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【解答题强化训练·50道必刷题】苏科版数学八年级上册期中试卷
1．（1）萧县某中学计划为学生暑期军训调配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是____________．
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由．
2．如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠ADE.
3．（1）一个正数的平方等于361，求这个正数；
（2）一个负数的平方等于121，求这个负数；
（3）一个数的平方等于196，求这个数.
4．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．
（1）求的长；
（2）这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒 （结果精确到0.1）
5． 观察表格，回答问题：
… 0.01 1 100 10000 …
… 1 100 …
（1）表格中　 　，　 　；
（2）从表格中探究与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则　 　
②已知，若，用含的代数式表示，则　 　
（3）试比较与的大小.
当　 　时，；当　 　时，；当　 　时，.
6．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，请你帮工人师傅计算出这块钢板的面积．
7．如图，热气球探测器显示，从热气球A处到一标高楼顶部的距离AB=34m，到高楼底部的距离AC=50m，热气球A处到这栋高楼外墙D处的距离为30m，又测得DC=40m，求这栋楼的高度．
8．如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为．
（1）当时，求的长；
（2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
9．已知a是一个正数，比较（ ）﹣1，（ ）0， 的大小．
10．已知：如图，，，．
请说明的理由．
理由：过点C作交AD的延长线于点G，
可得 ▲ （两直线平行，内错角相等）
∵，
∴ ▲ （　　）
∴ ▲ （　　）
∵（已知）
∴ ▲ （　　）
∵（已知）
∴ ▲ （　　）
∴（等角对等边）
∵ ▲ （已证）
∴（等量代换）
11．平面内有四个点A，B，C，D，用它们作顶点可以组成几个三角形？画出图形，并写出存在的三角形．（只写含已知字母的）
12．证明“三个角都相等的三角形是等边三角形”
13．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB角平分线上一点，CP∥OA，交OB于点C，PD⊥OA，垂足为点D，且PC=4，求PD的长.
14．已知：如图，在四边形ABCD中，．求证：
（1）．
（2）．
15．如图，直线，和的夹角，.求和之间的距离.
16．如图，的延长线于，于，若，.
（1）求证：；
（2）求证：平分.
17．已知，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，E在△ABC的外部，连接AD、AE、CE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，求证：BD＝CE．
（2）如图2，当∠B＝45°，∠BAD＝22.5°时，连接DE交AC于点F，作DG⊥DE交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个顶角为45°的等腰三角形．
18．把下列各数分别填入相应的集合里：+(-2)，0，﹣0.314， （两个1间的0的个数依次多1个） ﹣(﹣11)， ， ， ，
正有理数集合：{ …}，
无理数集合： { …}，
整数集合： { …}，
分数集合： { …}．
19．如图，吴敏在河岸的点A测得看对岸点D的视线与吴敏所在河岸的直线成15°角，然后沿直线行走100米到达点B，此时测得看对岸点D的视线与前进方向成30°的角，问河宽是多少米？
20．如图，在小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）.
（1）若与全等，则图中与点不重合的格点共有　 　个；
（2）画出的边上的高.
21．【知识理解】有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图1，在四边形中，，则四边形是邻余四边形，是邻余线．
【知识应用】
（1）如图2，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形；
（2）如图3，已知四边形是以为邻余线的邻余四边形，，，，，求的长度．
22． 面积为的正方形草坪，四周均设有围栏，现将其改造为面积为的长方形草坪，使其长宽之比为，问围栏是否够用？
23．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
24．讨论：近似数1.6与1.60相同吗？
25．如图，已知 ， ，求证 .
26．解关于x，y的方程组 时，甲正确地解出 ，乙因为把c抄错了，误解为 ，求2a+b-c的平方根.
27．已知如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABD=30°，AB=AD，DC⊥BC于点C，若BD=4，求CD的长.
28．如图所示，已知长方形的宽与长的比为2： 3，对角线长为 cm，求这个长方形的长与宽． (精确到0.1 cm)
29．已知在等腰三角形中，，．求的度数．
30．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接．
（1）求的度数；
（2）已知，的周长为，求的周长．
31．如图， 在正方形网格中，若小方格的边长均为1，试判断 的形状，并说明理由.
32．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
33．已知x，y满足 求x+3y的立方根.
34．如图，在中，．
（1）用尺规作图：作的角平分线，交于点D，作的垂直平分线，交于点P（保留痕迹，不写作法）；
（2）连接，，试判断，，间的数量关系，并说明理由；
（3）若，求的度数．
35．四边形ABCD的对角线AC将其分割成两个三角形：
（1）如图1.若∠BAC=∠DAC，AB＞AD，求证：AB－AD＞CB－CD.
（2）如图2.若∠ACD+∠BAC=180°，∠B=∠D，求证：BC=AD.
36．如图，这是一个数值转换器．
（1）当输入的值为25时，输出　 　．
（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由．
（3）小明输入了下面的几个备选数据中的某一个，结果转换器运行过程中显示“该操作无法运行”，请你判断输入的值可能是哪一个数据？请说明理由．
备选数据：．
（4）若小明输入了某个的值后得到了，请你判断一下他输入的值是否是唯一的？若不唯一，请你写出3个不同的数值．
37．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度．
38．如图，在 中， 于点 .求 的长.
39．如图，，，．
（1）图中有几对全等三角形？请一一写出来．
（2）过点作，，垂足分别为，．求证：．
40．如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．
41．如图， 已知 ， 点 在线段 上， 与 交于点 ．
（1） 求 的度数．
（2） 连结 ， 若 ，求 的度数．
42．如图， ， 绕顶点 按逆时针方向旋转 得到 ，请说明 、 分别是哪个角的平分线？
43．图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是多少？
44．如图，在三角形ABC中，AD为中线，AB=4，AC=2，AD为整数，求AD的长。
45．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M．
（1）若∠A=40°，则∠NMB=　 　度；
（2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数；
（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明．
46．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD= 90°，BC=6，CD=AC=8，M，N分别是对角线BD，AC的中点，连结AM．
（1）求AM的长．
（2）求证：MN⊥AC．
（3）求MN的长．
47．如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接，，构成，，三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：；
（2）当动点P落在第②部分时，是否成立 如果成立，请说明理由；不成立直接写出结论.
（3）当动点P落在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
48．已知，则的整数部分为1；而减去其整数部分的差就是的小数部分，则的小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）填空：的整数部分是　 　，的小数部分是　 　．
（2）若，其中是m为整数，且0＜n＜1，求m﹣n的值．
49．一题多设问：如图①，在 中， AC，AB=DB，E是DB上一点，BE=BC，连接AE 并延长交CD于点 F.
图①
（1）求证：
（2）如图②，若 AF 为 的角平分线.
图②
求证： 为等腰三角形；
（3）如图③，连接FB，求证：
图③
（4）如图④，已知M为线段AE 上一点，N为线段CD上一点.
①若M，N分别是 AE，CD 的中点，试探究MB，NB 之间的数量关系，并说明理由；
②若M，N分别是AE，CD 上任意一点，MB⊥NB，①中的结论是否成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由
50．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点D在线段上，如果，则____________度；
（2）设，．
①找出图2中的一对全等三角形：______________，并写出其全等的依据：____________________；
②如图2，当点D在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由．
③当点D在直线上移动时，请直接写出，之间的数量关系
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【解答题强化训练·50道必刷题】苏科版数学八年级上册期中试卷
1．（1）萧县某中学计划为学生暑期军训调配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是____________．
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由．
【答案】解：（1）根据题意，得这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性；
（2），理由如下：
∵O是和的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）由三角形具有稳定性，即可求解；
（2）根据中点的定义得，从而利用“SAS”证明，进而根据全等三角形对应边相等得，据此即可求解.
2．如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠ADE.
【答案】解：∵AE是△ABC边上的高，
∴∠AEC=90°，因为∠ACB=40°，
∴∠EAC=90°-40°=50°，
∵AD是∠EAC的角平分线，
∴∠DAC=50°÷2=25°，
∵∠ADE是△ADC的外角，
∴∠ADE=∠C+∠DAC=40°+25°=65°
【解析】【分析】根据三角形高线的定义得出 ∠AEC=90° ，根据直角三角形的两锐角互余得出 ∠EAC 的度数，再根据角平分线的定义求出∠DAC的度数，最后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，由∠ADE=∠C+∠DAC 即可算出答案。
3．（1）一个正数的平方等于361，求这个正数；
（2）一个负数的平方等于121，求这个负数；
（3）一个数的平方等于196，求这个数.
【答案】（1）解： 设这个正数为x(x＞0)，则
x2=361
解得 x=19
答：这个正数是19.
（2）解：设 这个负数为x(x＜0)，则
x2=121
解得 x=-11
答： 这个负数 是-11.
（3）解：设 这个数为x，
则 x2=196
解得 x=
答： 这个数是.
【解析】【分析】根据算术平方根性质计算作答即可.
4．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．
（1）求的长；
（2）这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒 （结果精确到0.1）
【答案】（1）解：由题意可知，米，米，，
∴（米），
答：的长为16米．
（2）解：（米/秒），
答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据速度=路程÷时间即可求出答案.
（1）解：由题意可知，米，米，，
∴（米），
答：的长为16米．
（2）解：（米/秒），
答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒．
5． 观察表格，回答问题：
… 0.01 1 100 10000 …
… 1 100 …
（1）表格中　 　，　 　；
（2）从表格中探究与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则　 　
②已知，若，用含的代数式表示，则　 　
（3）试比较与的大小.
当　 　时，；当　 　时，；当　 　时，.
【答案】（1）0.1；10
（2）31.6；10000m
（3）；a=0或1；
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：0.1，10；
（2） ①；
故答案为：31.6；
②∵8.973×100=897.3，
∴，即b=10000m；
故答案为：10000m；
（3）∵ ，
∴，
∴，
即；
∵ ，
∴，
∴，
即a=0或1；
∵ ，
∴，
∴，
即.
故答案为：，a=0或1，.
【分析】（1）根据进行计算，即可得到答案；
（2） ①根据， ，即可得到答案；
② 根据8.973×100=897.3，得到，进而即可得到答案；
（3）分别计算 ， ，时a的取值范围，即可得到答案.
6．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，请你帮工人师傅计算出这块钢板的面积．
【答案】解：∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∵42+32=52，
∴AB2+BC2=AC2，∴∠B=90°，
∵AC＝5，CD＝12，AD＝13，
∴52+122=132，∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36．
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理可得∠ACD=90° ，根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD进行计算即可.
7．如图，热气球探测器显示，从热气球A处到一标高楼顶部的距离AB=34m，到高楼底部的距离AC=50m，热气球A处到这栋高楼外墙D处的距离为30m，又测得DC=40m，求这栋楼的高度．
【答案】解：∵，
∴是直角三角形，且，∴．
在中，，
∴，
∴这栋楼的高度是．
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理即可求出为直角三角形，结合AB和AD的距离利用勾股定理求出BD长度，从而求出BC长度即为这栋楼的高度.
8．如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为．
（1）当时，求的长；
（2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：连接，
在等腰直角中，，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，
理由如下：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
（3）解：存在点使得与全等，理由如下：连接，
∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，根据等腰直角三角形的底角是45°得出，求得，根据等边对等角得出，求得，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求出；
（2）根据同角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，推得，即可证明；
（3）连接，根据全等三角形的对应角相等得出，推得是钝角，，根据等边对等角和三角形内角和是180°求出，根据等角对等边得出，即可列出方程，求出t的值.
（1）解：连接，在等腰直角中，
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（3）存在点使得与全等，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．已知a是一个正数，比较（ ）﹣1，（ ）0， 的大小．
【答案】解：∵a是正数，
∴（ ）﹣1＝a，（ ）0＝1
当0＜a＜1时，a＜1＜ ，即（ ）﹣1＜（ ）0＜
当a＝1时，a＝ ＝1，即（ ）﹣1＝（ ）0＝
当a＞1时， ＜1＜a，即 ＜（ ）0＜（ ）﹣1
【解析】【分析】先确定a的取值范围，再分类讨论作出比较．
10．已知：如图，，，．
请说明的理由．
理由：过点C作交AD的延长线于点G，
可得 ▲ （两直线平行，内错角相等）
∵，
∴ ▲ （　　）
∴ ▲ （　　）
∵（已知）
∴ ▲ （　　）
∵（已知）
∴ ▲ （　　）
∴（等角对等边）
∵ ▲ （已证）
∴（等量代换）
【答案】解：过点C作交AD的延长线于点G，
可得（两直线平行，内错角相等）
∵，
∴（AAS）
∴ CG（全等三角形的对应边相等）
∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（等角对等边）
∵（已证）
∴（等量代换）
【解析】【分析】利用全等三角形的判定与性质求解即可。
11．平面内有四个点A，B，C，D，用它们作顶点可以组成几个三角形？画出图形，并写出存在的三角形．（只写含已知字母的）
【答案】答：按点共线分类，可分为三种情形：
⑴四点共线． 四个点A、B、C、D在同一条直线上，不能组成三角形；
⑵三点共线． 四个点A、B、C、D中有且仅有三个点（例如B、C、D）在同一条直线上，如图1所示，可组成三个三角形，分别是：△ABC，△ACD，△ABD；
⑶任意三点不共线． 四个点A、B、C、D中任何三个点都不在同一条直线上，如图2所示，可组成四个三角形，分别是：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD．
【解析】【分析】按点共线分类，可分（1）四点共线；（2）三点共线和（3）任意三点不共线三种情形讨论即可．
12．证明“三个角都相等的三角形是等边三角形”
【答案】证明：如图，作BC边上的高AD.已知∠B=∠C，AD⊥BC，AD边共用所以△ABD≌△ADC所以AB=AC.同理可得△ABC三边相等.
【解析】【分析】作BC边上的高AD.用角角边易证△ABD≌△ADC，则可得AB=AC；同理可证AC=BC，于是可得AB=AC=BC，根据等边三角形的定义可求解。
13．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB角平分线上一点，CP∥OA，交OB于点C，PD⊥OA，垂足为点D，且PC=4，求PD的长.
【答案】解：过点P作PE⊥OB，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°.
∵PE⊥OB， PC=4，
∴PE=2.
∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OB，PD⊥OA，
∴PD= PE=2.
【解析】【分析】过点P作PE⊥OB， 得到∠PCE=∠AOB=30°，从而得到PE=2，再根据OP是∠AOB的平分线，即可解答
14．已知：如图，在四边形ABCD中，．求证：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
，
.
（2）解：，
，
，
.
【解析】【分析】(1)利用四边形的内角和定理可得，进而证得.
(2)利用平行线的性质可得，再通过AAS判定．
15．如图，直线，和的夹角，.求和之间的距离.
【答案】解：如图，过点作于点，
直线，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
两平行线和之间的距离为.
【解析】【分析】 如图，过点作于点，由平行线的性质可得， 从而求出， 即得=45°，可得AD=BD，根据勾股定理可得， 据此求出BD=AB，即得结论.
16．如图，的延长线于，于，若，.
（1）求证：；
（2）求证：平分.
【答案】（1）证明：，
在和中，，
.
（2）证明：，，
，，平分
【解析】【分析】（1）根据题意可以知道∠E=∠CFD=90°，然后根据直角三角形全等的判定定理证明Rt△DBE≌Rt△DCF。
（2）根据Rt△DBE≌Rt△DCF与到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可以得出证明AD平分∠BAC。
17．已知，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，E在△ABC的外部，连接AD、AE、CE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，求证：BD＝CE．
（2）如图2，当∠B＝45°，∠BAD＝22.5°时，连接DE交AC于点F，作DG⊥DE交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个顶角为45°的等腰三角形．
【答案】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°＝∠DAE，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∵DG⊥DE，
∴∠GDE＝90°，
∴∠GDA＝45°，
∵∠BAD＝22.5°，
∴∠DAF＝67.5°，∠BGD＝∠BAD+∠ADG＝67.5°，
∴∠BDG＝180°-∠B-∠BGD＝67.5°＝∠BGD，∠AFD＝180°-∠ADF-∠DAF＝67.5°＝∠DAF，∠ADC＝180°-∠ACB-∠DAC＝67.5°＝∠DAC，
∴△BDG，△ADC，△ADF都是顶角为45°的等腰三角形，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠B＝∠ACE＝45°，
又∵∠AFD＝∠CFE＝67.5°，
∴∠CFE＝∠CEF＝67.5°，
∴△CEF是顶角为45°的等腰三角形．
【解析】【分析】(1) 由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得结论.
(2)利用等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理分别求出各个角的度数，即可求解.
18．把下列各数分别填入相应的集合里：+(-2)，0，﹣0.314， （两个1间的0的个数依次多1个） ﹣(﹣11)， ， ， ，
正有理数集合：{ …}，
无理数集合： { …}，
整数集合： { …}，
分数集合： { …}．
【答案】解：正有理数集合：{﹣(﹣11)、 、 、 …}，无理数集合：{ …}，整数集合：{+(-2)，0，﹣(﹣11) …}，分数集合：{﹣0.314， ， ， ， …}．
【解析】【分析】根据实数的分类，找出正有理数集合，无理数集合，整数集合，分数集合.
19．如图，吴敏在河岸的点A测得看对岸点D的视线与吴敏所在河岸的直线成15°角，然后沿直线行走100米到达点B，此时测得看对岸点D的视线与前进方向成30°的角，问河宽是多少米？
【答案】解：如图，过点D作DC⊥AB，交AB延长线于C，
依题意知：∠DAB=15°，∠DBC=30°，AB=100米，
∴∠ADB=∠DBC-∠DAB=30°-15°=15°=∠DAB，
∴DB=AB=100米，
在Rt△DBC中，DC=BD=×BD=50（米），
答：这条河宽是50米.
【解析】【分析】过点D作DC⊥AB，交AB延长线于C，依题意知：∠DAB=15°，∠DBC=30°，AB=100米，由外角的性质可得∠ADB=∠DBC-∠DAB=15°=∠DAB，则DB=AB=100米，根据含30°角的直角三角形的性质可得DC=BD，据此计算.
20．如图，在小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）.
（1）若与全等，则图中与点不重合的格点共有　 　个；
（2）画出的边上的高.
【答案】（1）3
（2）解：
【解析】【解答】解：（1）当A与A、B与B为对应点，即△ABC≌△ABD，D点只有1种情况；
当A与B、B与A为对应点，即△ABC≌△BAD有两种情况；
故答案为：3
【分析】（1）根据对应点的不同结合图象即可求解；
（2）按照作三角形高的要求作图即可。
21．【知识理解】有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图1，在四边形中，，则四边形是邻余四边形，是邻余线．
【知识应用】
（1）如图2，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形；
（2）如图3，已知四边形是以为邻余线的邻余四边形，，，，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠DBA=90°
∴∠FAB与∠EBA互余
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）解：延长AD、BC相交于点E，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠E=90°，
∵∠ADC=135°
∴∠EDC=45°
∴∠ECD=45°
∴∠EDC=∠ECD
∴ED=EC
设ED=EC=x，
∵AD=6，BC=3
∴AE=AD+ED=x+6，BE=BC+CE=x+3
∵AB=15
∴在Rt△ABE中，
即
解得
∴．
∴.
【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理和三角形的内角和定理，理解定义并明确相关性质及定理是解题关键．
（1）根据等腰三角形的性质推论：三线合一可知：∠ADB=90°，再根据直角三角形的性质：两锐角互余可知：∠DAB+∠DBA=90°，最后根据邻余四边形的定义可证得：四边形ABEF是邻余四边形，由此可证得结论；
（2）延长AD、BC相交于点E，根据三角形内角和定理可得：∠E=90°，再结合∠ADC=135°和平角的定义可得：∠EDC=45°，根据三角形内角和定理可得：∠ECD=45°，即∠EDC=∠ECD，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可得：ED=EC，设ED=EC=x，根据线段和差运算可知：AE=x+6，BE=x+3，再利用勾股定理列出关于x的方程，求得x的值，即可知ED=EC=6，最后根据勾股定理求出CD的长，由此可得出答案．
（1）证明：∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴与互余，
∴四边形是邻余四边形；
（2）解：延长、相交于点E，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴
设，
由勾股定理得，
解得
∴．
∴．
22． 面积为的正方形草坪，四周均设有围栏，现将其改造为面积为的长方形草坪，使其长宽之比为，问围栏是否够用？
【答案】解：正方形的面积为，
∴正方形的边长为，则正方形的周长为，
设长方形的长为，则宽为，
由题可得：，
解得：（负值舍去），
∴长方形的长为，宽为，
∵，
长方形周长为，
∴围栏够用．
【解析】【分析】设长方形纸片的长为，宽为，根据长方形的面积得，解得，继而比较长方形和正方形的周长，即可得出答案．
23．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB= 60° ，
∵DE∥AB，
∴ ∠EDC=∠B= 60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE= DC= 2 ，
在Rt△DEF中，∠DEF= 90° ，
∵DE=2，∠F= 30°，
∴DF= 2DE= 4，
∴ EF=== 2，
故答案为：2.
【解析】【分析】先证明△DEC为等边三角形，再在Rt△DEC中根据含30°角的等腰直角三角形的性质求出DF，最后由勾股定理求出EF即可.
24．讨论：近似数1.6与1.60相同吗？
【答案】解：解：不相同.近似数1.6表示精确到十分位，也就是保留一位小数，有效数字为2个；而近似数1.60表示精确到百分位，也就是保留两位小数，有效数字为3个.所以近似数1.60比1.6精确，两者不相同。
【解析】【分析】确定精确到哪一位看末位数所在的数位；保留多少位小数则看小数点后有多少为数；有效数字则是从第一个非0数字起，到末尾数字的数的个数。
25．如图，已知 ， ，求证 .
【答案】证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
.
【解析】【分析】由已知条件并结合等量加等量和相等可得∠BAC=∠DAE，用边角边可证△BAC≌△DAE，然后根据全等三角形的对应角相等可求解.
26．解关于x，y的方程组 时，甲正确地解出 ，乙因为把c抄错了，误解为 ，求2a+b-c的平方根.
【答案】解：把代入方程，得：，
解得：.
把，分别代入方程，得：
，
解得，
∴，
∴2a+b-c=4，
∴2a+b-c的平方根是±2.
【解析】【分析】 把代入方程 中，求出c值， 把，分别代入方程 中，求出a、b值，再代入求解即可.
27．已知如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABD=30°，AB=AD，DC⊥BC于点C，若BD=4，求CD的长.
【答案】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠DBC=∠ABD=30°，
∵DC⊥BC于点C，
∴∠C=90°，
∵在Rt△BDC中，∠DBC=30°，BD=4，
∴CD= BD，
【解析】【分析】由已知可求得∠ABD=∠DBC=30°，由DC⊥BC，则根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半求解即可．
28．如图所示，已知长方形的宽与长的比为2： 3，对角线长为 cm，求这个长方形的长与宽． (精确到0.1 cm)
【答案】解：设长方形的宽为 2x cm，长为3x cm．
根据勾股定理，得(2x)2+(3x)2=( )2，
4x2+9x2=39，13x2=39，x2=3，
x= ≈1.73．
所以长方形的宽约为2×1.73≈3.5(cm)．
长约为3×1.73≈5.2(cm)．
【解析】【分析】设长方形的宽为2xcm，长为3xcm，根据勾股定理可得x的值，进而求出长方形的宽与长.
29．已知在等腰三角形中，，．求的度数．
【答案】解：在等腰三角形中，，
，
，
，
．
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质先求出 ， 再求出 ，最后计算求解即可。
30．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接．
（1）求的度数；
（2）已知，的周长为，求的周长．
【答案】（1）解：在中，，，
，，
的垂直平分线交于点，
，
，
；
（2）解：的周长为，
，
，
的垂直平分线交于点，
，
的周长．
【解析】【分析】（1）由AB=AC，∠C=70°求出∠A的度数与∠ABC的度数，再根据MN为AB的垂直平分线得AD=BD，进而可求出∠DBC的度数。
（2）由垂直平分线得性质可得BD+DC=AC，进而可求△BDC的周长。
31．如图， 在正方形网格中，若小方格的边长均为1，试判断 的形状，并说明理由.
【答案】解： 是直角三角形.理由如下：
根据勾股定理得， ， ， ；
，
，
∴ 是直角三角形.
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB、BC、AC的值，再运用勾股定理逆定理即可求解.
32．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】解：∵∠ABD=90°，AB=6dm，AD=9dm
∴在Rt△ABD中，∵BC=3dm，CD=6dm
∴
∴，
∴∠BCD=90°
∴BC⊥CD
∴该婴儿车符合安全标准.
【解析】【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理逆定理是解题关键．根据勾股定理：在Rt△ABD中，，然后通过计算可知：，由勾股定理的逆定理可得：∠BCD=90°即BC⊥CD，由此即可得出答案．
33．已知x，y满足 求x+3y的立方根.
【答案】解：∵
∴x-3≥0，3-x≥0，
解得x=3
将x=3代入
得y=8，
∴x+3y=3+3×8=27.
∵27 的立方根是3，
∴x+3y的立方根是3
【解析】【分析】 算术平方根具有双中非负性：一个数只有一个立方根.当题目中既出现算术平方根，又出现立方根时，一定要正确使用算术平方根、立方根的定义和性质，不要混淆.
34．如图，在中，．
（1）用尺规作图：作的角平分线，交于点D，作的垂直平分线，交于点P（保留痕迹，不写作法）；
（2）连接，，试判断，，间的数量关系，并说明理由；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：；
理由：如图，连接，，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线和线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质求出，，即可得到，
（3）根据三角形内角和定理可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求出答案.
（1）解：如图所示：
（2）；
理由：如图，连接，，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
35．四边形ABCD的对角线AC将其分割成两个三角形：
（1）如图1.若∠BAC=∠DAC，AB＞AD，求证：AB－AD＞CB－CD.
（2）如图2.若∠ACD+∠BAC=180°，∠B=∠D，求证：BC=AD.
【答案】（1）证明：如图所示，在线段AB上取一点E，使得AE=AD，
在△AEC和△ADC中
∴△AEC≌△ADC，
∴EC=CD，
∵CB-EC∴CB-CD∴CB-CD∴AB-AD>CB-CD.
（2）证明：如图所示，过点A作AE垂直于DC的延长线于点E，过点C作CF垂直AB于点F
∵∠ACD+∠BAC=180°，∠ACD+∠ACE=180°，
∴∠BAC=∠ACE，
在△ACE和△ACF中
∴△CFA≌△AEC，
∴CF=AE，
在△BCF和△DAE中
∴△BCF≌△DAE，
∴AD=BC.
【解析】【分析】(1)在线段AB上取一点E，使得AE=AD，结合已知条件可以证得△AEC≌△ADC，根据全等的性质得出线段相等，再利用三角形的三边关系：任意两边之差小于第三边即可得出结果；(2) 过点A作AE垂直于DC的延长线于点E，过点C作CF垂直AB于点F，根据已知条件可证得△CFA≌△AEC，从而证得△BCF≌△DAE，即可得出结果.
36．如图，这是一个数值转换器．
（1）当输入的值为25时，输出　 　．
（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由．
（3）小明输入了下面的几个备选数据中的某一个，结果转换器运行过程中显示“该操作无法运行”，请你判断输入的值可能是哪一个数据？请说明理由．
备选数据：．
（4）若小明输入了某个的值后得到了，请你判断一下他输入的值是否是唯一的？若不唯一，请你写出3个不同的数值．
【答案】（1）
（2）解：存在，
和1的算术平方根分别是0和1，一定是有理数，
故永远不能输出无理数，故满足要求的的值是0或1；
（3）解：负数没有算术平方根，故输入的值为；
（4）解：他输入的值不唯一，
第一次输入2时，可得到，故可为2；
第二次输入2时，可为4；
第三次输入2时，可为16；
故可为2或4或16（答案不唯一）．
【解析】【解答】解：（1）当输入的值为25时，，则故答案为：；
【分析】(1)根据运算规则计算即可得解，无理数才是y，取算术平方根后是有理数再循环计算；
(2)根据0和1的算术平方根分别是0和1，一定是有理数，即可得解；
(3)根据负数没有算术平方根即可得解；
(4)根据运算法则，进行逆运算即可得解.
37．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度．
【答案】解：设，则，
由图可得，，，
中，，
即，
解得，
答：风筝距离地面的高度为12米．
【解析】【分析】设，则，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解．
38．如图，在 中， 于点 .求 的长.
【答案】解：
即
是直角三角形（勾股定理逆定理）
答： 的长度是
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，根据三角形的面积公式求出即可.
39．如图，，，．
（1）图中有几对全等三角形？请一一写出来．
（2）过点作，，垂足分别为，．求证：．
【答案】（1）解：∵，，
∴；
∵，，．
∴；
∵，，，
∴．
∴共有3对全等三角形：；；．
（2）证明：在和中，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法分析求解即可；
（2）先利用“SSS”证出可得，再结合求出即可.
40．如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．
【答案】证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF．即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD，AF=CF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中∠BFG=∠DEG，∠BGF=∠DGE，BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF
【解析】【分析】根据等式的性质，由AE＝CF，得出AF＝CE．然后利用HL判断出Rt△ABF≌Rt△CDE，根据全等三角形对应边相等得出BF＝DE．然后再利用AAS判断出△BFG≌△DEG，根据全等三角形对应边相等得出FG＝EG，即BD平分EF。
41．如图， 已知 ， 点 在线段 上， 与 交于点 ．
（1） 求 的度数．
（2） 连结 ， 若 ，求 的度数．
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：设 ， 则 ，
，
．
在 中，有 ， 解得 ，
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DAE推出∠BAD，再根据AB∥CD即可求得∠ADC；
（2）根据平行线的性质可得∠ABF=∠BFC，再根据三角形的内角和定理即可求得∠ABF和∠ABE，根据∠FBC=∠ABE-∠ABF，即可求得.
42．如图， ， 绕顶点 按逆时针方向旋转 得到 ，请说明 、 分别是哪个角的平分线？
【答案】解：由于 绕顶点 按逆时针方向旋转，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 是 的平分线，同理 是 的平分线
【解析】【分析】由90 角绕顶点按逆时针方向旋转 得到： ，根据角平分线的定义可得到答案.
43．图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是多少？
【答案】解：⑴将前面、右面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；
⑵将前面、上面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；
⑶将左面、上面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；
所以最短路径长为 cm．
【解析】【分析】分三种情况，把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．
44．如图，在三角形ABC中，AD为中线，AB=4，AC=2，AD为整数，求AD的长。
【答案】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=2，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴4-2＜2AD＜4+2，
∴1＜AD＜3，
∵AD是整数，
∴AD=2.
【解析】【分析】 延长AD到E，使AD=DE，连接BE， 然后利用SAS判断出 △ADC≌△EDB ，根据全等三角形对应边相等得出 AC=BE=2， 在△ABE中，利用三角形三边的关系得出AE的取值范围，再求出其整数解即可.
45．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M．
（1）若∠A=40°，则∠NMB=　 　度；
（2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数；
（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明．
【答案】（1）20
（2）解：∵AB=AC，∠A=70°，
∴∠B=∠ACB=，
∵ AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，
∴MN⊥AB，
∴∠MNB=90°，
∴∠NMB=180°-∠MNB-∠B=35°.
（3），理由如下：
连接AM，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵ AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，
∴BM=AM，
∴∠ABC=∠BAM，
∴∠BAM=∠ACB，
∵∠BAM=∠BAC+∠CAM，∠ACB=∠CMA+∠CAM，
∴∠BAC=∠BMA，
由题意可得：∠BMN=∠AMN，
∴.
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACB=，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，
∴MN⊥AB，
∴∠MNB=90°，
∴∠NMB=180°-∠MNB-∠B=20°，
故答案为：20.
【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠B=∠ACB=70°，再求出MN⊥AB，最后计算求解即可；
（2）利用三角形的内角和求出∠B=∠ACB=55°，再求出MN⊥AB，最后计算求解即可；
（3）根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠ACB，再根据线段垂直平分线求出BM=AM，最后证明求解即可。
46．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD= 90°，BC=6，CD=AC=8，M，N分别是对角线BD，AC的中点，连结AM．
（1）求AM的长．
（2）求证：MN⊥AC．
（3）求MN的长．
【答案】（1）解：如图，连结CM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
∴.
，
∴AM=5.
（2）证明：∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
.
∵N是AC的中点，
；
（3）解：∵AC=8，N是AC的中点，
.
【解析】【分析】（1）连结CM，由直角三角形斜边中线的性质可得AM=CM=BM=DM=BD，再利用勾股定理求出BD的长，继而得解；
（2）由（1）知AM=CM，根据等腰三角形扇形合一的性质即可求解；
（3）由线段的中点求出AN，由（2）知MN⊥AC，利用勾股定理求出MN即可．
47．如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接，，构成，，三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：；
（2）当动点P落在第②部分时，是否成立 如果成立，请说明理由；不成立直接写出结论.
（3）当动点P落在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
【答案】（1）解：过点P作，∴.∵，∴.
∴.∴；
（2）解：不成立.结论是：，
（3）解：（a）当动点P在射线的右侧时，结论是：.
（b）当动点P在射线上，结论是：.
或或，（任写一个即可）.
（c）当动点P在射线的左侧时，结论是.
选择（c）证明：连接，连接，并延长至.
∵AC∥BD，
∴∠HAC=∠ABD.
又∵∠PAH是三角形的一个外角，
∴∠PAH=∠APB+∠PBA.
∴∠PAH+∠HAC=∠APB+∠PBA+∠ABD
∴∠PAC=∠APB+∠PBD.
【解析】【分析】（1）与（2）、思路都是一致的，通过作相同的辅助线，结合平行线的性质，比较得出三个角之间的关系；
（3）、当点P在BA右侧，根据三角形外角和定理以及“两直线平行，同位角相等”得出a结论；当点P在BA射线上，实际此时∠APB=0°，“两直线平行，同位角相等”得出b结论；根据“两直线平行，同位角相等”以及三角形外角和定理得出∠PAH+∠HAC=∠APB+∠PBA+∠ABD，等式左边即为∠PAC，等式右边即为∠APB+∠PBD，从而得证.
48．已知，则的整数部分为1；而减去其整数部分的差就是的小数部分，则的小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）填空：的整数部分是　 　，的小数部分是　 　．
（2）若，其中是m为整数，且0＜n＜1，求m﹣n的值．
【答案】（1）4；
（2）解：∵25＜34＜36，
∴，即，
∴，
∴，
∵m是整数，且0＜n＜1，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）∵16＜ 23 ＜25，
∴4＜ ＜5，
∴的整数部分是4；
∵16＜ 19 ＜25，
∴4 ＜ ＜5，
∴的整数部分是4，
∴的小数部分是- 4；
故答案为：4，- 4；
【分析】（1） 根据无理数的估算及题干给出的阅读材料可求得结论；
（2）根据无理数的估算，求得m+n＜4，然后根据m是整数，且0＜n＜1求得m和n，进行得到m﹣n的值．
49．一题多设问：如图①，在 中， AC，AB=DB，E是DB上一点，BE=BC，连接AE 并延长交CD于点 F.
图①
（1）求证：
（2）如图②，若 AF 为 的角平分线.
图②
求证： 为等腰三角形；
（3）如图③，连接FB，求证：
图③
（4）如图④，已知M为线段AE 上一点，N为线段CD上一点.
①若M，N分别是 AE，CD 的中点，试探究MB，NB 之间的数量关系，并说明理由；
②若M，N分别是AE，CD 上任意一点，MB⊥NB，①中的结论是否成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由
【答案】（1）证明：∵DB⊥AC，
∴∠ABE=∠DBC=90°，
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC(SAS)；
（2）证明：由(1)知，△ABE≌△DBC，
∴∠AEB=∠C，
∵∠AEB=∠DEF，
∴∠C=∠DEF，
∵∠BDC+∠C=90°，
∴∠BDC+∠DEF=90°，
∴∠DFA=∠CFA=90°.
∵AF 为△ACD的角平分线，
∴∠DAF=∠CAF，
在△AFD 和△AFC中，
∴△AFD≌△AFC(ASA)，
∴AD=AC，
即△ACD 为等腰三角形
（3）证明：如图，过点 B 分别作 BG⊥AF 于点 G，BH⊥CD于点 H.
由(1)知△ABE≌△DBC，
∴BG=BH，
在 Rt△BGF 和 Rt△BHF中，
∴Rt△BGF≌Rt△BHF(HL)，
∴∠BFG=∠BFH，即∠BFC=∠AFB；
（4）解：①MB=NB.理由如下：
由(1)知，△ABE≌△DBC，
∴AE=DC，∠MAB=∠NDB，AB=DB，
∵M，N分别为AE，CD的中点，
∴AM=DN，
在△AMB和△DNB中，
∴△AMB≌△DNB(SAS)，
∴MB=NB；
②成立.证明如下：
由(1)知，△ABE≌△DBC，
∴∠MAB=∠NDB，AB=DB，
∵MB⊥NB，
∴∠MBD+∠DBN=90°，
又∵BD⊥AC，
∴∠ABM+∠MBD=90°，
∴∠ABM=∠DBN，
在△AMB和△DNB中，
∴△AMB≌△DNB(ASA)，
∴MB=NB.
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠AEB=∠C，则∠C=∠DEF，再根据角平分线定义可得∠DAF=∠CAF，再根据全等三角形判定定理可得△AFD≌△AFC(ASA)，则AD=AC，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（3）过点 B 分别作 BG⊥AF 于点 G，BH⊥CD于点 H，根据三角形面积可得，再根据全等三角形性质可得再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（4）①根据全等三角形性质可得AE=DC，∠MAB=∠NDB，AB=DB，再根据线段中点可得AM=DN，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据全等三角形性质可得∠MAB=∠NDB，AB=DB，根据角之间的关系可得∠ABM=∠DBN，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
50．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点D在线段上，如果，则____________度；
（2）设，．
①找出图2中的一对全等三角形：______________，并写出其全等的依据：____________________；
②如图2，当点D在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由．
③当点D在直线上移动时，请直接写出，之间的数量关系
【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：90；
（2）①，；
②，理由如下：
，，，
．
即．
在与中，
，
，
．
．
，
，
，
，
故答案为：．
③
（Ⅰ）当点在线段的延长线上时，．理由如下：
如图，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
，
，
，
．
（Ⅱ）当点在线段上时，
②已证明：；
(Ⅲ)当点在线段的延长线上移动时，．理由如下：
如图，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
综上可知：或．
故答案为：或．
【解析】【分析】（1）首先证明，可得出，再根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=45°，进一步得出∠BCE=90°；
（2）①，根据SAS即可证得；
②，首先根据SAS可证得，可得，即可得出，然后根据三角形内角和即可得出；
③分三种情况，可分别结合图形证明。在转化成角度相等，可分别得出：点在线段的延长线上，；在线段上时，；在线段的延长线上时，；
（1）解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：90；
（2）①，
理由如下：
，，，
，
，
在和中，
，
，
故答案为：，；
②，理由如下：
，，，
．
即．
在与中，
，
，
．
．
，
，
，
，
故答案为：．
③
（Ⅰ）当点在线段的延长线上时，．理由如下：
如图，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
，
，
，
．
（Ⅱ）当点在线段上时，
②已证明：；
(Ⅲ)当点在线段的延长线上移动时，．理由如下：
如图，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
综上可知：或．
故答案为：或．
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