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华东师大版2025—2026学年九年级上册期中进阶提升卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，O为AC、BD的交点，H为AD上的中点，则OH的长度为（　　）
A．3 B．4 C．2.5 D．5
2．如图，把 先向右平移 3 个单位， 再向上平移 2 个单位得到 ， 则顶点 对应点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
3．已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．在一元二次方程-x2-4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．-1，4 B．-1，-4 C．1，4 D．1，-4
5．已知点在轴的负半轴上，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若a＝-1，则a+的整数部分是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7． 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
8．关于x的方程kx2＋4x＋4＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠0
9．已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0
10．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法.如图所示，在矩形 中，以 为边做正方形 ，以 为斜边，作 使得点在 的延长线上，过点 作 交 于 ，再过 点作 于 ，连结 交 于 ，记四边形 ，四边形 的面积分别为 ，若 ， ，则 为（　　）
A．8 B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．
⑴下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是　 　 （填番号）；
①y＝x+2；
②y；
③y＝x2+1．
⑵若一次函数yx+m的图象上存在“单位圆点”，则m的取值范围为　 　 ．
12．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
13． 已知实数a满足，那么的值是　 　．
14．若方程是关于x的一元二次方程，则　 　．
15．已知函数是反比例函数，则k的值为　 　．
16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠DBC＝45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果 ，那么 的值是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）2；
（2）（3﹣2+ ）÷2．
18．2020年5月1日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，意味着北京市垃圾分类正式进入法治化、常态化、系统化轨道． 条例明确规定，将垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物4类． 为了帮助同学们养成垃圾分类的好习惯，七年级一班计划以此为主题召开一次班会，需要一部分同学手绘可回收物的标识小卡片（如图）．发给大家的纸张和样图中的纸张一样，都是边长为 cm的正方形．为了让大家画的标志在纸张中的位置大小尽可能的一致．标志中标注了A，B，C三个关键点，请你通过测量告诉大家A，B，C三点在纸张中的位置．
19．已知 是一元二次方程 的两个实数根，求使 的值为整数的实数k的整数值.
20．已知a、b满足等式；
（1）求a、b的值；
（2）试求的值．
21．如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形 的面积为216平方米，求 边各为多少米？
22．已知a，b，c是三角形的三条边长，且关于 的方程 有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．
23．如图，已知△ABC中，AB= ，AC= ，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长.
24．在平面直角坐标系中，点P，Q分别在线段，上，如果存在点M使得，（点M，P，Q逆时针排列），则称点M是线段的“关联点”，如图1，点M是线段的“关联点”．
（1）如图2，已知点，，点P与点A重合．
①当点Q是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是________；
②已知点是线段的“关联点”，则点Q的坐标是_________．
（2）如图3，已知，．
①当点P与点A重合，点Q在线段上运动时（点Q不与点O重合），若点M是线段的“关联点”，判断线段与的位置关系，并说明理由；
②当点P，Q分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”M形成的区域的周长．
25．如图1，在平面直角坐标系中，点A、在坐标轴上，其中，，且满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将线段平移到．点A的对应点是．点的对应点是．且、两点也在坐标轴上，过点作直线，垂足为，交于点．请在图1中画出图形，直接写出点的坐标，并证明；
（3）如图2，将平移到、点A对应点，连接、，交轴于点，若的面积等于12，求点的坐标及的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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华东师大版2025—2026学年九年级上册期中进阶提升卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，O为AC、BD的交点，H为AD上的中点，则OH的长度为（　　）
A．3 B．4 C．2.5 D．5
【答案】C
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，OB＝OD，AO⊥BO，
又∵点H是AD中点，
∴OH是△DAB的中位线，
在Rt△AOB中，AB5，
则OHAB=2.5
故答案为：C
【分析】先证明OH是△DAB的中位线，可得OHAB，再利用勾股定理求出AB的长即可。
2．如图，把 先向右平移 3 个单位， 再向上平移 2 个单位得到 ， 则顶点 对应点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵把 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到 顶点
即C (3， 1) ，
故答案为： D.
【分析】利用平移规律“左减右加，上加下减”进而得出答案.
3．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用比例的性质，可求出的值.
4．在一元二次方程-x2-4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．-1，4 B．-1，-4 C．1，4 D．1，-4
【答案】B
【解析】【解答】 一元二次方程-x2-4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是 -1，-4，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的一般形式中二次项系数和一次项系数的定义即可得出结论.
5．已知点在轴的负半轴上，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】【解答】∵点P（0，a）在y轴的负半轴上，
∴，
∴，
，
∴点M（-a，-a+5）在第一象限．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出，再求出和，最后判断求解即可。
6．若a＝-1，则a+的整数部分是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a=，
∴a+，
∵4<8<9，
∴2<<3，
∴a+的整数部分是2.
故答案为：C.
【分析】a+=-1+=-1++1=2，然后结合估算无理数大小的方法估算出2的范围，进而可得整数部分.
7． 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，∴∠BAC=∠DAE，
A、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴A不符合题意；
B、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴B不符合题意；
C、∵∠D与∠B的大小无法判定，，∴无法判定，∴C符合题意；
D、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.
8．关于x的方程kx2＋4x＋4＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠0
【答案】C
【解析】【解答】解：当k=0时，方程化为4x+4=0，
解得x=-1
当k 0时，时，方程有两个实数解，
即，解得k≤1且k 0，
综上所述，k的范围为k≤1．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
9．已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
根据图像得：的，，
∴，
∵
∴没有实数根.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据图像得，，进一步得，再计算可得没有实数根.
10．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法.如图所示，在矩形 中，以 为边做正方形 ，以 为斜边，作 使得点在 的延长线上，过点 作 交 于 ，再过 点作 于 ，连结 交 于 ，记四边形 ，四边形 的面积分别为 ，若 ， ，则 为（　　）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形AHMD为正方形，
∴DM＝DA＝7，∠ADM＝90°.
∵DG⊥DE，
∴∠GDE＝90°.
∴∠ADE＋∠EDM＝90°，∠GDM＋∠CDM＝90°.
∴∠ADE＝∠GDM.
∵∠A＝90°，∠DMG＝90°，
∴∠A＝∠DMG.
∴△ADE≌△MDG（ASA）.
∴DE＝DG，AE＝GM.
∴四边形DEFG为正方形.
设AE＝x，则GM＝x.
在Rt△ADE中，DE＝ ＝ =
∵∠DGC＝90°，
∴∠DGM＋∠CGM＝90°.
∵GM⊥CD，
∴∠DMG＝∠GMC＝90°.
∴∠CGM＋∠GCM＝90°.
∴∠DGM＝∠GCM.
∴△DMG～△GMC.
∴ ，
∴CM＝ .
∵S1 S2＝15，
∴（S1＋S△CMN） （S2＋S△CMN）＝15.
即S△EDC S矩形CMHB＝15.
∴ ×CD×AD CM×MH＝15.
∴ ×AD×（CM＋DM） CM×AD＝15.
∴ ×7×（7＋ ） 7× ＝15.
解得：x＝± （负数不合题意，舍去）.
∴x＝ .
∴DG＝AE＝ = =2
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质，结合余角的性质，利用SAS证明△ADE≌OMDG，得出AE= GM， DE = DG，得出四边形DEFG为正方形，设AE＝x，根据勾股定理求出DE，再证明△DMG ~△GMC，利用三角形相似的性质列比例式，把CM表示出来，利用S1-S2=15，得到S△EDC S矩形CMHB＝15，据此列方程求解，最后利用勾股定理求DG即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．
⑴下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是　 　 （填番号）；
①y＝x+2；
②y；
③y＝x2+1．
⑵若一次函数yx+m的图象上存在“单位圆点”，则m的取值范围为　 　 ．
【答案】③；m
【解析】【解答】解：（1）函数①： x2 + ( x + 2 )2 = 1，整理得 2 x2 + 4 x + 3 = 0，，故函数①上不存在单位圆点；
函数②： x2 + = 1，两边乘x2得x4 x2 + 1 = 0，令t=x2，方程变为t2 t + 1 = 0，，故函数②上不存在单位圆点；
函数③： x2 + ( x2 + 1 )2 = 1，整理得x2 ( x 2 + 3 ) = 0 ，解得x=0，y=1，对应的点(0，1)满足
x2 + y2 = 0 + 1 = 1，故函数③上存在单位圆点。
（2）联立与得5 x2 + 4 m x + 4 ( m2 1 ) = 0，，令得m。
故答案填：（1）③；（2）m
【分析】（1）对于每个函数，都联立得到关于x的一元二次方程，通过计算判别式可知方程是否有解，从而对应函数是否存在单位圆点；
（2）对于含参数的函数，求解方法与（1）类似，让对应的含参一元二次方程的判别式大于等于0即可求出参数范围。
12．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
【答案】9
【解析】【解答】解：，
，解得：．
故答案为：.
【分析】本题考查的知识点是根的判别式，若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，利用此式子可求出实数的取值范围．
13． 已知实数a满足，那么的值是　 　．
【答案】2025
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，解得：，
∴，
∴可化为，
∴，两边平方，得，
移项，得
故答案为：2025.
【分析】先根据式子有意义，求出a的取值范围，再化简，求得的值.
14．若方程是关于x的一元二次方程，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
∴
解得或，
∵，即，
∴，
故答案为：3．
【分析】
由一元二次方程的概念知，解得或，但一元二次方程的二次项系数不为0，则舍去即可．
15．已知函数是反比例函数，则k的值为　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵是反比例函数，
∴且，
解得：，
故答案为：1．
【分析】本题考查了反比例函数的定义.根据反比例函数的定义可得：x的指数为-1，比例系数为非零常数，据此可列出方程组：且，解方程组可求出k的值.
16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠DBC＝45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果 ，那么 的值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：连接 ，过点A作 ，如下图：
由对称的性质可得， ， ，∴ ，
在 中， ，∴
∴ ，即
∴
∵ ，∴可设 ，
由题意可得：四边形 为矩形，
∴ ，
又∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，即
又∵
∴
又∵
∴
∴ ，即 ， ，
∴
∴
答案：
【分析】先求出 ， ，再利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）2；
（2）（3﹣2+ ）÷2．
【答案】（1）解：；
（2）解：．
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法则计算求解即可；
（2）利用多项式除以单项式法则，二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
18．2020年5月1日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，意味着北京市垃圾分类正式进入法治化、常态化、系统化轨道． 条例明确规定，将垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物4类． 为了帮助同学们养成垃圾分类的好习惯，七年级一班计划以此为主题召开一次班会，需要一部分同学手绘可回收物的标识小卡片（如图）．发给大家的纸张和样图中的纸张一样，都是边长为 cm的正方形．为了让大家画的标志在纸张中的位置大小尽可能的一致．标志中标注了A，B，C三个关键点，请你通过测量告诉大家A，B，C三点在纸张中的位置．
【答案】解：如图，建立平面直角坐标系，则A（1.5，2.2）， B（0.8，1），C（2.2，1）．（答案不唯一）
【解析】【分析】如图，建立平面直角坐标系，再根据边长为3cm的正方形，通过测量得出三点坐标即可.
19．已知 是一元二次方程 的两个实数根，求使 的值为整数的实数k的整数值.
【答案】解：∵原方程有两个实数根，
∴△= ，
即： ，解得： ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
根据根与系数关系可得： ， ，
∴ = = = = ，
∵其为整数，且 ，
∴k取的值为： ， ， .
【解析】【分析】通过原方程有两个实数根，所以△≥0，从而得到k的范围，之后再由 是一元二次方程 的两个实数根，利用根与系数的关系表示出 与 ，将 进行变形，然后代入整理，结合之前k的范围进一步求解即可.
20．已知a、b满足等式；
（1）求a、b的值；
（2）试求的值．
【答案】（1）解：
，
解得．
把代入方程得．
，．
（2）解：当，时，．
【解析】【分析】（1）根据两个二次根式都要有意义可求得a=3，代入可求得b的值；
（2）把a和b代入，再开平方即可.
21．如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形 的面积为216平方米，求 边各为多少米？
【答案】解：设AB的长为x米，根据题意得
，
解得 ，
当 时， ，不符合题意，故舍去；
当 时， ，符合题意，
∴ ，
∴AB边为12米，BC边为18米．
【解析】【分析】设AB的长为x米，根据题意表示出AB、BC的长，再利用长方形ABCD的面积为216平方米，列出一元二次方程求解即可。
22．已知a，b，c是三角形的三条边长，且关于 的方程 有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．
【答案】解：根据题意得： ，
即 ，
∴ ，
∵2a＋3b＋c≠0，
∴a c＝0，即a＝c，
∴该三角形为等腰三角形
【解析】【分析】根据判别式的意义得到 ，把等式左边分解因式得到 ，于是可得a＝c，故可判断该三角形为等腰三角形．
23．如图，已知△ABC中，AB= ，AC= ，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长.
【答案】解：①图1，
当△AMN∽△ABC时，有 ，
∵M为AB中点，AB＝ ，
∴AM＝ ，
∵BC＝6
∴MN＝3；
②图2，当△ANM∽△ABC时，有 ，
∵M为AB中点，AB＝ ，
∴AM＝ ，
∵BC＝6，AC＝ ，
∴MN＝
∴MN的长为3或 .
【解析】【分析】由题意分两种情况： ①当△AMN∽△ABC时，根据相似三角形的对应边成比例可得 ， 把已知条件代入比利式即可求出MN的长. ② 当△ANM∽△ABC时， 根据相似三角形的对应边成比例可得 ， 把已知条件代入比利式即可求出MN的长.
24．在平面直角坐标系中，点P，Q分别在线段，上，如果存在点M使得，（点M，P，Q逆时针排列），则称点M是线段的“关联点”，如图1，点M是线段的“关联点”．
（1）如图2，已知点，，点P与点A重合．
①当点Q是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是________；
②已知点是线段的“关联点”，则点Q的坐标是_________．
（2）如图3，已知，．
①当点P与点A重合，点Q在线段上运动时（点Q不与点O重合），若点M是线段的“关联点”，判断线段与的位置关系，并说明理由；
②当点P，Q分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”M形成的区域的周长．
【答案】（1）①；②
（2）解：①，理由如下：如图3中，连接AB，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，，
，
∴，
，
，
；
②解：如图，当点与重合时，得到，是边长为4的等边三角形，
观察图形可知，当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点”形成的区域是边长都为4的四边形，周长为16．
【解析】【解答】（1）解：①如图2中，观察图形可知，点是线段的“关联点”
故答案为：；
②是等腰直角三角形，
，，
当点与重合时，满足条件，此时．
故答案为：
【分析】（1）①作出图形，根据“关联点”的定义观察图形即可求出答案.
②根据等腰直角三角形性质可得，，再根据“关联点”的定义即可求出答案.
（2）①连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，是等边三角形，则，，，即，再根据全等三角形判定定理可得，则，由直线平行判定定理即可求出答案.
②作图，当点与重合时，得到，是边长为4的等边三角形，观察图形可知，当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点”形成的区域是边长都为4的四边形，周长为16，即可求出答案.
（1）解：①如图2中，观察图形可知，点是线段的“关联点”．
故答案为：；
②是等腰直角三角形，
，，
当点与重合时，满足条件，此时．
故答案为：；
（2）解：①，理由如下：
如图3中，连接，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，，
，
∴，
，
，
；
②解：如图，当点与重合时，得到，是边长为4的等边三角形，
观察图形可知，当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点”形成的区域是边长都为4的四边形，周长为16．
25．如图1，在平面直角坐标系中，点A、在坐标轴上，其中，，且满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将线段平移到．点A的对应点是．点的对应点是．且、两点也在坐标轴上，过点作直线，垂足为，交于点．请在图1中画出图形，直接写出点的坐标，并证明；
（3）如图2，将平移到、点A对应点，连接、，交轴于点，若的面积等于12，求点的坐标及的值．
【答案】（1）解：，
，且，
，，
点A的坐标为，点的坐标为.
（2）解：如图1，由平移的性质可知：，，
，
∴，
∴，
；
∵将线段平移到，点A的对应点是，
∴将线段向左平移4个单位，向下平移3个单位；
故点的对应点．
．
（3）解：如图2，过点作轴于点，
由（1）可知，A、两点的坐标为，，
，，
点的坐标为，
，，
的面积等于12，
，
，
即，
解得：，
点的坐标为；
过作于，过A作于，
则，，，，
，
的面积等于12，
，
即，
解得：，
，
，
即点的坐标为，的值为．
【解析】【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再求出点A、B的坐标即可；
（2）先求出，可得，再求出将线段向左平移4个单位，向下平移3个单位，最后利用点平移的特征分析求解即可；
（3）过点作轴于点，根据，可得，求出OE的长，可得点E的坐标；过作于，过A作于，根据，可得，求出OF的长，求出即可.
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