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【填空题强化训练·50道必刷题】浙教版数学八年级上册期中试卷
1．不等式（ ）x≥1的解集是　 　．
2．在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个等腰直角三角形，以实数 1 对应的点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴于点 A，则点 A 所表示的实数是　 　.
3．若 ， ， ，则 　 　.
4．给出下列语句：①延长线段AB到点C；②垂线段最短；③过点A画直线EF；④在△ABC中，若AB＞AC，则∠B＞∠C.其中是命题的有（只填序号）　 　.
5．如图，等边中，点为线段上一动点，为边作等边（、、顺时针排列）．将沿对称得到，若，，则　 　（用含，的式子表示）．
6．如图正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝　 　°.
7．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是　 　．
8．已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是　 　．
9．如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，BC=1，AC=6，四边形ABCD的面积为　 　
10．如图，在 中， 是 的平分线， 于点E，已知 ，则 的值为　 　．
11．不等式组的整数解是　 　．
12． 不等式的正整数解有　 　个．
13．如图，在和中，点、、、在同一直线上，，，请添加一个条件，利用使，这个添加的条件可以是　 　．
14．“x的3倍与5的差不小于﹣4”，用不等式表示为　 　.
15．等腰中，，平分，若，则　 　．
16．当k=　 　时，不等式（k+2）x|k|-1+5＜0是一元一次不等式.
17．如图，在 中，，， 的垂直平分线交 于点 ， 的垂直平分线交 于点 ，则 　 　 度.
18．如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是2，4，1，2，最大正方形E的面积是　 　．
19．等腰三角形一个内角的度数是，则底角的度数是　 　度．
20．如图，在△ABC中，AC=8，BC=15，AB=17，AD平分∠CAB，则△ABD的面积为　 　。
21．小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　 　°．
22．若、、是三角形的三边，化简：　 　．
23．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为　 　．
24．一个等腰三角形的一个外角等于130°，则这个等腰三角形的顶角度数是　 　度．
25．当　 　时，的解是非正数．
26．不等式的解集为　 　．
27．如图，点P在Rt△ABC的边BC上，从点P出发的光线PD经过边AC，AB两次反射后恰好回到点P，已知∠A＝30°，∠B＝90°，若∠CPD＝4∠BPE＝n°，则n＝　 　.
28．在四边形中，，，，E是上一点，连接，，，，则的长为　 　
29．如图，根据图上标注的信息，求出a的大小是　 　。
30．已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，则的长为　 　.
31．如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE＝，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是　 　．
32．如图，，点E在上，．若，则的度数是　 　
33．已知锐角，如图，按下列步骤作图：
在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．
以为圆心，长为半径画，交于点，连接则的度数为　 　．
34．如图，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为　 　.
35．将一副三角板如图放置，使点落在上，若，则的度数为　 　．
36．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是　 　．
37．如图，在Rt△ABC中，DE是斜边AB的垂直平分线，连接BD，若∠CBD=26°，则∠A=　 　度．
38．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=　 　.
39．把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为　 　 ．
40． 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠A+∠P=　 　.
41． 不等式 的解集为　 　.
42．如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为　 　．
43．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为　 　；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则△DEF的周长最小值为　 　.
44．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（Ⅰ）线段AB的长等于　 　；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
45．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，E，F分别为边AC，BC上的点，且AE=AD，BF=BD．若DE=2 ，DF=4，则AB的长为　 　．
46．如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆.若与线段有两个交点，则满足的条件是　 　.
47．如图：在△ABC中，AB=3cm，AC=4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　．
48．如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论：
①；
②；
③射线是的角平分线；
④．
所有正确结论的序号是　 　．
49．在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是　 　．
50．如图，△ABC中，AB＝AC， 分别以A、B为圆心， 以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点， 若BC=4， △ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是　 　．
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【填空题强化训练·50道必刷题】浙教版数学八年级上册期中试卷
1．不等式（ ）x≥1的解集是　 　．
【答案】x≤﹣ ﹣2
【解析】【解答】解：（ ）x≥1，不等式两边同除以 得： ，即 ．
故答案为： ．
【分析】根据解一元一次不等式的方法求解即可，注意 ．
2．在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个等腰直角三角形，以实数 1 对应的点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴于点 A，则点 A 所表示的实数是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：根据勾股定理得，等腰直角三角形的斜边长为：．
∴半圆以实数 1 对应的点为圆心， 以为半径，
∴点A表示的实数是．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理计算出等腰直角三角形的斜边长，以斜边长为半径画弧，根据数轴上点的特征即可计算出结果．
3．若 ， ， ，则 　 　.
【答案】70°
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ .
故答案为： .
【分析】由全等三角形性质得到 ， ， ，接着通过三角形内角和即可得到答案.
4．给出下列语句：①延长线段AB到点C；②垂线段最短；③过点A画直线EF；④在△ABC中，若AB＞AC，则∠B＞∠C.其中是命题的有（只填序号）　 　.
【答案】②④
【解析】【解答】解：①延长线段AB到点C，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
②垂线段最短，是命题，符合题意；
③过点A画直线EF，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
④在△ABC中，若AB＞AC，则∠B＞∠C，是命题，符合题意.
故答案为：②④.
【分析】可以判断真假的陈述句叫做命题，据此判断.
5．如图，等边中，点为线段上一动点，为边作等边（、、顺时针排列）．将沿对称得到，若，，则　 　（用含，的式子表示）．
【答案】
【解析】【解答】解：作出关于AC对称的如图，
∴
∵为等边三角形，
∴
∴
∵为等边三角形，
∴
∴
在和中，
∴
∴
∴
∴
∴
∴点B，C，E在同一条直线上，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：2a-b.
【分析】作出关于AC对称的根据对称的性质得到：然后根据等边三角形的性质得到：利用"SAS"证明，得到：根据角的运算证明点B，C，E在同一条直线上，此时，进而根据即可求解.
6．如图正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝　 　°.
【答案】90
【解析】【解答】解：在△DCE和△ABD中，
，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝90°.
故答案为：90.
【分析】设AB与CD交于点F，易证△DCE≌△ABD，得到∠CDE＝∠DAB，推出∠AFD＝90°，然后结合外角的性质进行解答.
7．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是　 　．
【答案】﹣4≤a＜﹣3
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
所以不等式组的解集为：，
因为不等式组只有4个整数解，为2，1，0，-1，
所以：，
所以：．
故答案为：．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再结合不等式组有且只有4个整数解可得，再求出a的取值范围即可。
8．已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是　 　．
【答案】m＜-6
【解析】【解答】解：，①+②得，，解得，x=2m-1，
把x=2m-1代入②得，，解得，y=4-5m，
将x=2m-1，y=4-5m代入不等式2x+y＞8得4m-2+4-5m＞8，∴m＜-6，
故答案为：m＜-6．
【分析】利用加减消元求出方程组的解，代入不等式求出m的取值范围即可．
9．如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，BC=1，AC=6，四边形ABCD的面积为　 　
【答案】21
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥AC，过点D作DE⊥AE于E，
则∠CAD+∠DAE=90°，∠AED=90°，
∵∠BAD=∠CAD+∠BAC=90°
∴∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
∴△BAC≌△DAE（ AAS），
∴AE=AC=6，DE=BC=1，S△ADE=S△ABC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△ADE=S梯形ACDE=×（1+6）×6=21，
故答案为：21．
【分析】过点A作AE⊥AC，过点D作DE⊥AE于E，通过AAS证明△BAC≌△DAE，得AE=AC=6，DE=BC=1，S△ADE=S△ABC，将四边形ABCD的面积转化成求梯形ACDE的面积，从而根据梯形面积公式求即可.
10．如图，在 中， 是 的平分线， 于点E，已知 ，则 的值为　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，
∴CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC，
又∵AC=BC=6，
∴BD+DE=6，
故答案为：6．
【分析】由角平分线的性质可得CD=DE，从而得出BD+DE=BD+CD=BC=6.
11．不等式组的整数解是　 　．
【答案】-1，0，1
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解是：，0，1，
故答案为：-1，0，1．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
12． 不等式的正整数解有　 　个．
【答案】2
【解析】【解答】解：1-x>2x-8
-3x>-9，
∴x<3，
∴1-x>2x-8的正整数解为1，2共2个，
故答案为：2.
【分析】首先利用不等式的基本性质求出不等式的解集，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可.
13．如图，在和中，点、、、在同一直线上，，，请添加一个条件，利用使，这个添加的条件可以是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：AC＝DF，
理由是：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+CF，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AC＝DF．
【分析】根据利用“SAS”证明△ABC≌△DEF的判定方法即可得到答案。
14．“x的3倍与5的差不小于﹣4”，用不等式表示为　 　.
【答案】3x﹣5≥﹣4
【解析】【解答】解：“x的3倍与5的差不小于﹣4”，用不等式表示为3x﹣5≥﹣4.
故答案为：3x﹣5≥﹣4.
【分析】x的3倍可表示为3x，与5的差可表示为3x-5，不小于可以用“≥”表示，据此可得不等式.
15．等腰中，，平分，若，则　 　．
【答案】100°
【解析】【解答】解：如图所示，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，
∴∠C＝2∠1，
∵∠2+∠C＝180°-∠BDC，且∠BDC＝120°，
∴3∠1＝60°，即∠1＝∠2＝20°，
又∵∠BDC＝∠A+∠1，
∴∠A＝∠BDC-∠1＝120°-20°＝100°．
故答案为：100°．
【分析】由AB＝AC，根据等边对等角，可得∠ABC＝∠C，又由BD平分∠ABC，∠BDC＝120°，可求得∠1的度数，然后根据三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．
16．当k=　 　时，不等式（k+2）x|k|-1+5＜0是一元一次不等式.
【答案】2
【解析】【解答】∵（k+2）x|k|-1+5＜0是一元一次不等式，
∴，
解得k=2.
故答案为：2.
【分析】利用一元一次不等式的定义列出不等式组求解即可。
17．如图，在 中，，， 的垂直平分线交 于点 ， 的垂直平分线交 于点 ，则 　 　 度.
【答案】10
【解析】【解答】解：∵ 的垂直平分线交 于点， 的垂直平分线交 于点
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
又∵∠B=40°，∠C=45°，
∴∠B+∠C=85°，∠BAC=95°，
∴∠BAD+∠CAE=85°，
∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=95°-85°=10°，
故答案为：10°.
【分析】利用垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，再利用等边对等角的性质及等量代换可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再用角的运算求出∠BAD+∠CAE=85°，最后利用角的运算求出∠DAE的度数即可.
18．如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是2，4，1，2，最大正方形E的面积是　 　．
【答案】25
【解析】【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2=22+42=20；y2=12+22=5；
∴z2=x2+y2=25；
即最大正方形E的面积为：z2=25．
故答案为：25．
【分析】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，根据勾股定理可得x2=22+42=20；y2=12+22=5；即可得到z2=x2+y2=25。
19．等腰三角形一个内角的度数是，则底角的度数是　 　度．
【答案】或
【解析】【解答】解：当为顶角时，由等腰三角形的性质可得：底角为；
当为底角时，则底角的度数为，顶角的度数为，
则其底角的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
由于是等腰三角形，因此分两种情况，即为顶角或底角时分别求解即可．
20．如图，在△ABC中，AC=8，BC=15，AB=17，AD平分∠CAB，则△ABD的面积为　 　。
【答案】40.8
【解析】【解答】解：如图，作DPAB于P，
因为AC＝8，BC＝15，AB＝17，所以 AC2 + BC2 = AB2，所以ACB＝90°，即DCAC，因为AD平分CAB，DCAC ，DPAB，所以DC=DP，设DC=DP=x，因为S△ABC=S△ACD+S△ABD，所以·AC·BC＝·AC·DC+ ·AB·DP ，即AC·BC＝AC·DC+AB·DP ，所以15×8＝8 x+17x，所以x=4.8，所以S△ABD= ·AB·DP=×17 ×4.8=40.8
故答案为：40.8.
【分析】首先，利用勾股定理 AC2 + BC2 = AB2 判断三角形 △ABC 是否为直角三角形。由于等式成立，确实满足勾股定理的条件，从而推出 ∠ACB 是直角。接着利用角的平分线得性质，求出面积.
21．小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　 　°．
【答案】67.5
【解析】【解答】解：设∠ECF＝x，
∵EC＝EF，
∴∠EFC＝∠ECF＝x，
∴∠GEF＝2x，
∵EF＝GF，
∴∠FGE＝∠GEF＝2x，
∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x，
∵DG＝GF，
∴∠GDF＝∠DFG＝3x，
∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，
∵DG＝DA，
∴∠A＝4x，
∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝5x，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝6x，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝，
∴∠B＝＝67.5°．
故答案为：67.5．
【分析】设∠ECF＝x，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可得出∠A＝4x，∠BDC＝∠BCD＝5x，进而得出∠B＝∠ACD＝6x，再根据三角形内角和定理可得出4x+6x+6x＝180°，解得：x＝，进一步得出∠B=＝67.5°．
22．若、、是三角形的三边，化简：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵、、是三角形的三边，
∴a+b＞c，b-a＜c，c+b＞a，
∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，c+b-a＞0，
∴，
故答案为：a+b+c.
【分析】根据三角形的三边关系求出a+b＞c，b-a＜c，c+b＞a，再化简求解即可。
23．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出，再结合，最后求出即可．
24．一个等腰三角形的一个外角等于130°，则这个等腰三角形的顶角度数是　 　度．
【答案】50或80
【解析】【解答】解：当三角形底角的外角是130°时，则底角为：180°-130°=50°，
∴顶角度数是180°-50°-50°=80°，
当顶角的外角是130°时，则顶角为：180°-130°=50°，
综上所述，顶角为50°或80°．
故答案为：50或80．
【分析】分两种情况：当三角形底角的外角是130°时和当顶角的外角是130°时，据此分别解答即可.
25．当　 　时，的解是非正数．
【答案】
【解析】【解答】解：
关于的方程的解是非正数
故答案为：
【分析】先解方程，用含k的式子表示方程的解，根据方程的解是非正数可得不等式，解之即可。
26．不等式的解集为　 　．
【答案】
【解析】【解答】
去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
合并，得：
化系数为1：
故答案为：
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集即可。
27．如图，点P在Rt△ABC的边BC上，从点P出发的光线PD经过边AC，AB两次反射后恰好回到点P，已知∠A＝30°，∠B＝90°，若∠CPD＝4∠BPE＝n°，则n＝　 　.
【答案】48
【解析】【解答】解：由入射角等于反射角可知：∠ADE＝∠CDP，∠AED＝∠PEB，
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠C＝60°，
设∠BPE＝x，则∠CPD＝4∠BPE＝4x，
∴∠ADE＝∠CDP＝180°﹣∠C﹣∠CPD＝180°﹣60°﹣4x＝120°﹣4x，
∠AED＝∠PEB＝180°﹣∠B﹣∠BEP＝180°﹣90°﹣x＝90°﹣x，
∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴30°+120°﹣4x+90°﹣x＝180°，
解得x＝12，
∴4x＝48，
∴∠CPD＝4∠BPE＝48°，则n＝48.
故答案为：48.
【分析】由入射角等于反射角可知：∠ADE＝∠CDP，∠AED＝∠PEB，由内角和定理可得∠C＝60°，设∠BPE＝x，则∠CPD＝4x，∠ADE＝∠CDP＝180°-∠C-∠CPD＝120°-4x，∠AED＝∠PEB＝90°-x，在△ADE中，由内角和定理可得x，据此不难求出∠CPD的度数，即n的值.
28．在四边形中，，，，E是上一点，连接，，，，则的长为　 　
【答案】5
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，延长DF到G，使得FG=BE，
∵∠ABC=90°，AB∥CD，AF⊥CD，
∴∠ABC=∠C=∠AFC=90°，
又∵AB=BC=CF=6，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AB=AF=6，∠BAF=90°
又∵BE=GF，∠B=∠AFG=90°，
∴△ABE≌△AFG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠GAF，
∵∠EAD=45°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠DAG=∠DAF+∠FAG=45°，
∴∠DAG=∠EAD，
又∵AD=AD，
∴△EAD≌△GAD（SAS），
∴DE=ED，
∵EC=4，
∴GF=BE=BC-CE=2，
∴CG=CD+DG=CD+DE=CF+CG=8，
设CD=x，则DE=8-x，
∵，
∴，
解得，
∴CD=3，
∴DE=5，
故答案为：5．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
29．如图，根据图上标注的信息，求出a的大小是　 　。
【答案】120°
【解析】【解答】解：根据三角形的外角的性质可得，a-15°=45°+180°-a
2a=240°
a=120°。
【分析】根据三角形的外角的性质，求出a的大小即可。
30．已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，则的长为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：，，
，
为直角三角形，，
设，
是等腰三角形，
，
，
解得，，
故答案为：.
【分析】由勾股定理逆定理知△BDC为直角三角形，且∠BDC=90°，设AD=x，由等腰三角形的性质可得AC=AB=3+x，然后在Rt△ACD中，根据勾股定理进行计算.
31．如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE＝，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是　 　．
【答案】MP≥1
【解析】【解答】解：∵点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE＝，
∴，
∵点M是∠AOB平分线上一点，
到的距离相等，
根据垂线段最短，即时，最小值为1，
则MP≥1
故答案为：MP≥1
【分析】先求出，，再求出到的距离相等，最后求解即可。
32．如图，，点E在上，．若，则的度数是　 　
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
33．已知锐角，如图，按下列步骤作图：
在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．
以为圆心，长为半径画，交于点，连接则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由作法得OD=OC，DO=DE，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=，
∵DO=DE，
∴∠DEO=∠DOE=40°，
∵∠OCD=∠CDE+∠DEC，
∠CDE=30°
故答案为：30°.
【分析】首先利用等腰三角形的两个底角相等，和三角形内角和定理即可得出答案.
34．如图，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示，
在Rt△ABC中，AC=
∵在△ACD中， +12=52，
即AD2+CD2=AC2，
∴△ACD为直角三角形，
∴
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证出△ACD为直角三角形，最后根据四边形ABCD的面积=S△ADC+S△ABC求出即可.
35．将一副三角板如图放置，使点落在上，若，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意及图可知，ABC为等腰直角三角形，∠CBA=∠ACB=45°，
CDE为直角三角形，∠DEC=30°，∠EDC=60°，
，∠CBA=45°，
∠EAB=∠CBA=45°.
又∠AFC为EFA的外角，
∠AFC=∠AEF+∠EAF.
∠AFE=30°，∠EAF=45°，
∠AFC=∠AEF+∠EAF
∠AFC=30°+45°=75°.
故答案为：75°.
【分析】本题考查了三角板的摆放问题，先分析各个三角板的角度，再利用内错角相等，求解出∠EAB=∠CBA=45°，最后利用三角形的外角和相邻内角互补，解题。
36．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是　 　．
【答案】75°
【解析】【解答】解：如图，
∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°的三角尺的一条直角边重合，
∴AB∥CD，
∴∠3=∠4=45°，
∴∠2=∠3=45°，
∵∠B=30°，
∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，
故答案为75°.
【分析】根据含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，得出平行线，再利用平行线的性质和对顶角相等得出∠2=45°，再利用三角形的外角性质求解即可。
37．如图，在Rt△ABC中，DE是斜边AB的垂直平分线，连接BD，若∠CBD=26°，则∠A=　 　度．
【答案】32
【解析】【解答】解：∵∠C=90°， ∠CBD=26°，
∴∠CDB=180°-∠C-∠CBD=64°，
∵DE是斜边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=32°，
故答案为：32.
【分析】利用三角形的内角和求出∠CDB=180°-∠C-∠CBD=64°，再根据线段的垂直平分线求出AD=BD，最后计算求解即可。
38．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=　 　.
【答案】70°
【解析】【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF；
又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°，
∴ ∠EAC+ ∠ECA= (∠B+∠2)+ (∠B+∠1)= (∠B+∠B+∠1+∠2)=110°，
∴∠AEC=180°﹣（ ∠EAC+ ∠ECA）=70°.
故答案为：70°.
【分析】由角平分线的概念可得∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，由内角和定理可得∠B+∠1+∠2=180°，由外角的性质可得∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1，两式相加可得∠EAC+∠ECA=110°，然后利用内角和定理进行求解.
39．把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为　 　 ．
【答案】如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
【解析】【解答】解：由题意可得：
把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
【分析】根据命题的概念即可求出答案。
40． 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠A+∠P=　 　.
【答案】90°
【解析】【解答】解： BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°
ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°
ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°
A=ACM-ABC=100°-40°=60°
P=PCM-CBP=50°-20°=30°
A+P=30°+60°=90°
故答案为：90°
【分析】根据角平分线的定义可得ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°，根据三角形外角的性质可得A=ACM-ABC=100°-40°=60°，P=PCM-CBP=50°-20°=30°，则A+P=30°+60°=90°。
41． 不等式 的解集为　 　.
【答案】x＜-2
【解析】【解答】解：7x+5<5x+1.
7x-5x<1-5
2x<-4.
x<-2.
故答案为：x<-2.
【分析】按照移项，合并，系数化1，即可得到结论.
42．如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由作图可知是的垂直平分线，
，CE=BE，
，
∴∠ADC=∠DCB+∠B=50°.
，CE=BE，
∴，
∴∠EAB=∠B=25°，
∴∠APC=∠EAB+∠ADC=25°+50°=75°.
故答案为：．
【分析】由作图可知，可得，继而可利用外角性质得∠ADC的度数；再根据直角三角形斜边上中线的性质可得AE=CE=BE，可得∠EAB=∠B=25°，再利用外角的性质即可得到答案．
43．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为　 　；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则△DEF的周长最小值为　 　.
【答案】6+2 ；
【解析】【解答】解：①如图，过点A作AH⊥BC于H.
∴∠AHB=∠AHC=90°，
∵∠BAC＝75°，∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°，∠HAC=30°
∴BH=AH，
∴
∴AH＝BH＝2 ，
∴BC＝BH+CH＝2 +2，
∴S△ABC＝ BC AH＝ （2 +2） ＝6+2 .
②如图，过点B作BJ⊥AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时△FE′D′的周长＝MN的长.
∵BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN，
∴∠MBN＝2∠ABC＝90°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴BM的值最小时，MN的值最小，
根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，
∵ ，
∴MN的最小值为 BJ＝ ，
∴△DEF的周长的最小值为 .
故答案为：6+2 ， .
【分析】过点A作AH⊥BC于H，由内角和定理可得∠B＝45°，∠HAC=30°，则BH=AH，HC=AC=2，由勾股定理求出AH，进而求出BC，然后利用三角形的面积公式可得S△ABC；过点B作BJ⊥AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时△FE′D′的周长＝MN的长，易得△BMN是等腰直角三角形，根据垂线段最短可知：当BF与BJ重合时，BM的值最小，根据等面积法可求出BJ，进而求出MN，据此解答.
44．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（Ⅰ）线段AB的长等于　 　；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
【答案】；取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB
【解析】【解答】解：（Ⅰ）AB＝ ＝ ，
故答案为： ；
（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，
故答案为：取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．
【分析】（1）根据勾股定理得AB＝ ＝ ，即可求解；
（2）取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，即可求解.
45．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，E，F分别为边AC，BC上的点，且AE=AD，BF=BD．若DE=2 ，DF=4，则AB的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】如图，延长FD到M使得DM=DF，连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N．
∵AE=AD，BF=BD，∴∠AED=∠ADE，∠BDF=∠BFD，∴2∠ADE+∠BAC=180°，2∠BDF+∠B=180°，∴2∠ADE+2∠BDF=270°，∴∠ADE+∠BDF=135°，∴∠EDF=180°﹣（∠ADE+∠BDF）=45°，∵∠END=90°，DE=2 ，∴∠EDN=∠DEN=45°，∴EN=DN=2，在△DAM和△DBF中，DA=DB，∠ADM=∠BDF，DM=DF，∴△ADM≌△BDF，∴BF=AM=BD=AD=AE，∠MAD=∠B，∴∠MAE=∠MAD+∠BAC=90°，∴EM= AM，在Rt△EMN中，∵EN=2，MN=DM+DN=6，∴EM= =2 ，∴AM=2 ，AB=2AM=4 ，故答案为4 ．
【分析】根据90°和等腰三角形角的变换得2∠ADE+2∠BDF=270°，所以∠ADE+∠BDF=135°，∠EDF=45°，因为DE=2 ，所以作EN⊥DF于N，算得EN=DN=2；已知条件下想到倍长中线造全等三角形的方法，故延长FD到M使得DM=DF，连接AM即依据“SAS”可得△ADM≌△BDF，一方面可利用∠MAD=∠B得∠MAE=90°得等腰直角三角形EAM和直角三角形ENM，另一方面也将AD的长换为等腰直角三角形EAM的直角边长。
46．如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆.若与线段有两个交点，则满足的条件是　 　.
【答案】 且
【解析】【解答】解：如图1，当时，
点是的中点，
，
此时与线段只有一个交点D；
如图2，当时，作，
，点是的中点，
，
，，
，
，
，
此时与线段有2个交点；
当时，作，
，，
，
，
，
此时与线段有2个交点，
综上所述， 且.
故答案为： 且.
【分析】当经过点C时，BD=BC，作，由等腰三角形的性质可得AE、CE的长度，再利用勾股定理求得；当经过点A时，BD=AB，作，由等腰三角形的性质可得AF、CF的长度，再利用勾股定理求得；当时，此时与线段只有一个交点D，利用垂直平分线的性质可得BC=AB=2，综上所述， 且.
47．如图：在△ABC中，AB=3cm，AC=4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　．
【答案】0.5cm＜AD＜3.5cm
【解析】【解答】延长AD到E，使AD=DE，连接CE，则可得△ABD≌△ECD，得到AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，即可得到结果．
延长AD到E，使AD=DE，连接CE，
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=CD，又AD=DE，∠ADB=∠CDE，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=CE，
在△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，即AC-AB＜AE＜AC+AB，
4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，
∴0.5cm＜AD＜3.5cm．
【分析】利用倍长中线法构造一组全等三角形可得CE=AB，从而得到一个以3cm、4cm和2AD为三边的三角形，再根据三角形的三边关系列不等式从而得到AD的范围。
48．如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论：
①；
②；
③射线是的角平分线；
④．
所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①③④
【解析】【解答】解：∵为的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，故①正确；
如图，过点M作于点F，于点G，于点H，
∵为的平分线，为的平分线，
∴．
又∵，
∴，
∴，即射线是的角平分线，故③正确；
假设，
∴．
∵为的平分线，是的角平分线，
∴，，
∴，即，
∴，即．
∵，
∴，
∴假设不成立，故②错误；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
，
∴④正确．
综上可知所有正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】由角平分线的定义可知．再根据三角形外角的性质得出，即可确定，故①正确；过点M作于点F，于点G，于点H，由角平分线的性质定理可得出．即易证，得出，即说明射线是的角平分线，故③正确；利用反证法，假设，易证，即得出．由，可知，即说明不成立，故②错误；由，即得出．再根据角平分线的定义即得出，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．
49．在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接 AF ，
∵四边形ABCD正方形 ，
∴ AD = CD
又∵AE = CF
∴ DE = DF
在△ ADF 和△ CDE 中，
∴△ ADF ≌△ CDE ( SAS )
∴ CE = AF
∴ BF + CE = BF + AF
∴BF + CE 的最小值就是 BF + AF 的最小值
如图，作B 点关于 CD 的对称点G ，连接AG 交 CD 于 F 点则 F 即可满足 BF + AF 最小，
∵ AB =1
∴BC =CG =1，BG =2
∴ BF + CE = BF + AF =AG
在△ABG中，AG==
故答案为：.
【分析】由题意可以证明△ ADF ≌△ CDE ( SAS )，根据全等三角形的性质得到 BF + CE 的最小值就是 BF + AF 的最小值，最后根据轴对称及最短路径问题即可求解．
50．如图，△ABC中，AB＝AC， 分别以A、B为圆心， 以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点， 若BC=4， △ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：连接AD，AM，如图，
∵AB＝AC， D为BC的中点，
∴，
∵△ABC的面积为10，
∴，
∴AD=5，
由作法得EF垂直平分AB，
∴NA=MB，
∵MB+MD=MA+MD，
而（当且仅当A、M、D共线，即M点为EF与AD的交点时取等号），
∴MA+MD的最小值是5，
即BM+MD的最小值是 5.
故答案为：5.
【分析】连接AD，AM，利用三线合一得，结合面积公式求出AD的长度，根据三角形三边的关系得出当A、M、D共线时MA+MD最小进行求解。
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