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【填空题强化训练·50道必刷题】苏科版数学八年级上册期中试卷
1．2022年上海常住人口约为24758900人，用科学记数法表示24758900并保留三位有效数字　 　．
2．如图，则阴影小长方形的面积S＝　 　．
3．已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是　 　.
4．已知直角三角形两条边的长分别为 cm、 cm，那么它的第三边的长是　 　．
5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D在AC的延长线上，则∠BCD＝　 　度.
6．如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB=　 　°．
7．如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为　 　．
8．如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为　 　．
9．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心，适当长为半径在右侧画弧，分别交l1，l2于点B，C，连结AC，BC，若∠ABC＝70°，则∠1＝　 　．
10．如图，在中，过边的中点E作直线交于点D．若，则的长是　 　．
11．空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是　 　．
12．如图，O为直线DA上一点，∠AOB＝120°，OE为∠AOB的平分线，∠COB＝90°，则∠EOC的度数是 　 　．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是高线，E是AC的中点，若AB=4，则DE=　 　．
14．如图，测量三角形中线段 的长度为　 　 .判断大小关系： 　 　 （填“ ”，“ ”或“ ”）．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，若AB=5，BC=6，则AD的长为　 　.
16．一根木杆高5米，折断后顶端落在离木杆底端3米处．折断处离地面的高度是　 　米．
17．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为　 　.
18．如图，AD为△ABC的角平分线，AB=15，AC=10，则△ABD与△ADC的面积之比为　 　
19．△ABC中，∠A=70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC=　 　°．
20．如图，直线l1l2，点A在l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点；连接AC，BC．若∠ABC＝65°，则∠1的大小为　 　．
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是　 　．
22．上午时，一条船从港口出发，以海里时的速度向正北方向航行，时到达海岛处，从，两处望灯塔，分别测得，若该船从海岛继续向正北航行，则船与灯塔的最短距离为　 　．
23．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有　 　个．
24．如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为　 　．
25．小马做了一个棱长为6 cm的正方体纸盒，小朱说：“我做的正方体纸盒比你多用了 78 cm2 的纸板.”小朱做的纸盒的体积比小马做的大　 　cm3.
26．等腰三角形中有两条边长分别是5cm和11cm，则这个三角形的周长是　 　．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　 　cm.
28．49的算术平方根是　 　，的立方根是　 　．
29．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，，点F是线段AD上的动点，则的最小值为　 　．
30．如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有　 　对．
31．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：中，，，，则的长为　 　．
32．在中，，若，则x的值为　 　
33．如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ， ， ， ，则 　 　.
34．云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为 ，其边缘 ，点E在 上， ．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为　 　m．
35．如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交边 于点 ， 的周长等于 cm，则 的长等于　 　cm.
36．比较大小：　 　.（填“>”，“<”，或“＝”）
37．如图是一个边长为的正方体木箱，点在上底面的棱上，，一只蚂蚁从点出发沿木箱表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是　 　．
38．用“※”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有 例如 -2，那么12※196=　 　，2※(3※16)=　 　。
39．实数 +2的整数部分a＝　 　，小数部分b＝　 　.
40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝1，则CB＝　 　．
41．下列推理正确的是　 　（填序号）.
①弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为明年弟弟长大了1岁；
②如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
③全等三角形的对应角相等；
④∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多；
⑤因为对顶角必然相等，所以相等的角也必定是对顶角.
42．如图，，请你再添加一个条件，使，你添加的条件是　 　.
43．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长　 　.
44．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于　 　cm.
45．如图，在四边形 中， ， ， 于点 ， 于点 ， 、 分别是 、 上的点，且 ，下列说法正确的是　 　.（填写正确的序号）
① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ，⑤ ，⑥ .
46．等腰三角形的其中两边长分别为（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，已知这两边不相等，且x＞5，则该等腰三角形的周长为　 　（用含x的式子表示）
47．如图，K是等边△ABC内部一点，∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，则以KA，KB，KC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是 　 　．
48．如图是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，可分别绕点B，C转动，测量知cm，cm，cm．当转动到，且A，C，D三点共线时，则点A到地面的距离为　 　cm．
49．如图，已知 中， ， ， ，作AC的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第一条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第二条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交 于点 ，连接 ，得到第三条线段 ；……，如此作下去，则第n条线段 的长为　 　．
50．如图，是的中线，延长至点E，使.连接并延长，交的延长线于点F，已知四边形的面积为2，则的面积是　 　.
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【填空题强化训练·50道必刷题】苏科版数学八年级上册期中试卷
1．2022年上海常住人口约为24758900人，用科学记数法表示24758900并保留三位有效数字　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： 24758900 =2.47589×107≈2.48×107.
故第一空答案为：2.48×107.
【分析】先把 24758900改写成科学记数法的形式，再把前边的因数按照四舍五入法保留有效数字即可。
2．如图，则阴影小长方形的面积S＝　 　．
【答案】30
【解析】【解答】由勾股定理得： =10，
∴阴影小长方形的面积S=3×10=30；
故答案是：30．
【分析】由勾股定理求出小长方形的长，再由长方形的面积公式进行计算．
3．已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是　 　.
【答案】13
【解析】【解答】解：设第三边长为，则，
∵第三边为整数，且三角形周长最小
∴a=4
∴ 周长最小为，
故答案为：．
【分析】设第三边长为，根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，根据第三边为整数，且三角形周长最小可得a=4
，进而求解即可.
4．已知直角三角形两条边的长分别为 cm、 cm，那么它的第三边的长是　 　．
【答案】 cm或1cm
【解析】【解答】当这个直角三角形的斜边的长为 cm时，
第三边的长等于
当这个直角三角形两条直角边的长分别为 cm、 cm时，
第三边的长等于 ．
故答案为： cm或1cm．
【分析】此题有两种情况，一是当这个直角三角形的斜边的长为 cm时，求另一条直角边的长；二是当这个直角三角形两条直角边的长分别为 cm、 cm时，求斜边的长．然后根据勾股定理即可求得答案．
5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D在AC的延长线上，则∠BCD＝　 　度.
【答案】100
【解析】【解答】解：∠BCD=∠A+∠B=60°+40°=100°.
故答案为：100.
【分析】利用三角形外角和定理即可直接求出∠BCD的大小.
6．如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB=　 　°．
【答案】40或70或100
【解析】【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB1=AB1时，∠OAB=∠α=40°；
②当OA=AB2时，∠OAB=180°-2×40°=100°；
③当OA=OB3时，∠OAB=∠OBA=（180°-40°）=70°；
故答案为：40或70或100．
【分析】
根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．
7．如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：延长交于点，过点作于点，
∵，
∴，即，点在线段的垂直平分线上，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
∴在中，即，
解得，
在中，，
∴即，
解得，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
故答案为：．
【分析】延长CP交AB于点M，过点P作PN⊥AC于点N，由等边对等角、角的构成及已知可推出∠PAB=∠PBA，由等角对等边得PA=PB，由到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可得PC是线段AB的垂直平分线，在Rt△AMC中，利用勾股定理建立方程求出CM，在Rt△APM中，利用勾股定理建立方程求出AP，进而再在Rt△APN中，由勾股定理算出PN即可得出答案.
8．如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为　 　．
【答案】10
【解析】【解答】解：如图，由题意得，
，
故．
故答案为：10．
【分析】根据勾股定理解答即可．
9．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心，适当长为半径在右侧画弧，分别交l1，l2于点B，C，连结AC，BC，若∠ABC＝70°，则∠1＝　 　．
【答案】40°
【解析】【解答】解：根据题意得：AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40°．
【分析】由AB=AC可得∠ACB＝∠ABC＝70°，由平行线的性质可得∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，据此即可求解.
10．如图，在中，过边的中点E作直线交于点D．若，则的长是　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
故答案为：4．
【分析】先根据等角对等边，求得AD，再根据线段垂直平分线的性质，求得DC．
11．空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：延长BA交EC于点F，如图所示，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】利用平行线的性质求出度数，利用邻补角的定义求出的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出度数.
12．如图，O为直线DA上一点，∠AOB＝120°，OE为∠AOB的平分线，∠COB＝90°，则∠EOC的度数是 　 　．
【答案】30°
【解析】【解答】解：∵OE平分∠AOB，
∴∠BOE∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOE＝60°，
∵∠COB＝90°，
∴∠EOC＝∠COB﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30°．
【分析】根据角平分线求出∠BOE∠AOB，再求出∠BOE＝60°，最后计算求解即可。
13．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是高线，E是AC的中点，若AB=4，则DE=　 　．
【答案】2
【解析】【解答】∵AB=AC，AB=4，
∴AC=4．
在△ABC中，CD是高线，
∴∠ADC=90°，
又∵E是AC的中点，
∴DE=AC=2．
故答案为：2．
【分析】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
14．如图，测量三角形中线段 的长度为　 　 .判断大小关系： 　 　 （填“ ”，“ ”或“ ”）．
【答案】；
【解析】【解答】经测量，AB的长度为2.0cm；
∵三角形的两边之和必定大于第三边，
∴AB+AC>BC，
故答案为：2.0；>．
【分析】利用测量法求解即可；再利用三角形三边的关系求解即可。
15．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，若AB=5，BC=6，则AD的长为　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD4，
故答案为：4．
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD＝3，然后在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求出AD的长．
16．一根木杆高5米，折断后顶端落在离木杆底端3米处．折断处离地面的高度是　 　米．
【答案】
【解析】【解答】设折断处离地面的高度是x米，
根据勾股定理得x2+32=(5 -x)2，
解得x=，
答：折断处离地面的高度是米，
故答案为：.
【分析】根据勾股定理列方程即可得.
17．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为　 　.
【答案】65°
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°.
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°.
故答案为：65°.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出∠C的度数，从而得出答案。
18．如图，AD为△ABC的角平分线，AB=15，AC=10，则△ABD与△ADC的面积之比为　 　
【答案】3：2
【解析】【解答】解： ∵AD为△ABC的角平分线，AB=15，AC=10 ，
∴BD：CD=3：2，
∴S△ABD：S三角形ADC=3：2，
故答案为：3：2.
【分析】根据角平分线的性质：角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，可得BD：CD=3：2，故可得 △ABD与△ADC的面积之比 .
19．△ABC中，∠A=70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC=　 　°．
【答案】125
【解析】【解答】解：∵∠A = 70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°.
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于P，
∴∠PBC =∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ ACB)=110°=55°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）= 180°-55°=125°
故答案为：125°.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠PBC+∠PCB，根据角平分线的定义得∠PBC =∠ABC，∠PCB=∠ACB；三角形内角和定理计算∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）即可。
20．如图，直线l1l2，点A在l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点；连接AC，BC．若∠ABC＝65°，则∠1的大小为　 　．
【答案】50°
【解析】【解答】解：∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=65°，
根据三角形的内角和得：∠ACB+∠ABC+∠CAB=180°，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-65°-65°=50°，
∵l1//l2，
∴∠1=∠CAB=50°，
故答案为：50°．
【分析】由等边对等角可得∠ACB=∠ABC=65°，根据三角形的内角和可得∠CAB=180°-∠ACB-
∠ABC=50°，利用平行线的性质可得∠1=∠CAB=50°.
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是　 　．
【答案】2.5
【解析】【解答】解：过点D作DEAB于E，
在ABC中，C=，AB=5，AC=3，
∴，
∵AD平分BAC，
∴ DE=DC，
∵，
即，
解得CD=1.5，
∴ BD=4-CD=4-1.5=2.5，
故答案为：2.5．
【分析】过点D作DEAB于E，根据角平分线的性质可得DE=DC，再利用三角形的面积公式可得，然后将数据代入计算可得，求出CD=1.5，最后利用线段的和差可得BD=4-CD=4-1.5=2.5。
22．上午时，一条船从港口出发，以海里时的速度向正北方向航行，时到达海岛处，从，两处望灯塔，分别测得，若该船从海岛继续向正北航行，则船与灯塔的最短距离为　 　．
【答案】海里
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥NA，
∵船八点从港口A出发行驶，两个小时到达海岛B，
∴AB=2×15=30，
∵∠NBC=30°，
∴∠NBC=∠BCA+∠NAC=30°即，∠BCA+15°=30°，
解之：∠BCA=∠NAC=15°，
∴AB=BC=30海里，
∴CB=2CD，
∴CD=15海里.
故答案为：15海里.
【分析】过点C作CD⊥NA，利用已知条件可求出AB的长，再利用三角形的外角的性质去证明∠BCA=∠NAC=15°，利用等角对等边可求出BC的长；然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD的长.
23．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有　 　个．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故答案为：6
【分析】利用等腰三角形的判定方法求解即可。
24．如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：在：
∵CB=CD，∠ACB=∠ACD，CA=CA，
∴，
∴∠B=∠D，
∵∠EAC=∠D+∠DAC=48°，
∴∠B+∠BCA=48°，
∴∠BAE=180°-(∠B+∠BCA)-∠CAE=180°-48°-48°=84°。
故答案为：84°.
【分析】根据SAS证明，从而得出∠B=∠D，再根据∠EAC=∠D+∠DAC=48°，从而等量代换得出∠B+∠BCA=48°，最后根据三角形内角和为180°，求得∠BAE=180°-(∠B+∠BCA)-∠CAE=84°
25．小马做了一个棱长为6 cm的正方体纸盒，小朱说：“我做的正方体纸盒比你多用了 78 cm2 的纸板.”小朱做的纸盒的体积比小马做的大　 　cm3.
【答案】127
【解析】【解答】解：根据题意，小朱所做的正方体纸盒面积为：，其棱长为.
∴ 小朱做的纸盒的体积比小马做的大.
故答案为：127.
【分析】先计算出小朱所做的正方体纸盒面积，由面积计算出其棱长，然后代入体积差公式计算即可.
26．等腰三角形中有两条边长分别是5cm和11cm，则这个三角形的周长是　 　．
【答案】27cm
【解析】【解答】解：当腰长为 5cm 时，三角形的三边分别为5cm，5cm，11cm，此时5+5<11，不能构成三角形；
当底边长为 5cm 时，三角形的三边分别为5cm，10cm，11cm，此时5+11>11，能构成三角形，
故周长为5+11+11=27cm.
故答案为：27cm.
【分析】分腰长为5cm或11cm两种情况进行讨论，取符合题意的三边长，根据三角形的周长公式计算即可得出结论.
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　 　cm.
【答案】42
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=BD=12cm，
在Rt△ACB中，AB= = =13，
△ACF与△BDF的周长和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm）.
故答案为：42.
【分析】由旋转的性质可得△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，则BD=BC=12cm，推出△BCD为等边三角形，得到CD=BC=BD=12cm，由勾股定理求出AB，进而可得△ACF与△BDF的周长之和.
28．49的算术平方根是　 　，的立方根是　 　．
【答案】；
【解析】【解答】解：因为，
所以的算术平方根是，的立方根是，
故答案为：；．
【分析】利用算术平方根和立方根的性质求出即可．
29．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，，点F是线段AD上的动点，则的最小值为　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，
由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
因为等边△ABC中，BD=CD，可得AD⊥BC，
所以AD是BC的垂直平分线（三线合一），所以C和B关于直线AD对称，
所以CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，
又因为AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，由，所以△ADB≌△CEB（AAS），
所以CE=AD=6，即BF+EF=6．
故答案为：6．
【分析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，根据定义三角形的性质，得到BF+EF最小，由AAS，证得△ADB≌△CEB，即可求得BF+EF的值，得到答案．
30．如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有　 　对．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵，
∴在和中，
，
∴；
在和中，
，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
故图中的全等三角形一共有3对，
故答案为：3．
【分析】结合对顶角相等，利用AAS可判断出△ADO≌△BCO，利用HL可判断出Rt△ADB≌Rt△BCA，由全等三角形的对应边相等得DB=AC，从而结合公共边DC=CD，利用SSS判断出△ADC≌△BCD，综上可得答案.
31．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：中，，，，则的长为　 　．
【答案】4.55
【解析】【解答】解：如图，
设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10-x．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x）2．
解得：x=4.55，
即AC=4.55．
故答案为：4.55．
【分析】设AC=x，则AB=10-x．在Rt△ABC中，由勾股定理可得x2+32=（10-x）2，解之即得结论.
32．在中，，若，则x的值为　 　
【答案】8
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再结合，即可得到.
33．如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ， ， ， ，则 　 　.
【答案】2
【解析】【解答】 解： ，
，
， ，
（ASA），
.
， ，
.
.
故答案为：2.
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠B=∠DEF，用角边角可证△ABC≌△DEF，则BC=EF，然后由线段的构成EC=BC+EF-BF可求解.
34．云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为 ，其边缘 ，点E在 上， ．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为　 　m．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可知：
AD＝ ＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，
线段AE即为滑行的最短路线长．
在Tt△ADE中，根据勾股定理，得
AE＝ （m）．
故答案为：
【分析】
根据题意可知：AD=12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，线段AE即为滑行的最短路线长．在Tt△ADE中，根据勾股定理得
AE＝ 。
35．如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交边 于点 ， 的周长等于 cm，则 的长等于　 　cm.
【答案】11
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长等于19cm，
∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=19cm，
∵BC=8cm，
∴AC=11cm.
故答案为：11.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，由于△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=19cm，据此求出AC的长.
36．比较大小：　 　.（填“>”，“<”，或“＝”）
【答案】>
【解析】【解答】解：∵，，，
∴.
故答案为：>.
【分析】将+1、化为小数，然后进行比较.
37．如图是一个边长为的正方体木箱，点在上底面的棱上，，一只蚂蚁从点出发沿木箱表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是　 　．
【答案】15
【解析】【解答】解：将该正方体展开，如图所示：
∵AB=PB=9，AQ=3.
∴BQ=AQ+AB=3+9=12.
∴PQ=
故答案为：15.
【分析】将该正方体的侧面展开，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短距离.
38．用“※”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有 例如 -2，那么12※196=　 　，2※(3※16)=　 　。
【答案】2；-1
【解析】【解答】解：根据题意可知： 12※196==14-12=2，
2※(3※16) =2※（-3）=2※1=-2=-1；
故答案为：2；-1.
【分析】根据新运算，利用算术平方根直接进行计算即可.
39．实数 +2的整数部分a＝　 　，小数部分b＝　 　.
【答案】4； ﹣2
【解析】【解答】解：∵2＜ ＜3，
∴4＜ +2＜5，
∴ +2的整数部分为4，小数部分为 +2﹣4＝ ﹣2，
∴a＝4，b＝ ﹣2，
故答案为：4， ﹣2.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得4＜+2＜5，据此可得a、b.
40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝1，则CB＝　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵CD是高，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：2.
【分析】根据题意利用三角形内角和定理求得进而根据含30°角的直角三角形的性质，即可求解.
41．下列推理正确的是　 　（填序号）.
①弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为明年弟弟长大了1岁；
②如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
③全等三角形的对应角相等；
④∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多；
⑤因为对顶角必然相等，所以相等的角也必定是对顶角.
【答案】②③
【解析】【解答】解：①、错误，因为哥哥和弟弟的年龄同时增长；
②、正确，如果a=b，b=c，则a=c；
③、正确，全等三角形的对应角相等；
④、错误，两角相等它们看起来应一样大；
⑤错误，相等角不一定是对顶角，
故答案为：②③.
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.
42．如图，，请你再添加一个条件，使，你添加的条件是　 　.
【答案】或或或（选其中一个条件即可）.本题答案不唯一.
【解析】【解答】解：添加的条件：或，此时；
添加的条件：或，此时；
故答案为：或或或（选其中一个条件即可）.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理进行解答即可.
43．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长　 　.
【答案】5
【解析】【解答】解：过D作 交BC于H，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中
∴ （AAS），
∴ ，
延长GC到M，使 ，连接DM，DG，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：5.
【分析】过D作 交BC于H，证明（AAS），得，延长GC到M，使 ，连接DM，DG，先求出△DEM的面积为20，利用
=20，据此求出EM即可.
44．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于　 　cm.
【答案】
【解析】【解答】解：∵S△ABC=AB×CE=BC×AD，
∴8AB=6BC，
∴AB：BC=3：4，
设AB=3k， BC=4k，
∵AB=BC，AD⊥BC，
∴CD=BC=2k，
在Rt△ADC中，
AD2+DC2=AC2，
36+4k2=9k2，
∴k=，
∴△ABC的周长=2AB+2CD=10k=12 .
故答案为：12 .
【分析】先用面积法求出AB和BC之比，设AB=3k， BC=4k， 由等腰三角形的性质可知CD为2k，在△ADC中利用勾股定理列式求出k值，则△ABC周长可求。
45．如图，在四边形 中， ， ， 于点 ， 于点 ， 、 分别是 、 上的点，且 ，下列说法正确的是　 　.（填写正确的序号）
① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ，⑤ ，⑥ .
【答案】③⑤⑥
【解析】【解答】解：延长EB到G，使BG=DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，
∴∠D=∠ABG=90°，
在△ADF和△ABG中，
∵AD＝AB，∠D＝∠ABG，DF＝BG，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF=AG，∠G=∠DFA，∠DAF=∠BAG，
∵∠EAF=70°，∠DAB=140°，
∴∠DAF+∠EAB=∠DAB－∠FAE=140°－70°=70°，
∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=70°，
∴∠FAE=∠EAG=70°，
在△FAE和△GAE中
∵AE＝AE，∠FAE＝∠EAG，AF＝AG，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴∠FEA=∠GEA，∠G=∠EFA，EF=EG，
∴EF=EB+BG= EB+DF，∠FAE≠∠EAB，故⑤正确，④错误；
∴∠G=∠EFA=∠DFA，即AF平分∠DFE，故③正确；
∵CF+CE＞EF，EF=DF+BE，
∴CF+CE＞DF+BE，故⑥正确；
根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故②错误，①错误；
故答案为：③⑤⑥.
【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG，利用SAS证明△ADF≌△ABG，则可得出AF=AG，∠G=∠DFA，∠DAF=∠BAG，则由角的和差关系求出∠FAE=∠EAG=70°，然后利用SAS证明△FAE≌△GAE，则可得出∠FEA=∠GEA，∠G=∠EFA，EF=EG，结合线段间的和差关系和三角形的三边关系分别进行判断，即可解答.
46．等腰三角形的其中两边长分别为（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，已知这两边不相等，且x＞5，则该等腰三角形的周长为　 　（用含x的式子表示）
【答案】5x2﹣4x﹣19
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①当等腰三角形的腰为（x+2）（2x﹣5）时，
三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：
（x+2）（2x﹣5）+（x+2）（2x﹣5）+（x﹣1）2
＝2x2﹣x﹣10+2x2﹣x﹣10+x2﹣2x+1
＝5x2﹣4x﹣19；
②当等腰三角形的腰为（x﹣1）2时，
三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，（x﹣1）2时，
∵（x﹣1）2+（x﹣1）2＝2x2﹣4x+2，（x+2）（2x﹣5）＝2x2﹣x﹣10，x＞5，
∴（x﹣1）2+（x﹣1）2﹣（x+2）（2x﹣5）＝（2x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣x﹣10）＝﹣3x+12＜0，
∴（x﹣1）2+（x﹣1）2＜（x+2）（2x﹣5），
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形．
故答案为：5x2﹣4x﹣19．
【分析】分为两种情况：①当三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2时，②当三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，（x﹣1）2时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．
47．如图，K是等边△ABC内部一点，∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，则以KA，KB，KC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是 　 　．
【答案】1：2：3
【解析】【解答】解：如图，将△ABK绕点B顺时针旋转60°得到△BDC，连接KD，
∴△BDK为等边三角形，KA＝CD，
∴KD＝KB，
∴以KA，KB，KC为边的三角形即为图中△CKD，
∵∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，且∠AKB+∠BKC+∠CKA＝360°，
∴∠AKB＝90°，∠BKC＝120°，
∴∠DKC＝∠BKC﹣∠BKD＝120°﹣60°＝60°，
∠CDK＝∠BDC﹣∠BDK
＝∠AKB﹣∠BDK＝90°﹣60°＝30°，
∴∠KCD＝180°﹣∠CDK﹣∠CKD
＝180°﹣30°﹣60°
＝90°，
∴以KA，KB，KC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是30°：60°：90°＝1：2：3，
故答案为：1：2：3．
【分析】将△ABK顺时针旋转60°得到△BDC，连接KD，则 △BDK为等边三角形，KA＝CD， KD＝KB，即以KA，KB，KC为边的三角形即为图中△CKD，根据∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，以及旋转的性质即可求出答案.
48．如图是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，可分别绕点B，C转动，测量知cm，cm，cm．当转动到，且A，C，D三点共线时，则点A到地面的距离为　 　cm．
【答案】
【解析】【解答】如图，过点B作BE⊥AD.
∵∠BCA+∠BCD=180°，∠BCD=120°，
∴∠BCA+120°=180°，解得∠BCA=60°，
在Rt△BCE中，∵BC=20cm，∠CBE=30°，
∴，（cm），
在Rt△ABE中，（cm），
∴点A到地面的距离为cm.
【分析】利用平角的意义求得∠BCA，再在Rt△BCE根据含30°角的直角三角形的性质求得BE，接着在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE，最后通过线段的和求得点A到地面的距离.
49．如图，已知 中， ， ， ，作AC的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第一条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第二条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交 于点 ，连接 ，得到第三条线段 ；……，如此作下去，则第n条线段 的长为　 　．
【答案】 或
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分AC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
，
可得第n条线段 的长为： 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先求出 ，再求出，最后找出规律求解即可。
50．如图，是的中线，延长至点E，使.连接并延长，交的延长线于点F，已知四边形的面积为2，则的面积是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
∵
∴
∴，
∵ 点D为AB中点
∴，
又，
∴
又∵
∴，
∴
∴
∴.
故答案为： .
【分析】连接DF，由得，故，，由D为AB中点得，，从而求出，由得，，，即得，根据即可求解.
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