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沪科版2025—2026学年九年级上册期中模拟临考冲刺卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下函数为二次函数的为（　　）
A． B．
C． D．
2．若点 在反比例函数 是常数）的图象上，则下列点中也在此反比例函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
3．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+b的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
4．对于函数，下列说法错误的是（　　）
A．它的图象分布在第二、四象限 B．它的图象是中心对称图形
C．y的值随x的增大而增大 D．点是函数图象上的点
5． 小明同学利用计算机软件绘制函数y＝（a、b为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
6．如图，在中，，，，在三角形内部放一个周长为的矩形，使得点、在斜边上，点、分别在直角边、上，则矩形的宽等于（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点B离地面0点的距离是1m，球落地点A到0点的距离是4m，那么羽毛球到达最高点时离地面（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．如图，已知位于第一象限，点A，B，C的坐标分别为，，．若双曲线与有交点，则k的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．
10．如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），，分别表示四边形和的面积，则的最大值是（　　）
A． B．1 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．直线y=-2与抛物线y=-x2的交点有　 　个．
12．已知梯形的上下两底长度为4和6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是　 　．
13．如图，A为反比例函数 图象上的一点， 轴于点 ，点P在x轴上，若 ，则k的值为　 　．
14．如图，在中，，，，为的中线，点在边上（不与端点重合），与交于点，若，则的长为　 　．
15．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于　 　.
16．如图所示，E、F、G分别是矩形ABCD的边AB、AD、BC上的点，GF与CE交于点O，且 ， ， ，则 的值为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，菱形在平面直角坐标系中，边与y轴的正半轴交于点E，边与反比例函数的图象交于点B，D．已知，
（1）求点D的坐标；
（2）若M是反比例函数的图象上段上的一动点，作轴交于点N，连接求面积的最大值及此时点M的坐标．
18．已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，点，抛物线经过点，M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式。
（2）求的面积．
19．如图所示，在四边形ABCD中， ，点E是对角线BD上一点， ，求证 ．
20． 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
（1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集．
21．已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
22．数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得米．随后，组员在直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时米．如图，已知，，，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度．
23．如图，在△ABC中，BC=2，S△ABC=1．P是BC上任意一点(点P与点B，C不重合)， AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．设BP=x， AFPE的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）上述函数有最大或最小值吗？若有，求当x取何值时，y有最大或最小值；若没有，请说明理由．
24．如图所示，
在△ABC中，D是AC上一点，，△BCD的周长是24 cm．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△BCD与△ABD的面积比．
25． 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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沪科版2025—2026学年九年级上册期中模拟临考冲刺卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下函数为二次函数的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 右边不是整式，故选项错误；
B、 ，没有限制条件：a≠0，a、b、c为常数，故选项错误；
C、 ，是二次函数，故选项正确；
D、 ，没有限制条件：a≠0，故选项错误.
故答案为：C.
【分析】二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）；二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k（a≠0），据此判断.
2．若点 在反比例函数 是常数）的图象上，则下列点中也在此反比例函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：将M（-3，4）代入 ，得k=-3×4=-12，
正确的只有A：k=3×（-4）=-12．
故答案为：A．
【分析】将M（-3，4）代入 即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
3．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+b的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、一次函数系数a＞0，二次函数系数a＜0，相互矛盾，不符合题意；
B、一次函数系数a＜0，b＞0，二次函数系数a＜0，b＞0，符合题意；
C、一次函数系数a＜0，二次函数系数a＞0，相互矛盾，不符合题意；
D、一次函数系数a＜0，二次函数系数a＞0，相互矛盾，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数和二次函数图象可得出a和b符号是否相同，再进行判断，如A、C、D选项中一次函数和二次函数的系数a符号均不相同，即可排除，进而确定B选项符合题意.
4．对于函数，下列说法错误的是（　　）
A．它的图象分布在第二、四象限 B．它的图象是中心对称图形
C．y的值随x的增大而增大 D．点是函数图象上的点
【答案】C
【解析】【解答】解：A. ∵k=-2<0，∴它的图象分布在第二、四象限，A正确，不符合题意；
B. ∵此函数是反比例函数，∴它的图象是中心对称图形，B正确，不符合题意；
C. ∵k=-2<0，∴它的图象分布在第二、四象限，在每一象限内y的值随x的增大而增大，C说法错误，符合题意；
D. ∵当x=-1时，y=2，∴点(-1，2)是函数图象上的点，D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数，k=xy，当k＞0时，图象位于一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；反比例函数的图象关于原点中心对称.
5． 小明同学利用计算机软件绘制函数y＝（a、b为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可知当x＞0时，y＜0，（x+b）2＞0，
∴a＜0，
当x=-b时，函数值不存在，
∴-b＜0，
解之：b＞0
故答案为：C.
【分析】观察函数图象和函数解析式，可知当x＞0时，y＜0，（x+b）2＞0，可得到a的取值范围；当x=-b时，函数值不存在，可得到-b＜0，即可求出b的取值范围，即可求解.
6．如图，在中，，，，在三角形内部放一个周长为的矩形，使得点、在斜边上，点、分别在直角边、上，则矩形的宽等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】过点A作于点H，交DG于点I，如图，
，，，
BC=10，
四边形DEFG为矩形，
四边形DEHI是矩形，
HI=DE.
AI=AH-HI=AH-DE，
设DE=m，
矩形 的周长为16，
DG=8-m，
解得
矩形DEFG的宽为
故答案为：B.
【分析】过点A作于点H，交DG于点I，利用等面积法求得AH的值，证根据相似三角形的性质得到设DE=m，得到解得m的值，从而求解.
7．如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
，
解得：（负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
过B作于H，
，
，
，
，
当时，PQ的值最小，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得BD、AC，由AC2=AB(AB+BC)可得AB，过B作BH⊥AD于H，由等腰三角形的性质可得AH=AD，利用勾股定理可得BH，由AD=3AP可得AP的值，由垂线段最短的性质可得当PQ⊥AB时， PQ的值最小，证明△APQ∽△ABH，然后根据相似三角形的性质可得PQ.
8．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点B离地面0点的距离是1m，球落地点A到0点的距离是4m，那么羽毛球到达最高点时离地面（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】【解答】解：将A（4，0），B（0，1）代入，可得b=，c=1，
故.则.
故答案为：B
【分析】由题意可得A（4，0），B（0，1），将其分别代入中求出b、c的值即得解析式，根据最值公式求出最值即可.
9．如图，已知位于第一象限，点A，B，C的坐标分别为，，．若双曲线与有交点，则k的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为，，．
∴设直线解析式为：，
将，代入可得：，解得：，
∴直线解析式为：，联立可得：，
∵双曲线与有交点，
∴，即，
∴k的最大值为．
故选：D
【分析】利用待定系数法求出直线解析式，联立可得：，利用双曲线与有交点，利用根的判别式解答即可．
10．如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），，分别表示四边形和的面积，则的最大值是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过O作MN∥BC交AB于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E
∵O是△ABC的重心，
∴，D是BC中点
∴BD=CD，
∵MN∥BC
∴
∴，
∴
∵ME∥AB
∴
∴
∴
设
∴
∴
∴
∵x为定值
∴当y越小时值越大
∴当时最大，此时GH∥BC
故答案为：A.
【分析】过O作MN∥BC交AN于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E，根据三角形重心的性质得BD=CD，，证得，利用AAS证，根据全等三角形性质得，设可得故=，，即得，由于x为定值，当y越小时比值越大，可得当y=0时比值越大.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．直线y=-2与抛物线y=-x2的交点有　 　个．
【答案】2
【解析】【解答】由题意抛物线 与直线 消去y得： ，
整理得 ，
∵ ＞0，
∴方程必有两个不相等的实数根，
即抛物线 与直线 的交点个数为2个．
故答案为：2．
【分析】由题意抛物线 与直线 联立方程构成一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式判定即可．
12．已知梯形的上下两底长度为4和6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是　 　．
【答案】2：3
【解析】【解答】解：如图，
梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，
∴△EAD∽△EBC，
∵EN⊥BC，
∴EN⊥AD，
∴EM：EN＝AD：BC＝4：6＝2：3，
即这个交点到两底边的距离之比是：2：3．
故答案为：2：3．
【分析】根据题意，可得△EAD∽△EBC，再根据相似三角形的性质：对应边成比例即可。
13．如图，A为反比例函数 图象上的一点， 轴于点 ，点P在x轴上，若 ，则k的值为　 　．
【答案】-4
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵A点在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∵AB⊥y轴，点P在x轴上， ，
∴ ×（-x）×y=2，
即xy=-4，
∴k=-4.
故答案为：-4.
【分析】由题意设点A的坐标为（x，y），根据三角形的面积求出xy=-4，即可得出答案．
14．如图，在中，，，，为的中线，点在边上（不与端点重合），与交于点，若，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，如图倍长AD至G，使AD=GD，连接BG，
∵为的中线，
∴，而，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，设，
则，
解得：，
∵，，，为的中线，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．经检验符合题意；
故答案为：．
【分析】如图倍长AD至G，使AD=GD，连接BG，首先根据SAS判断出△ADC≌△GDB，根据全等三角形的性质得BG=AC，∠CAD=∠G，根据内错角相等两直线平行得AC∥BG，根据等边对等角及对顶角相等可得∠G=∠BEG，根据等角对等边得BE=BG，在Rt△ABF中，利用勾股定理建立方程，求解可得AF的长，根据勾股定理算出BC的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD的长，再证△AEF∽△GEB，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得AE的长.
15．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于　 　.
【答案】
【解析】【解答】解： △ABC为等边三角形，
，
∠ADE＝60°，
，
BD：DC＝1：2，AD＝2，
设
则
解得 .
故答案为： .
【分析】由等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，根据角的和差关系可得∠BAD=∠CDE，证明△ABD∽△DCE，设AB=BC=3a，则BD=a，BC=2a，然后根据相似三角形的性质求解即可.
16．如图所示，E、F、G分别是矩形ABCD的边AB、AD、BC上的点，GF与CE交于点O，且 ， ， ，则 的值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：过 作 于 ，连接EG、CF.
设 ，则 .
由题可得 ， ， ， ， ，
，
， ，
，
易证 .
，
又 ，可得 ，
又 ，
.
故答案为： .
【分析】过G作 于H，连接EG、CF，设 ，得到 ， ， ， ， ，推出△EGO∽△CFO，EG∥CF，可得 △EBG∽△CDF，推出 ，根据 即可得到结论.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，菱形在平面直角坐标系中，边与y轴的正半轴交于点E，边与反比例函数的图象交于点B，D．已知，
（1）求点D的坐标；
（2）若M是反比例函数的图象上段上的一动点，作轴交于点N，连接求面积的最大值及此时点M的坐标．
【答案】（1）解：∵四边形为菱形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵边与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴点D的坐标为；
（2）解：如图，延长交轴于点，
设，其中，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
当时，有，
把代入，得点的横坐标为，
∴点的坐标为．
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质以及得，，然后解直角三角形求出的值，从而利用勾股定理得的值，进而得的值，于是得，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式以及直线的解析式，联立两解析式，解方程组即可求出点坐标；
（2）延长交轴于点，设，利用轴交于点N，用坐标表示出的面积，通过二次函数的最值知识求其最大值及对应点的坐标．
（1）解：∵四边形OABC为菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
设的解析式为，
代入由，解得，
故的解析式为．
由解得或
∴点D的坐标为．
（2）解：如图，延长交y轴于点G．设，其中，
，
∴当时，的面积最大，最大值为．
当时，，
将代入，得点M的横坐标为，
∴点M的坐标为．
18．已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，点，抛物线经过点，M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式。
（2）求的面积．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点(0，5)，(1，8)，( 1，0)，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式：y＝ x2+4x+5；
（2）解：过点M作ME⊥x轴，交BC于D，如图所示：
∵y＝ x2+4x+5
＝ (x 2)2+9；
∴M(2，9)，
将y=0代入y＝ x2+4x+5，
得 x2+4x+5=0，
解得x1=5，x2=-1，
∴B(5，0)，
设直线BC：y＝kx+b，
把B(5，0)，C(0，5)，分别代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得
∴直线BC：y＝ x+5，
∵ME⊥x轴，交BC于点D，
∴把x＝2代入y＝ x+5，
得y＝3，
∴D(2，3)，
∴MD＝6，
∴S△MCB＝S△CDM+S△BDM=．
【解析】【分析】（1）将点(0，5)，(1，8)，( 1，0)分别代入二次函数y＝ax2+bx+c可得关于字母a、b、c的方程组，求解可得出a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）过点M作ME⊥x轴，交BC于D，如图所示：首先将（1）所求的抛物线的解析式配成顶点式可求出顶点M的坐标，根据抛物线与x轴的交点坐标特点可求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+5，然后将x＝2代入y＝ x+5，算出y的值，可得点D的坐标，最后根据S△MCB=可算出答案.
19．如图所示，在四边形ABCD中， ，点E是对角线BD上一点， ，求证 ．
【答案】【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，∠ADC+∠C=180°，
∵∠AEB=∠ADC，∠AEB+∠AED=180°，
∴∠AED=∠C，
∴△ADE∽△DBC.
【解析】【分析】利用平行线的性质可证得∠ADB=∠DBC，∠ADC+∠C=180°，利用邻补角的定义可证得∠AEB+∠AED=180°，利用等角的补角相等，可证得∠AED=∠C；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
20． 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
（1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：把点代入中
得
点的坐标为
把点代入中
得
点的坐标为
把代入中
得.
一次函数的解析式为.
（2）解：的解集为或.
【解析】【解答】解：（2）由图象可知，当x＜0时，直线在反比例函数图象的上边；
又在点A和点B之间，一次函数的图象在反比例函数图象的上边，
∵A（1，9）和点B（9，1），
∴当1＜x＜9时，一次函数的图象在反比例函数图象的上边，
即：不等式的解集 为：当x＜0或1＜x＜9.
【分析】（1）首先根据点A，B在反比例函数图象上，求出m，n的值，再根据点A或点B在一次函数图象上，求出b的值，即可得出一次函数解析式；
（2）根据函数图象，找到直线在双曲线上边部分时所对应的自变量的取值范围，就是不等式的解集.
21．已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
【答案】解：抛物线过点和，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
【解析】【分析】用待定系数法求二次函数的解析式；题中给2点的坐标，解析式中有2个未知数，因此可以代入点坐标列出2个等式，求得2个未知数，写出解析式。
22．数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得米．随后，组员在直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时米．如图，已知，，，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度．
【答案】解：设 ，，
，，，，
，，
，
又，
即
．
答：树的高度为米．
【解析】【分析】设DF=a，EF=x，则GF=9+a，HF=a+1，根据垂直的概念可得∠B=∠F=∠CDH，易得∠AGB=∠EGF，证明△ABG∽△EFG，△CDH∽△EFH，根据相似三角形的性质可得x、a，据此解答.
23．如图，在△ABC中，BC=2，S△ABC=1．P是BC上任意一点(点P与点B，C不重合)， AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．设BP=x， AFPE的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）上述函数有最大或最小值吗？若有，求当x取何值时，y有最大或最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）解：由，得，即.
同理，.
，即
（2）解：y有最大值，理由如下，
∴当时，有最大值，为.
【解析】【分析】（1）由四边形AFPE是平行四边形，可得PF∥CA，则可证出△BFP∽△BAC，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得出S△BFP=，同理可得：S△PEC=，最后根据即可得出y与x的函数关系式；
（2）先把（1）中得到的y与x的函数关系式化成顶点式，然后由a=-＜0，可得x=1时，y有最大值即可解答．
24．如图所示，
在△ABC中，D是AC上一点，，△BCD的周长是24 cm．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△BCD与△ABD的面积比．
【答案】（1）解：∵，且∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴，即
∴△ABC的周长为36 cm；
（2）解：∵△CBD∽△CAB，
∴
∴△BCD与△ABD的面积比为4 ： 5．
【解析】【分析】（1）先根据相似三角形的判定与性质证明△CBD∽△CAB得到，即，从而即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到即可求解。
25． 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得
，解得，
∴这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3
（2）解：如图1
，
作PF⊥x轴于F点，交BC于E点，
因为四边形ABPC的面积=三角形ABC的面积+三角形BPC的面积；
而三角形ABC的面积不变，
所以当三角形BPC的面积最大时，四边形ABPC的面积的面积也最大；
令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
所以A(-1，0)B(3，0)
∴AB=4，又OC=3
∴S ABC=；
BC的解析式为y=x﹣3，设E（m，m﹣3），P（m，m2﹣2m﹣3）．
PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，
S△BCP=S△BEP+SCEP=PE×FB+EP OF
=EP OB
=×3[﹣（m﹣）2+]
当m=时，S最大=×3×=，
m2﹣2m﹣3=﹣，
此时P（，﹣）；
所以此时，四边形ABPC的面积的面积也最大；
S四边形ABPC= S△BCP+ S ABC=6+
∴此时P点的坐标（，﹣），四边形ABPC的最大面积为 ．
（3）解：存在．理由如下：
作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2
，
则PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，
∴OP'=OP，CP'=CP，
∴OP'=OP=CP'=CP，
∴四边形POP'C为菱形，
∵C点坐标为（0，﹣3），
∴E点坐标为（0，﹣），
∴点P的纵坐标为﹣，
把y=﹣代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣，
解得x=，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴x=，
∴满足条件的点P的坐标为（，﹣）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得b，c的值即可求解；
（2） 作PF⊥x轴于F点，交BC于E点，因为四边形ABPC的面积=三角形ABC的面积+三角形BPC的面积，而三角形ABC的面积不变，所以当三角形BPC的面积最大时，四边形ABPC的面积的面积也最大， 令y=0， 解关于x的一元二次方程求得三角形ABC的面积，由直线BC的解析式可设 E（m，m﹣3），P（m，m2﹣2m﹣3），根据 S△BCP=S△BEP+SCEP =EP OB 得到关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可求解；
（3） 作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E， 则PO=PC， 由翻折的性质可得 OP'=OP=CP'=CP， 进而得到
四边形POP'C为菱形， 根据菱形的性质以及点C的坐标求得点E的坐标以及点P的纵坐标，从而得到关于x的一元二次方程，解方程得到x的值并取符合题意的x的值，从而求解.
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