．（2023九上·渠县期中）如图，正方形的边长为6，若，四边形为正方形，则　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：依题意，设，则，
∵正方形的边长为6，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
则，
∵，
∴
即
解得
所以
故答案为：5
【分析】本题考查正方形的性质，三角形的面积.设，则，根据正方形的边长为6，利用三角形的面积计算公式可得：，利用正方形的性质可得：， 再根据三角形的面积计算公式可得：， 利用等面积法可列出方程，解方程可求出x的值，利用线段的运算可求出DG.
13．（2024九上·惠城期中）某药品原价25元/盒，经两次降价后，现价16元/盒，则平均每次降价的百分率为　 　．
【答案】20%
【解析】【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故：25（1-x）2=16，
解得x= 或 （舍去）．
故答案为：20%.
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1-x），第二次后的价格是25（1-x）2，据此即可列方程，求解即可．
14．（2023九上·兰州期中） 如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，
∴C、A关于BD对称，
即C关于BD的对称点是A，
∴CP=AP，
∴EP+CP=EP+AP
连接AE交BD于P'， EP+AP的最小值为AE
即EP+CP的最小值为AE，
∵等边△ABE，
∴EP+CP=AE=AB，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∴EP+CP=4，
故答案为4．
【分析】首先根据正方形的对称性得出AE是 PC+PE 的最小值，然后根据等边三角形的性质得出AE=AB的长，再根据正方形的性质即可得出正方形的边长AB=4，从而得出 PC+PE 的最小值AE=4即可。
15．（2024九上·河东期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的，
∴黑色阴影区域的面积是，
故答案为：．
【分析求出】点落在黑色阴影的概率为，再利用“阴影部分的面积=总面积×概率”列出算式求解即可.
16．（2024九上·威远期中）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。
其中正确的有　 　（填正确的序号）
【答案】①②③
【解析】【解答】解：由方程的倒方程为，
把代入方程，可得，解得，所以①正确；
当时，一元二次方程的根的判别式，
其中也为一元二次方程，此方程的的根的判别式△，
所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以②正确；
一元二次方程无解，则，即，
一元二次方程的倒方程为的根的判别式，
则它的倒方程也无解，所以③正确；
一元二次方程有两个不相等的实数根，则，
当，时，为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以④错误．
故答案为：①②③.
【分析】根据倒方程的定义，得到倒方程为，结合一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对②③进行判断；利用反例对④进行判断，即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·达州期中）解方程：
（1）2x2-2x-1=0
（2）(x－2)2－3(x－2)＝0．
【答案】（1）解：这里a=2，b=-2，c=-1。
∵b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12＞0
∴x==，
即x1= x2= 。
（2）解：（x-2）（x-2-3）=0
（x-2）（x-5）=0
x-2=0， 或x-5=0
x1=2， x2= 5。
【解析】【分析】（1）根据题意运用公式法解一元二次方程即可求解；
（2）根据题意运用因式分解法解一元二次方程即可求解。
18．（2024九上·杭州期中）如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题：
（1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________；
（2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
【答案】（1）；
（2）解：列表如下，
随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况，
只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光，
可以使小灯泡发光的情况有种情况，
可以使小灯泡发光的概率为．
【解析】【解答】（1）解：当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光，
小灯泡发光的的概率为，
故答案为：；
【分析】当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光，可求出小灯泡发光的的概率.
列表可知随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况，只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光，可以使小灯泡发光的情况有种情况，从而可求小灯泡发光的概率．
（1）解：当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光，
小灯泡发光的的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下，
随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况，
只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光，
可以使小灯泡发光的情况有种情况，
可以使小灯泡发光的概率为．
19．（2023九上·福田期中）如图9，△ 中，∠ =90°， 是边 上的中线，分别过点 ， 作 和 的平行线，两线交于点 ，且 交 于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若∠ =60°， =6，求四边形 的面积．
【答案】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∵EC∥DB，且EC=DB，
在RtAABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD=DB=CD，
∴EC=AD，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴ED∥BC
∴∠AOD=∠ACB，
∴∠ACB=90°，
∴∠AOD=∠ACB=90°，
∴平行四边形ADCE是菱形.
（2）解：在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∠B=60°，BC=6，
∴AD=DB=CD=6，
∴AB=12，
，
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE=BC=6，
∴=.
【解析】【分析】(1)先证四边形ADCE为平行四边形，接着再证明其对角线相互垂直，即可得证.
(2)根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的边的关系，求得DE的长度，根据菱形的面积公式即可求解.
20．（2024九上·成都期中）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围．
（2）若方程一实数根为，求实数的值．
【答案】（1）解：，，，方程有实数根，
，
；
（2）解：若方程一实数根为，则，
，
，，
由（1）得，两个解都符合题意．
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列不等式求解即可得到答案；
（2）根据方程根的定义，将x=-2代入原方程，可得关于字母m的一元二次方程，利用因式分解法求解即可得到答案．
（1）解：，，，方程有实数根，
，
；
（2）解：若方程一实数根为，则，
，
，，
由（1）得，两个解都符合题意．
21．（2023九上·都昌期中）如图，一张矩形纸片ABCD，将点B折叠到对角线AC上的一点M处，折痕CE交AB于点E，将点D折叠到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F.
（1）求证：.
（2）当的大小为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由.
【答案】（1）证明：四边形ABCD为矩形，∴，∴，
由折叠知，，
∴，∴
（2）解：当，四边形AECF是菱形，
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴，，
由（1）知，，∴四边形AECF是平行四边形，则，即，
由折叠可得：，∴，∴
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，进而根据折叠的性质结合平行线的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到，，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到，进而得到，再运用折叠的性质结合题意即可求解。
22．（2024九上·武侯期中）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分8分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知该校初三共 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人；
（2）由图可知的值为 ；
（3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中至少有1个女生的概率．
【答案】（1）500，210
（2）18
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个女生的概率
【解析】【解答】（1）解：(名)，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为(名)；
故答案为：500，210；
（2）解：等级人数所占的百分比为，
所以，
故答案为：18；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用A等级人数除以它所占的百分比得到该学校初三的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数；
（2）先用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，然后根据概率公式计算．
（1）解：(名)，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为(名)；
故答案为：500，210；
（2）解：等级人数所占的百分比为，
所以，
故答案为：18；
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个女生的概率．
23．（2023九上·西安期中） 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点（DE＜BE），连接AE，过点E分别作EF⊥AE交BC于点F，EG⊥BD交BC的延长线于点G．
（1）若AD＝6，DE＝2，求EG的长度；
（2）求证：FG＝AB．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AD＝6，
∴∠DBC＝45°，BD＝＝6，
∵EG⊥BD，
∴∠BEG＝90°，
∴∠G＝45°，
∴BE＝EG，
∵DE＝2，
∴EG＝BE＝6-2；
（2）证明：连接CF，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠AEB＝∠CEB，
∵EF⊥AE，EG⊥BD，
∴∠AEF＝∠BEG＝90°，
∴∠AEB+∠BEF＝90°，∠CEB+∠GEC＝90°，
∴∠BEF＝∠GEC，
由（1）知BE＝GE，∠EBF＝∠G，
∴△BEF≌△GEC（ASA），
∴BF＝GC，
∴BC＝FG，
∵AB＝BC，
∴FG＝AB．
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理可求出BD的长，同时可证得∠DBC=45°，利用垂直的定义可得到∠BEG=90°，同时可证得∠DBC=∠G=45°，利用等角对等边可推出BE=EG，即可求出EG的长.
（2）连接CF，利用正方形的性质可证得AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，利用SAS证明△ABE≌△CBE，利用全等三角形的性质可推出∠AEB＝∠CEB；再利用余角的性质可证得∠BEF＝∠GEC，利用ASA证明△BEF≌△GEC，可得到BC=GC=FG，由此可证得结论.
24．（2018九上·紫金期中）已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x -mx+ - =0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形 求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少
【答案】（1）解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∴此方程有两个相等实数根
即b2-4ac=(-m)2-4(-)=0
∴m=1
当m=1时，原方程为x2-x+=0
∴x1=x2=，
即菱形边长为.
即当m=1时，四边形ABCD是菱形，此时边长是.
（2）解：把AB=2代入原方程得：22-2m+-=0
∴m=
又由根与系数关系得：AB+AD=m=
∴AD=-2=
又 ∵平行四边形ABCD
∴AB=CD、BC=AD
∴平行四边形ABCD周长=2(2+)=5。
【解析】【分析】（1）根据菱形的四条边相等，可知该方程有两个相等实数根，据此即可解答；
（2）由方程根的意义，把AB=2代入原方程即可求出m，再利用根与系数关系可得另一根，最后根据平行四边形对边相等即可计算。
25．（2023九上·绥化期中）如图①在正方形中，点是对角线上一点.点在的延长线上，且交于点.
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当，连接.试探究线段与线段的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形
又
又
（2）解：由（1）已证
又
又
∵四边形是正方形
（3）解：
理由：∵四边形是菱形且
又
又
是等边三角形
又
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到，利用"SAS"证明，得到进而即可求解；
（2）由（1）中的全等得到，再根据等腰三角形的的性质得到：进而证明，进而根正方形的性质即可求解；
（3）根据菱形的性质和已知条件得到，利用"SAS"证明得到，结合已知条件得到进而得到：，即可证明是等边三角形，得到，进而即可求解.
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