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【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版数学八年级上册期中试卷
1．如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。
2． 2023年杭州成功举办亚运会．吉祥物的周边产品深受群众欢迎．宸宸打算去官方旗舰店购买钥匙扣做纪念，钥匙扣一个36元，快递费6元，满268元包邮．
（1）设购买钥匙扣x个时，满足包邮条件．根据题意，列出不等式：　 　.
（2）买7个钥匙扣，能满足包邮吗？买8个呢？请说明理由．
3．如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数．
4．如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。你认为这样合理吗 为什么
5．下列句子中哪些是命题
①相等的角是对顶角.
②负数都小于0.
③过直线外一点作的平行线.
④如果那么
6．已知，如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若．
（1）求证：．
（2）若，求∠GBA．
7．解不等式组： ，并求出它的正整数解.
8．已知 是 的三边长，化简 .
9．如图，已知点、、、在同一直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2），，求的度数．
10．将一副直角三角尺 和 如图放置，其中 ， ， ，若 ，试判断 与 的位置关系，并说明理由.
11．如图，点 ， 在 上， ， ， ，试判断 与 有怎样的数量和位置关系，并说明理由.
12．求不等式组 的整数解．
13．如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上.
（1）若BE⊥AD，∠F=62°，求∠A的大小.
（2）若AD=9cm，BC=5cm，求AB的长.
14．如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，求∠EDF的度数.
15．如图，已知∠B=∠C=90°，AE⊥ED，AB=CE，点F是AD的中点．说明EF与AD垂直的理由．
解：因为AE⊥ED（已知），
所以∠AED=90°（垂直的意义）．
因为∠AEC=∠B+∠BAE（　 　），
即∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE．
又因为∠B=90°（已知），
所以∠BAE=∠CED（等式性质）．
在△ABE与△ECD中，
∠B=∠C（已知），AB=EC（已知），∠BAE=∠CED，
所以△ABE≌△ECD（　 　），
得（全等三角形的对应边相等），
所以△AED是等腰三角形．
因为（已知），
所以EF⊥AD（　 　）．
16．如图，正方形网格中有△ABC．若每个小方格边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC中BC边上的高．
17．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：
（1）如图1，在△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使连结BD，CE，则BD与CE的大小关系为　 　.
（2）如图2，在△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠CAD=90°，连结BD，CE，若AB=4，BC=2，∠ABC=45°，求BD的长.
18．解不等式组： ，并写出该不等式组的整数解．
19．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直半分线交于点，与相交于点，连接，，若的周长为，的周长为．
（1）求线段的长；
（2）连接，求线段的长；
（3）若，求的度数．
20．红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元．
（1）A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
21．有两种商品其单价总和超过100元，且甲商品的单价是乙商品单价的2倍少10元，设未知数，并用不等式表示出上述关系；
22．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知米，米，求两个排污口之间的水平距离．
23．如图，一架25m长的梯子（AC）斜靠在与地面（OA）垂直的墙（OC）上，梯子底端离墙7m.
（1）这架梯子的顶端距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
24．如图，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于D，求AD的长．
25．如图， 平分 ， .
（1） 与 相等吗？为什么？
（2）若 ， ，求 的度数.
26．以下是圆圆解不等式组
的解答过程．
解：由①，得，
所以．
由②，得，
所以，
所以．
所以原不等式组的解是．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
27． 如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF.
（1） 若，，求的周长；
（2） 若，，求的度数.
28．如图，点 在同一直线上， ，过点 分别作 ， ， ．若 与 交于点G，试证明 平分 ；
29．如图BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB.判断线段AP和AQ的大小、位置关系，并证明.
30．如图，是等边三角形，D是上一点，，，试判断的形状并说明理由．
31．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E，若，求的度数．
32．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，且EC∥AD．证明：△ACE是等腰三角形．
33．解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
34．八年级利用暑假组织学生外出旅游，有名家长代表随团出行，甲旅行社说：“如果名家长代表都买全票，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括名家长代表在内，全部按票价的折（即按全票的收费）优惠”，若全票价为元．请你通过计算说明：旅游人数在什么范围时选择甲旅行社费用较少？
35．如图，已知，，，请问是直角三角形吗？请说出你的理由.
36．如图，在中，，，，垂直平分，交、于D、E，连接，则的周长是多少？
37．有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行多少米？
38．已知一个等腰三角形的周长是18cm，其中一边长是4cm，求这个三角形的边长.
39．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，CD//AB交BD于点D，已知∠1＝32°，∠D＝29°，试说明BD平分∠ABC.
40．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，．求和的度数．
41．“六一”期间，各商场举行“六一欢乐购”的促销活动，其中甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场一次性购物超过100元，超过部分8折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过部分9折优惠，顾客到那家商场购物花费少？
42．（1）计算：．
（2）如图，已知．如果，，求的长．
43．如图，等边△ABC中，过顶点A在AB边的右侧作射线AP，∠BAP＝α（30°＜α＜120°）．点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，且BE交射线AP于点D，过C，E两点作直线交射线AP于点F．
（1）当α＝40°时，求∠AEC的度数；
（2）在α变化过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围；如果不变化，求∠AFE的大小；
（3）探究线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
44．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，边的垂直平分线交边于点，垂足分别为点，点，已知，求的度数．
45．已知．
（1）如图甲，已知为直线上一点，，且位于直线上方．
当平分时，度数为 ▲ ；
点在射线上，若射线绕点逆时针旋转，请判断和的数量关系并说明理由；
（2）如图乙，是一个小于的钝角，，从边与边重合开始绕点逆时针旋转旋转角度小于，当时，求：的值．
46．若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围；
（3）关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围．
47．定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”．
例：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”．
（1）已知①，②，③，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
（2）若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围；
（3）若（，是整数）是方程组与不等式组的一组“完美解”，求整数a的值．
48．为等边三角形，射线经过点A，，画点B关于射线的对称点D，连接、交直线于点E．
（1）如图，当时
①依题意补全图形；
②用等式表示线段、、的数量关系，并证明；
（2）若为等腰三角形，直接写出的度数．
49．已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，AC⊥BC于点C．
（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，延长CB交直线PQ于点D，则∠CAB和∠CDP之间的数量关系是____．
（1）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．为探究∠ABC与∠BDP之间的数量关系，小明过点B作BF∥MN．请根据他的思路，写出∠ABC与∠BDP的关系，并说明理由；
（2）如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠AEB＝2∠ABC时，直接写出∠ABC的度数．
（3）如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠BDP＝2∠BEN时，请补充图形并直接写出∠ABC的度数．
50．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做"对垂四边形".
（1）如图1，四边形ABCD为"对垂四边形".求证：.
（2）如图2，是四边形ABCD内一点，连接AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点.若.求证：四边形ABCD为“对垂四边形”
（3）如图，四边形ABCD为"对垂四边形"，，，求CD的长.
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【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版数学八年级上册期中试卷
1．如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。
【答案】解：如图所示：过点A作AF⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可以证明DF=EF，BF=CF，然后两式相减即可得到BD=CE.过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF（三线合一），
∵AD=AE，AF⊥BC，
∴DF=EF，（三线合一）
∴BF-DF=CF-EF，
即BD=CE.
【解析】【分析】 如图所示：过点A作AF⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可以证明DF=EF，BF=CF，然后两式相减即可得到BD=CE.
2． 2023年杭州成功举办亚运会．吉祥物的周边产品深受群众欢迎．宸宸打算去官方旗舰店购买钥匙扣做纪念，钥匙扣一个36元，快递费6元，满268元包邮．
（1）设购买钥匙扣x个时，满足包邮条件．根据题意，列出不等式：　 　.
（2）买7个钥匙扣，能满足包邮吗？买8个呢？请说明理由．
【答案】（1）36x>268
（2）解：当x=7时，36x=36×7=252，不能包邮．
当x=8时，36x=36×8=288，能包邮．
【解析】【解答】解：（1） 设购买钥匙扣x个时，满足包邮条件．根据题意，列出不等式：36x>268.
【分析】(1) 根据满268元包邮可得，购买钥匙扣的费用要超过268，可列出不等式即可解答．
(2)求出买7个钥匙扣的钱是252＜268，所以不包邮；求出8个钥匙扣的钱是288＞268，所以能包邮.
3．如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数．
【答案】解：连接．
，
．
，
．
．
，
．
，即．
．
【解析】【分析】连接，根据等边对等角可得，，根据三角形外角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
4．如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。你认为这样合理吗 为什么
【答案】解：合理。理由：在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD（已知），BC=DC（已知），AC=AC（公共边），
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC（全等三角形的对应角相等），
即∠QRE=∠PRE。
∴AE就是∠PRQ的平分线（角平分线的定义）。
【解析】【分析】先根据三角形全等的判定与性质证明△ABC≌△ADC(SSS)得到∠BAC=∠DAC，即∠QRE=∠PRE，再根据角平分线的定义即可求解。
5．下列句子中哪些是命题
①相等的角是对顶角.
②负数都小于0.
③过直线外一点作的平行线.
④如果那么
【答案】解：①相等的角是对顶角，是命题；
②负数都小于0，是命题；
③过直线l外一点作l的平行线，不是命题；
④如果a=b，a=c，那么b=c，是命题.
【解析】【分析】一般的在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，命题有明显的判断词是或不是，据此逐个判断得出答案.
6．已知，如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若．
（1）求证：．
（2）若，求∠GBA．
【答案】（1）证明：∵，（对顶角相等）
又∵，（已知）∴，（等量代换）
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴，（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）∴，（等量代换）
∴；（内错角相等，两直线平行）
（2）解：由（1）知，
∴，（两直线平行，同旁内角互补）
∵，∴，
∵，∴．（两直线平行，同位角相等）
【解析】【分析】（1）先证出可得，再利用等量代换可得，即可证出；
（2）先利用平行线的性质及角的运算求出，再结合，即可求出.
7．解不等式组： ，并求出它的正整数解.
【答案】解：∵2（x+2）>3x，
∴2x+4>3x，
∴x<4，
∵ ，
∴3x-1≥-4，
∴x≥-1，
∴不等式组的解集为： -1≤x＜4 ，
∴正整数解为： 1，2，3 .
【解析】【分析】根据不等式性质分别求出每个不等式的解集，则它们的公共解集就是不等式组的解集，最后在其解集中取正整数即可.
8．已知 是 的三边长，化简 .
【答案】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，
|a+b-c|-|b-a-c|
=a+b-c-c-a+b
=2b-2c.
故答案为：2b-2c.
【解析】【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，先判定绝对值里的式子的正负，再去绝对值进行计算即可.
9．如图，已知点、、、在同一直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2），，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，即．
在和中，
，
≌．
（2）解：≌，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质及全等三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形的性质及三角形外角性质即可求出答案.
10．将一副直角三角尺 和 如图放置，其中 ， ， ，若 ，试判断 与 的位置关系，并说明理由.
【答案】解：AE与BC平行.理由：
∵∠AFD是△AEF的外角， ， ，
∴∠EAF=∠AFD-∠AED=75°-45°=30°，
又∵∠BCA=30°，
∴∠EAF=∠BCA，
∴AE∥BC.
【解析】【分析】由三角形外角的性质可得：∠EAF=∠AFD-∠AED=30°，进而推出∠EAF=∠BCA，然后结合平行线的判定定理进行证明.
11．如图，点 ， 在 上， ， ， ，试判断 与 有怎样的数量和位置关系，并说明理由.
【答案】解： 与 平行且相等，理由：
因为， .
因为 ，所以 .
又因为 ，
所以 .
所以 ， .
所以 .
【解析】【分析】根据平行线的性质得到 ，由 得到 ，推出 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，由平行线的判定即可得到结论．
12．求不等式组 的整数解．
【答案】解：解不等式①得x≤ ，
解不等式②得x≥﹣ ，
∴不等式组的解集为：﹣ ≤x≤
∴不等式组的整数解是0，1，2
【解析】【分析】先求出不等式的解，然后根据大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小解不了，的口诀求出不等式组的解，进而求出整数解．
13．如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上.
（1）若BE⊥AD，∠F=62°，求∠A的大小.
（2）若AD=9cm，BC=5cm，求AB的长.
【答案】解：（1）∵BE⊥AD，
∴∠EBD=90°．
∵△ACF≌△DBE，
∴∠FCA=∠EBD=90°．
∴∠F+∠A=90°
∵∠F =62°，
∴∠A=28°．
（2）∵△ACF≌△DBE，
∴CA=BD．
∴CA-CB=BD-CB．
即AB=CD．
∵AD=9 cm， BC=5 cm，
∴AB+CD=9-5=4 cm．
∴AB=CD=2 cm．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠FCA=∠EBD=90°，根据直角三角形的性质计算即可解答；
（2）根据全等三角形的性质得到CA=BD，结合图形得到AB=CD，再利用线段得和差运算计算即可解答．
14．如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，求∠EDF的度数.
【答案】∵FD⊥BC，所以∠FDC＝90°，
∵∠AFD＝∠C+∠FDC，
∴∠C＝∠AFD﹣∠FDC＝158°﹣90°＝68°，
∴∠B＝∠C＝68°.
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣∠B＝22°.
又∵∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，
∴∠EDF＝180°﹣∠BDE﹣∠FDC＝180°﹣22°﹣90°＝68°.
【解析】【分析】由垂直的概念可得∠FDC＝90°，由外角的性质可得∠AFD＝∠C+∠FDC，据此可得∠C的度数，由∠B=∠C可得∠B的度数，由余角的概念求出∠BDE的度数，由平角的概念可得∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，据此计算.
15．如图，已知∠B=∠C=90°，AE⊥ED，AB=CE，点F是AD的中点．说明EF与AD垂直的理由．
解：因为AE⊥ED（已知），
所以∠AED=90°（垂直的意义）．
因为∠AEC=∠B+∠BAE（　 　），
即∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE．
又因为∠B=90°（已知），
所以∠BAE=∠CED（等式性质）．
在△ABE与△ECD中，
∠B=∠C（已知），AB=EC（已知），∠BAE=∠CED，
所以△ABE≌△ECD（　 　），
得（全等三角形的对应边相等），
所以△AED是等腰三角形．
因为（已知），
所以EF⊥AD（　 　）．
【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；ASA；等腰三角形的三线合一
【解析】【解答】因为AE⊥ED（已知），
所以∠AED=90°（垂直的意义），
因为∠AEC=∠B+∠BAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
即∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，
又因为∠B=90°（已知），
所以∠BAE=∠CED（等式性质）．
在△ABE与△ECD中，
∠B=∠C（已知），AB=EC（已知），∠BAE=∠CED，
所以△ABE≌△ECD（ASA）．
得AE=ED（全等三角形对应边相等）．
所以△AED是等腰三角形．
因为点F是AD的中点（已知），
所以EF⊥AD（等腰三角形的三线合一）．
【分析】证出∠BAE=∠CED，证明△ABE≌△ECD，得出AE=DE，可知△AED是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论.
16．如图，正方形网格中有△ABC．若每个小方格边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC中BC边上的高．
【答案】解：（1）∵由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AB＝，AC＝，BC＝5，
设△ABC的边BC上的高为h，
根据题意可得：AB×AC＝BC×h，
∴，
解得：h＝2，
∴△ABC中BC边上的高是2．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB2、AC2和BC2，再利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形即可；
（2）设△ABC的边BC上的高为h，利用三角形的面积公式可得AB×AC＝BC×h，再求出h的值即可.
17．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：
（1）如图1，在△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使连结BD，CE，则BD与CE的大小关系为　 　.
（2）如图2，在△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠CAD=90°，连结BD，CE，若AB=4，BC=2，∠ABC=45°，求BD的长.
【答案】（1）BD=CE
（2）解：∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，
∴AE=AB，AC=AD，
∵∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=CE，
∵AE=AB=4，
∴，
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC=45°+45°=90°，
∴△EBC是直角三角形，
∴，
∴BD=6.
【解析】【解答】解：（1）∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
故∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=CE；
故答案为：BD=CE.
【分析】（1）先根据题意求出∠EAC=∠BAD；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）根据等腰三角形两底角所对的边相等可得AE=AB，AC=AD；根据题意求出∠EAC=∠BAD；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得BD=CE，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求出EB和CE的值，即可求解.
18．解不等式组： ，并写出该不等式组的整数解．
【答案】解： ，由①得，x≥﹣2；
由②得，x＜1，
故此不等式的解集为：﹣2≤x＜1，其整数解为：﹣2，﹣1，0．
【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出x的整数解即可．
19．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直半分线交于点，与相交于点，连接，，若的周长为，的周长为．
（1）求线段的长；
（2）连接，求线段的长；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）解：是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，
的周长为，即
；
（2）解：连接，如图所示：
是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，，
；
（3）解：，
，
，，
，，
．
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质及线段的和差和等量代换可得，再结合，可得BC=6cm；
（2）连接OA，先利用垂直平分线的性质可得OA=OB=OC，再结合，，求出即可；
（3）先利用角的运算求出，再结合，，求出即可．
（1）解：是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，
的周长为，即
；
（2）解：连接，如图所示：
是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，，
；
（3）解：，
，
，，
，，
．
20．红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元．
（1）A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）解：设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，根据题意得：
，解得：．
∴A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元．
（2）解：设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，
∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴，解得：，
∵x为整数，
∴当，19或20
∴当时，此时，费用为（元）：
当时，此时，费用为（元）；
当时，此时，费用为（元）：
∵
∴购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元．
【解析】【分析】
（1）设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，根据等量关系“ 购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元 ”建立方程组并求解即可；
（2）设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，根据不等关系“ A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍 ”建立不等式组并求出其整数解，再根据（1）的结果逐个计算总费用并比较即可．
（1）解：设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，
根据题意得：，解得：．
∴A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元．
（2）解：设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，
∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴，解得：，
∵x为整数，
∴当，19或20
∴当时，此时，费用为（元）：
当时，此时，费用为（元）；
当时，此时，费用为（元）：
∵
∴购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元．
21．有两种商品其单价总和超过100元，且甲商品的单价是乙商品单价的2倍少10元，设未知数，并用不等式表示出上述关系；
【答案】解：设乙商品的价格为x元，则甲商品的价格为（2x-10）元，
由题意得，x+2x-10＞100.
即不等式为：x+2x-10＞100.
【解析】【分析】设乙商品的价格为x元，则甲商品的价格为（2x-10）元，然后根据单价总和超过100元就可列出不等式.
22．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知米，米，求两个排污口之间的水平距离．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理，全等三角形判断定理及性质即可求出答案 .
23．如图，一架25m长的梯子（AC）斜靠在与地面（OA）垂直的墙（OC）上，梯子底端离墙7m.
（1）这架梯子的顶端距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
【答案】（1）解：在Rt△AOC中，AC=25m，AO=7m，
所以CO==24（m）.
答：这架梯子的顶端距离地面有24m高。
（2）解：因为OD=CO-CD=24-4=20（m），
在Rt△BOD中，BD=AC=25m，
所以BO==15（m）
所以AB=BO-AO=8（m）.
答：梯子的底端在水平方向滑动了8m。
【解析】【分析】(1) 在Rt△AOC中， 由题意易得AC=25m，OA=7m，接着根据勾股定理进行求解即可；
(2)由 OD=CO-CD得OD=20m，在Rt△BOD中， 根据勾股定理可进行求解.
24．如图，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于D，求AD的长．
【答案】解：设CD=x，则BD=9+x．
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即102=AD2+x2①；
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，即172=AD2+（9+x）2②．
②-①，得：189=81+18x，
解得：x=6，
将x=6代入①，得：100=AD2+36，
解得：AD=8或AD=-8（舍去）．
∴AD的长为8．
【解析】【分析】设CD=x，则BD=9+x，利用勾股定理可得出102=AD2+x2①、172=AD2+（9+x）2②，利用②-①可求出x的值，将x的值代入①中即可求出AD的长度．
25．如图， 平分 ， .
（1） 与 相等吗？为什么？
（2）若 ， ，求 的度数.
【答案】（1）解：相等，理由如下：
∵ 平分 ，
.
∵ ，
∴
（2）解：∵ ，则设 ，
由（1）知 ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ .
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明 与 相等；（2）设 ，根据（1）中的结论及三角形内角和定理建立方程求解即可.
26．以下是圆圆解不等式组
的解答过程．
解：由①，得，
所以．
由②，得，
所以，
所以．
所以原不等式组的解是．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
由①，得，
所以，
所以；
由②，得，
所以，
所以，
所以，
将不等式组的解集表示在数轴上：
所以原不等式组的解是．
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
27． 如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF.
（1） 若，，求的周长；
（2） 若，，求的度数.
【答案】（1）解：∵CE⊥BA，BF⊥CA，
∴∠BFC=∠BEC=90°，
∵M为BC的中点，BC=8，
∴，.
又∵EF=3，
∴△EFM的周长=EF+FM+EM-3+4+4=11.
故△EFM的周长为11.
（2）解：∵∠BEC=90°，M为BC的中点
∴，
∴∠ABC=∠BEM=28°
∴∠EMC=∠ABC+∠BEM=56°
∵∠BFC=90°，M为BC的中点，
∴，
∴∠CFM=∠ACB=48°
∴∠BMF=∠CFM+∠ACB=96°，
∴∠EMF=180°-∠EMC-∠BMF=180°-56°-96°=28°
故∠EMF的度数为28°.
【解析】【分析】(1)先利用直角三角形斜边中线性质求出EM和FM的长度，再结合EF的长度计算△EFM的周长；
(2)利用等腰三角形性质及三角形外角定理求出相关角度，进而计算∠MFE的度数.
28．如图，点 在同一直线上， ，过点 分别作 ， ， ．若 与 交于点G，试证明 平分 ；
【答案】证明：∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°，
∵在Rt△BFA和Rt△DEC中，
，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∴在△BFG和△DEG中，
，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
∴BD平分EF．
【解析】【分析】由AE=CF，可推出AF=CE，再由DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD，推出Rt△BFA和Rt△DEC全等，根据全等三角形的性质，即可推出BF=DE，再证△BFG和△DEG全等，即可推出结论，
29．如图BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB.判断线段AP和AQ的大小、位置关系，并证明.
【答案】解： ， ，
理由：如图，
∵ 、 是 的高，
∴ ，
∴ .
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】 ， ， 理由如下：根据垂直的定义得出∠CDB=∠CEA=90°，根据直角三角形的两锐角互余及对顶角相等，由等角的余角相等得出∠1=∠2，从而利用SAS判断出△ABP≌△ACQ，根据全等三角形的性质得出AP=AQ，∠P=∠CAQ，进而根据直角三角形的两锐角互与及等量代换得出∠CAQ+∠PAD=90°，即∠PAQ=90°，根据垂直的定义得出AP⊥AQ.
30．如图，是等边三角形，D是上一点，，，试判断的形状并说明理由．
【答案】解：等边三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是等边三角形．
【解析】【分析】利用“SAS”证明，利用全等三角形的性质可得，，即可得到是等边三角形。
31．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E，若，求的度数．
【答案】解：，分别是、的角平分线，，．
，
．
，，
，
，
∴．
【解析】【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，由，分别是、的角平分线，得到，和，得到，结合外角与内角关系，即可求解.
32．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，且EC∥AD．证明：△ACE是等腰三角形．
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EC∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，
∴∠E＝∠ACE，
∴△ACE是等腰三角形．
【解析】【分析】由角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，利用等量代换可得∠E＝∠ACE，根据等腰三角形的判定即证结论.
33．解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：对不等式组 ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得：x＜4，
∴不等式组的解集是：－2≤x＜4，它的解集在数轴上表示如下：
【解析】【分析】利用不等式的性质和不等式组的解法求解解集，再在数轴上画出解集即可。
34．八年级利用暑假组织学生外出旅游，有名家长代表随团出行，甲旅行社说：“如果名家长代表都买全票，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括名家长代表在内，全部按票价的折（即按全票的收费）优惠”，若全票价为元．请你通过计算说明：旅游人数在什么范围时选择甲旅行社费用较少？
【答案】解：设学生人数为x时，选择甲旅行社更省钱．
甲旅行社的收费是：，
乙旅行社的收费是：，
由题意得，解得：．
旅行人数大于（人）．
当旅行人数大于50人时，选择甲旅行社更省钱．
【解析】【分析】设学生人数为x时，选择甲旅行社更省钱，根据甲旅行社的优惠方案“如果10名家长代表都买全票，则其余学生可享受半价优惠”可得甲旅行社收取的费用为（400+20x）元，根据乙旅行社的优惠方案“ 包括10名家长代表在内，全部按票价的6折（即按全票的60％收费）优惠 ”可得乙旅行社收取的费用为（240+24x）元，由甲旅行社收取的费用比乙旅行社收取的费用少建立不等式，求解可得答案.
35．如图，已知，，，请问是直角三角形吗？请说出你的理由.
【答案】解：是直角三角形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
，
∴，
∴是直角三角形.
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠C=90°，可得AB=AC=，再利用勾股定理的逆定理即得是直角三角形 .
36．如图，在中，，，，垂直平分，交、于D、E，连接，则的周长是多少？
【答案】解：∵，，，
∴，即，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴．

【解析】【分析】根据三角形面积可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长进行边之间的转换.
37．有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行多少米？
【答案】解：根据题意画出图形如下：
其中 ， ， ，求BD的长，
过点D作 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
答：一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10米.
【解析】【分析】根据题意画出对应的几何图形，如图，过点D作 ，则四边形 是矩形，故可得AE，DE的长度，在 中利用勾股定理即可求解.
38．已知一个等腰三角形的周长是18cm，其中一边长是4cm，求这个三角形的边长.
【答案】解：当腰长为4cm时，
∵周长为18cm，
∴底边长为：18-2×4=10，
∵4+4=8<10，
∴不能组成三角形，不符合题意，
当4cm为底边时，
腰长为(18-4)÷2=7，
∵4cm，7cm，7cm能组成等腰三角形
∴这个三角形的边长为：4cm、7cm、7cm.
【解析】【分析】分别讨论4cm为腰或底边两种情况，根据三角形三边关系结合周长即可得答案.
39．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，CD//AB交BD于点D，已知∠1＝32°，∠D＝29°，试说明BD平分∠ABC.
【答案】解：∵CD//AB，∠D＝29°，
∴∠ABD＝∠D＝29°，
∵∠A＝90°，∠1＝32°，
∴∠ABC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝58°﹣29°＝29°，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴BD平分∠ABC.
【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠ABD＝∠D＝29°， 根据直角三角形的两个锐角互余求出∠ABC＝58°，从而求出∠DBC=∠ABC-∠ABD＝29°，得出∠ABD＝∠DBC， 即可得出答案.
40．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，．求和的度数．
【答案】解：∵是上的高，
∴，
又∵，
∴，
∵，平分，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
【解析】【分析】在中，根据两锐角互余得出，再根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线性质可得，，再由三角形内角和定理即可求出答案.
41．“六一”期间，各商场举行“六一欢乐购”的促销活动，其中甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场一次性购物超过100元，超过部分8折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过部分9折优惠，顾客到那家商场购物花费少？
【答案】解：设购物为x元，(1)当x≤50时，在甲、乙都不享受优惠，因此到两商场购物花费一样。(2)当50100时，
若到甲商场购物花费少，则
100+0.8(x-100)<50+0.9(x-50)解得，x>150
这就是说，累计购物超过150元时，甲商场购物花费少
若到乙商场购物花费少，则
50+0.9(x-50)<100+0.8(x-100)
解得，x<150
这就是说，累计购物超过100而不超过150元时，乙商场购物花费少
若到甲、乙商场购物花费一样，则
100+0.8(x-100)=50+0.9(x-50)
解得x=150
这就是说，累计购物150元时，甲、乙商场购物花费一样
【解析】【分析】 设购物为x元， 分三种情况讨论：（1）当x≤50时，在甲、乙都不享受优惠，因此到两商场购物花费一样；（2）当50100时， 若到甲商场购物花费少， 列出不等式，求出不等式的解，即可求出累计购物超过150元时，甲商场购物花费少 ； 若到乙商场购物花费少， 列出不等式，求出不等式的解，即可求出累计购物超过100而不超过150元时 ，甲商场购物花费少 ； 若到甲、乙商场购物花费一样， 列出方程，求出方程的解，即可求出累计购物150元时，甲、乙商场购物花费一样 .
42．（1）计算：．
（2）如图，已知．如果，，求的长．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：，
，
∵，
，
．
【解析】【分析】（1）先根据任何非零数的0次幂都等于1及有理数的乘方进行计算，然后进行有理数的加减运算；
（2）根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等得到，再计算出，然后计算BE+CE即可．
43．如图，等边△ABC中，过顶点A在AB边的右侧作射线AP，∠BAP＝α（30°＜α＜120°）．点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，且BE交射线AP于点D，过C，E两点作直线交射线AP于点F．
（1）当α＝40°时，求∠AEC的度数；
（2）在α变化过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围；如果不变化，求∠AFE的大小；
（3）探究线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，
∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，
∴BD＝DE，BE⊥AP，
∴AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，
∴AB＝BC＝AC＝AE，
∴；
当∠BAP＝α＝40°时，如图1，
∴∠BAD＝∠EAD＝40°，
∴∠CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝20°，
∴∠AEC＝∠ACE＝80°；
（2）解：当30°＜α≤90°时，60°＜2α≤180°，D，F在射线AP上，
∴∠BAD＝∠EAD＝α，
∴∠CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝2α﹣60°，
∴∠AEC＝∠ACE＝120°﹣α，
∴∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAD＝60°；
当90°＜α＜120°时，180°＜2α＜240°，D，F在点A的两侧，如图2，
∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，
∴BD＝DE，BE⊥AP，
∴∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，
∵∠BAP＝α，
∴∠EAP＝∠BAP＝α，AB＝AC，
∴∠EAC＝2α﹣60°，
∴∠AEC＝∠ACE＝120°﹣α，
∴∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAP＝60°；
综上所述，当30°＜α＜120°时，∠AFE＝60°，不变．
（3）解：当30°＜α≤60°，连接BF，在FA上截取FH＝FC，连接CH，如图3，
由（2）知∠AFE＝60°，
∴△HFC是等边三角形，
∴∠HFC＝∠FHC＝∠FCH＝60°，FH＝FC＝HC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∴AP为BE中垂线，
∴BF＝EF，∠FDE＝90°，
又∵∠AFE＝60°，
∴∠DEF＝90°﹣∠AFE＝30°，
∴EF＝2DF＝BF；
∵∠ACB＝∠HCF＝60°
即∠ACB﹣∠HCB＝∠HCF﹣∠HCB，
∴∠ACH＝∠BCF，
∴△ACH≌△BCF（SAS），
∴AH＝BF，
∴AH＝BF＝EF＝2DF，
∴AF＝AH+HF＝2DF+CF；
当60°＜α＜120°，连接BF，在FA上截取FH＝FC，连接CH，如图4，
由（2）知∠AFE＝60°，
∴△HFC是等边三角形，
∴∠HFC＝∠FHC＝∠FCH＝60°，FH＝FC＝HC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，
∴AP为BE中垂线，
∴BF＝EF，∠FDE＝90°，
又有∠AFE＝60°，
∴∠DEF＝90°﹣∠AFE＝30°，
∴EF＝2DF＝BF；
∵∠ACB＝∠HCF＝60°
即∠ACB+∠ACF＝∠HCF+∠ACF，
∴∠ACH＝∠BCF，
∴△ACH≌△BCF（SAS），
∴AH＝BF，
∴AH＝BF＝EF＝2DF，
∴AF＝AH﹣HF＝2DF﹣CF；
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质及轴对称的性质可得AB＝BC＝AC＝AE，∠BAD＝∠EAD，∠BAD＝∠EAD＝40°，所以∠CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝20°，进而根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得∠AEC=∠ACE=180° ∠CAE2 ，从而代入计算可得答案；
（2）因为α （ 30°＜α＜120° ）是在变的，所以需要考虑特殊点的位置进行判断，把∠AFE表示出来即可，①当30°＜α≤90°时，D，F在射线AP上，有∠BAD＝∠EAD＝α，CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝2α﹣60°，∠AEC＝∠ACE＝120°﹣α，所以∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAD＝60°；
②当90°＜α＜120°时，D，F在点A的两侧，有BD＝DE，BE⊥AP，∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，由∠BAP＝α，得∠EAP＝∠BAP＝α，AB＝AC，∠EAC＝2α﹣60°，∠AEC＝∠ACE＝120°﹣α，∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAP＝60°；故不变；
（3）当α（ 30°＜α＜120° ）变动时，对应的AF，CF，DF也随着变动，要求它们之间的关系，即需要把它们换到一条直线上计算，①当30°＜α≤60°，连接BF，在FA上截取FH＝FC，连接CH，如图3，
由（2）可得△HFC是等边三角形，有∠HFC＝∠FHC＝∠FCH＝60°，FH＝FC＝HC，又由△ABC是等边三角形，可证△ACH≌△BCF（SAS），即AH＝BF，AH＝BF＝EF＝2DF，得AF＝AH+HF＝2DF+CF；
②当60°＜α＜120°，连接BF，在FA上截取FH＝FC，连接CH，如图4，由（2）可得△HFC是等边三角形，∠HFC＝∠FHC＝∠FCH＝60°，FH＝FC＝HC，又由△ABC是等边三角形，用SAS证△ACH≌△BCF，即有AH＝BF，AH＝BF＝EF＝2DF，所以AF＝AH﹣HF＝2DF﹣CF.
44．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，边的垂直平分线交边于点，垂足分别为点，点，已知，求的度数．
【答案】解：垂直平分边，垂直平分边，垂足分别为点，点，
，，，
，，
，
在四边形中，，
，
在中，
．
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，，然后根据等腰三角形的性质可得，，利用四边形的内角和性质得出∠MAN，再利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，即可知∠BAD+∠CAE，进而利用，即可求得的度数 ．
45．已知．
（1）如图甲，已知为直线上一点，，且位于直线上方．
当平分时，度数为 ▲ ；
点在射线上，若射线绕点逆时针旋转，请判断和的数量关系并说明理由；
（2）如图乙，是一个小于的钝角，，从边与边重合开始绕点逆时针旋转旋转角度小于，当时，求：的值．
【答案】（1）解：，在直线上，
，
，，
平分，
，
，
故答案为：；
当在的右侧时，射线绕点逆时针旋转，
，
，
，
，
，
；
当在的左侧时，射线绕点逆时针旋转，如图，
此时，而，则，则，不符合题意，舍去；
综上所述，；
（2）解：，，
，，
，
，
当在内部时，如图，设，
则，，
，，
，
解得，
；
当，在内部时，如图，
设，则，，
，
，
，
，
解得，
此时，，即，
则，故不符合题意，舍去；
当在内部时，在外部，如图，
设，则，，
，，
，
，
解得，
，即，故不符合题意，舍去；
当，都在外部时，如图，
设，则，，
，，
，
，
解得，
，
综上所述，：的值为：或．
【解析】【分析】本题考查的是角的和差运算，角的旋转定义的理解，角平分线的定义，一元一次方程的应用，求解代数式的值．
（1）①先求解，，再求解，，再利用角的和差关系可得答案；②当在的右侧，射线绕点O逆时针旋转，求解，，结合 当在的左侧，射线绕点O逆时针旋转，如图，此时，而，则，则，不符合题意，舍去．
（2）由，设，可得，，，分情况讨论：当在内部时，如图，设，当，在内部时，如图，设，当在内部，在外部时，如图，设，当，都在外部，如图，再分别建立方程求解x，y之间的关系，再求解比值即可，
46．若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围；
（3）关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围．
【答案】（1）解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下：
解不等式组A：，得：，∴A的解集中点值为，
∵在不等式B：范围内，
∴不等式B对于不等式组A中点包含.
（2）解：（2）解不等式组C：，得：，
解不等式组D：，得：，
∵不等式组D对于不等式组C中点包含，∴不等式组C和不等式组D有解，
∴，解得：，
∴当时，不等式组C的解集为，不等式组D的解集为，
∵C的中点值为，且D对于不等式组C中点包含，
∴，解得：，
又∵，∴．
先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出.
（3）解：（3）解不等式组E：，得：，
解不等式组F：，得：，∴E的中点值为，
∵不等式组F对于不等式组E中点包含，
∴，解得：，
∵所有符合要求的整数m之和为12，
∴整数m可取3、4、5，或、、0、1、2、3、4、5．
∴或．
【解析】【分析】（1）先解不等式组A，进而得出A的解集中点值，再根据“中点包含”的定义判断即可；
（2）先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，求出C的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求解即可；
（3）先解不等式组E和不等式组F，求出E的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求得，然后根据整数m之和为12，得到的可能取值，进而得出n的取值范围即可．
（1）解：不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下：
解不等式组A：，得：，
∴A的解集中点值为，
∵在不等式B：范围内，
∴不等式B对于不等式组A中点包含；
（2）解：解不等式组C：，得：，
解不等式组D：，得：，
∵不等式组D对于不等式组C中点包含，
∴不等式组C和不等式组D有解，
∴，解得：，
∴当时，不等式组C的解集为，不等式组D的解集为，
∵C的中点值为，且D对于不等式组C中点包含，
∴，
解得：，
又∵，
∴．
先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，再求出
（3）解：解不等式组E：，得：，
解不等式组F：，得：，
∴E的中点值为，
∵不等式组F对于不等式组E中点包含，
∴，解得：，
∵所有符合要求的整数m之和为12，
∴整数m可取3、4、5，或、、0、1、2、3、4、5．
∴或．
47．定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”．
例：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”．
（1）已知①，②，③，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
（2）若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围；
（3）若（，是整数）是方程组与不等式组的一组“完美解”，求整数a的值．
【答案】（1）③
（2）依题意得，即∴．
将代入不等式组得，解得．
∴．
∴的取值范围为．
（3）解：∵是方程组的解，∴
将其代入不等式组得，解得．
∵a为整数，
∴，4，5，6，7．
∵为整数，
∴或7．
【解析】【解答】解：（1）∵，解得：，
∵①，∴，
②，∴，
③，∴
∴程的解是不等式③的“完美解”；
【分析】（1）先求得方程的解，再分别解三个不等式，再根据新定义的含义，作出判断，即可求解；
（2）根据题意，得到，求得，得到，再建立不等式组，求得，得到，从而可得答案；
（3）先求解，将其代入不等式组得，解得．再确定a的整数值，即可得到答案．
48．为等边三角形，射线经过点A，，画点B关于射线的对称点D，连接、交直线于点E．
（1）如图，当时
①依题意补全图形；
②用等式表示线段、、的数量关系，并证明；
（2）若为等腰三角形，直接写出的度数．
【答案】（1）解：①过点作的垂线，交于点，截取，则点是点关于射线的对称点，连接、交直线于点E，如图：
②，证明如下：
在上截取，如图：
∵是等边三角形，
∴
由对称可知：
，
∵，
∴，，
∵
∴，
由对称可知：，，
∴，
∴是等边三角形，
∴， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）的值为或．
【解析】【解答】（2）解：当是等腰三角形，①当时，如图：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
②当时，如图：
∴垂直平分，
∵垂直平分，
，
③当时，如图：
∴垂直平分，
∴，，三点在同一条直线上，
(不合题意，舍去)，
综上所述，是等腰三角形，的值为或．
【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）①根据垂直平分线的性质可得：过点作的垂线，交于点，截取，连接、交直线于点E；
②在上截取，则是等边三角形，利用等边三角形的性质可得：利用对称的性质可得：利用角的运算可推出，再根据等边三角形的性质可推出，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，根据，利用线段的运算可证明；
（2）分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等边三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质，再结合三点共线的性质可求出角的度数．
（1）解：①过点作的垂线，交于点，截取，则点是点关于射线的对称点，连接、交直线于点E，如图：
②，证明如下：
在上截取，如图：
∵是等边三角形，
∴
由对称可知：
，
∵，
∴，，
∵
∴，
由对称可知：，，
∴，
∴是等边三角形，
∴， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当是等腰三角形，
①当时，如图：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
②当时，如图：
∴垂直平分，
∵垂直平分，
，
③当时，如图：
∴垂直平分，
∴，，三点在同一条直线上，
(不合题意，舍去)，
综上所述，是等腰三角形，的值为或．
49．已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，AC⊥BC于点C．
（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，延长CB交直线PQ于点D，则∠CAB和∠CDP之间的数量关系是____．
（1）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．为探究∠ABC与∠BDP之间的数量关系，小明过点B作BF∥MN．请根据他的思路，写出∠ABC与∠BDP的关系，并说明理由；
（2）如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠AEB＝2∠ABC时，直接写出∠ABC的度数．
（3）如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠BDP＝2∠BEN时，请补充图形并直接写出∠ABC的度数．
【答案】（1）解：结论：∠ABC＝∠PDB．
理由：如图2中，
∵MN∥PQ，BF∥MN，
∴BF∥PQ，
∴∠PDB＝∠DBF，
∵AC⊥BC，AB⊥BD，
∴∠ACB＝∠ABD＝90°，
∵∠CBF+∠ACB＝180°，
∴∠CBF＝∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝∠DBF，
∴∠ABC＝∠PDB．
（2）∠ABC＝15°
（3）如图4中，图形如图所示，设BE交PQ于J．
∵∠BDP＝2∠BEN，
∴可以假设∠BEN＝x，则∠BDP＝2x，
∵MN∥PQ，
∴∠BEN＝∠PJE＝x，
∵∠ABD＝90°，BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠EBD＝45°，
∵∠BDJ+∠BJD+∠DBJ＝180°，
∴180°﹣2x+180°﹣x+45°＝180°，
∴x＝75°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣75°＝15°，
∴∠ABC＝∠ABE﹣∠EBC＝45°﹣15°＝30°．
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
∵AC⊥CD，
∴∠C=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵MN∥PQ，
∴∠PDB=∠ABC，
∴∠CAB+∠PDC=90°．
故答案为：∠CAB+∠PDC=90°．
【分析】（1）利用平行线的性质条件三角形的内角和定理求解即可；
（2）结论：∠ABC=∠PDB．构造平行线，利用平行线的性质求解即可；
（3）设∠ABC=x，则∠AEB=2x，根据∠CBE+∠AEB=90°，构建方程求解即可；
（4）设BE交PQ于J．设∠BEN=x，则∠BDP=2x，利用三角形内角和定理，构建方程求解即可。
50．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做"对垂四边形".
（1）如图1，四边形ABCD为"对垂四边形".求证：.
（2）如图2，是四边形ABCD内一点，连接AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点.若.求证：四边形ABCD为“对垂四边形”
（3）如图，四边形ABCD为"对垂四边形"，，，求CD的长.
【答案】（1）证明： (1) ∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
由勾股定理得，
（2）解：，
∴四边形ABCD为“对垂四边形”；
（3）解：过点A作 ，交CD延长线于点H，
设 则
∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
(舍去) ，)
∴CD的长度1.
【解析】【分析】(1) 由“对垂四边形”的定义得出， 则
，由勾股定理得 即可得出结论；
(2) 由三角形内角和定理可得 由角的数量关系可得 可得 可得结论；
(3) 过点A作 交CD延长线于点H，设 则 由“对垂四边形”的定义可得 由直角三角形的性质可求 由勾股定理可求解.
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