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【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版数学九年级上册期中试卷
1．如图，在直径为的中，，垂足为点，且，求弦的长．
2．二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“．惊蛰”“．夏至”“．白露”“．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是 ．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人同时抽到“．惊蛰”“．夏至”的概率．
3．如图，已知AB，CB为⊙O的两条弦，请写出图中所有的弧．
4．如图，将绕点逆时针旋转得到，、、三点恰好在同一直线上，连接，若，求的度数．
5．为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
6． 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
（1）甲选择“校园安全”主题的概率为　 　 ；
（2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．
7．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度．
（2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2．
8．某商家在网络平台上在8点，12点，15点，18点，21点五个时刻对“冰墩墩”玩偶进行限量发售．现绘制了如下统计图（部分信息未给出），根据图中给出的信息解答下列问题．
（1）该商家一天共发售“冰墩墩”玩偶 　 　个；
（2）扇形统计图中，18点对应的扇形圆心角度数是 　 　度；
（3）补全条形统计图；
（4）经过调查在随机抢购活动中，8点，12点，15点，18点，21点五个时刻的参与人数分别是2万，4万，5万，10万和10万．小甬在12点和21点两个时刻参与了抢购，问在哪一时刻抢购的成功率更高？
9．已知二次函数 的图象经过点 ， 求二次函数的表达式．
10．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB＝6，CD＝1.求⊙O半径的长.
11．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6，锅深3，锅盖高1（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为.
（1）求和的解析式；
（2）如果炒菜时锅的水位高度是1，求此时水面的直径；
（3）如果将一个底面直径为3，高度为3.2的圆柱形器皿放入炒菜
锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由.
12．已知二次函数的图象的顶点为 ，且过点 ，求这个二次函数的解析式.
13．如图，在边长为3的正方形中，E为边上的一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到．
（1）旋转角为_____度；
（2）连接，若，求的长．
14．甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票，谁都想去，最后商定通过转盘游戏决定，游戏规则是：转动下面平均分成三个扇形且标有不同颜色的转盘，转盘连续转动两次，若指针前后所指颜色相同，则甲去；否则乙去．（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一种颜色为止）．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
15．某工艺品成本价是20元/件，投放市场试销售每件的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表（y与x之间的关系是一次函数）：
x（元） 25 30 32 …
y（件） 50 40 36 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该工艺品售价为每件多少元时，每天获得的利润最大？
16．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
（3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
17．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形鸡场，若墙长，求这个矩形养鸡场最大面积。
18．根据数学知识，完成下列问题．
（1）把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．
（2）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率．
19． 已知二次函数 和一次函数 ．数 ．
（1）二次函数 的图象过点 ， 求二次函数的表达式．
（2） 若一次函数 与二次函数 的图象交于 轴上同一点， 且这个点不是原点．
①求证： ．
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点， 求 的值．
20． 有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．
（1）存放x天后将鲜葡萄一次性出售，设鲜葡萄的销售金额为y元，写出y关于x的函数关系式；
（2）为了使鲜葡萄的销售金额为760元，又为了尽早清空冷藏室，则需要在几天后一次性出售完；
（3）问个体户将这批葡萄存放多少天后一次性出售，可获得最大利润 最大利润是多少 (本题不要求写出自变量x的取值范围)
21．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，．请判断△ABC的形状，并说明理由．
22．已知抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求此抛物线的解析式．
23．两枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6， 同时抛掷这两枚骰子一次，求朝上的面的点数之和为5或9的概率．
24．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量 （件）与销售单价 （元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
25．已知二次函数经过点（3，0），对称轴是直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
26．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．
27．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
28．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若要书店每天盈利638元，则需降价多少元？
（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
29．年月日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪如图，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分如图，当两辆消防车喷水口A，的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇此时相遇点距地面米，喷水口A，距地面均为米若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点距地面多少米．
30．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目，小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．请用画树状图或列表等方法求出小明和小张在同一区域观看比赛的概率。
31．饮料厂生产某品牌的饮料成本是每瓶5元，根据市场调查，以单价8元批发给经销商，经销商每天愿意进货5000瓶，并且表示单价每降价0.1元，经销商每天愿意多进货500瓶．
（1）直接写出饮料厂每天的进货量y（瓶）与批发单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求饮料厂每天的利润w（元）与批发单价x（元）之间的函数关系式，并求出最大利润；
（3）如果每天的生产量不超过9000瓶，那么饮料厂每天的利润最大是　 　元．
32．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．
33． 已知二次函数
（1）若 试求该二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为（s，t），求证：
（3）若，且当自变量 x满足0≤x≤m 时. 求m的值.
34．汽车刹车后行驶的距离s(单位：米)关于行驶的时间t(单位：秒)的函数解析式为s＝﹣6t2+bt(b为常数).已知t＝ 时，s＝6，求汽车刹车后行驶的最大距离是多少？
35． 已知二次函数y=ax2+2ax-3a（常数a≠0）.
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若-2①当a>0时，该函数的最小值为-8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1>a2）时，两个函数的最小值相等，求a1，a2的数量关系.
36．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标；
（3）在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标.
37．已知二次函数y=a （x-h）2， 当x=4时有最高点，且此函数的图象经过点（1， -3）。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
38．已知二次函数y=ax2+2x+c，当x=-1时，函数值为2；当x=2时，函数值为11．求这个二次函数的表达式．
39． 若二次函数与x轴只有一个交点，且经过和．
（1）用含a的代数式表示m；
（2）若点也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式．
40．如图，已知AB是O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．
41．如图所示，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．如果点同时出发秒后的面积为．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）几秒时，△PCQ的面积为？
42．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求的面积
43．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图2，求证：BE⊥DQ；
②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
44．2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每名同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题．
（1）九（1）班共有 名学生，并补全图1折线统计图．
（2）请阅读图⒉，求出D所对应的扇形圆心角的度数．
（3）若小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
45．某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的，的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象.
（1）若输入，，得到如图①所示的图象，求顶点的坐标及抛物线与轴的交点，的坐标
（2）已知点，.
①若输入，的值后，得到如图②的图象恰好经过，两点，求出，的值；
②淇淇输入，嘉嘉输入，若得到二次函数的图象与线段有公共点，求淇淇输入的取值范围.
46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+2经过点A、C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点M （m，y1）、N （m+2，y2）分别是抛物线上两点，若当m>-1时，y1y2<0，则m的取值范围为　 　
（3）点D是抛物线上一个动点，当∠DCA=∠BCO时，求点D的坐标．
（4）若点P为抛物线上的点，H点P的横坐标为m，已知点E（m-1，1），F （1-m，1），G （3-m，-2），H（m+1，-2），当点P在四边形EFGH的内部时，直接写出m的取值范围．
47．设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）若时，求二次函数的表达式；
（2）当时，有最小值为，求的值；
（3）若，求证：．
48．如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（2，0），C（0，4）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标。
49．如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．
计算 当平分时，求t的值；
判断 判断与的数量关系，并说明理由；
操作 若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系．
50．如图，在平面直角坐标系中，，，现同时将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，且点落在轴上，连接，．
（1）直接写出点、的坐标：　 　，　 　
（2）如图，若点为线段的中点，点以每秒个单位长度的速度在线段上从点向点运动，运动时间为秒，则当时，求的值．
（3）如图，已知，点在轴上点的左侧，射线以的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动在射线到达之前，会与射线交于点，过作交于，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版数学九年级上册期中试卷
1．如图，在直径为的中，，垂足为点，且，求弦的长．
【答案】解：，
，
直径是，
，
，
，
．
【解析】【分析】根据垂径定理可得，求出圆半径OA，再根据勾股定理可得AM，即可求出答案.
2．二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“．惊蛰”“．夏至”“．白露”“．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是 ．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人同时抽到“．惊蛰”“．夏至”的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
由表格可知共有12种等可能的结果，其中两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的结果共2种．
∴两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的概率为．
【解析】【解答】（1）解；∵一共有四张不同的卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是；
【分析】（1）根据一共有四张不同的卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，利用概率公式计算求解即可；
（2）先列表，再求出共有12种等可能的结果，其中两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的结果共2种，最后根据概率公式计算求解即可.
（1）解；∵一共有四张不同的卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是；
（2）解：列表如下：
　
　
　
　
　
由表格可知共有12种等可能的结果，其中两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的结果共2种．
∴两人同时抽到“A．惊蛰”“B．夏至”的概率为．
3．如图，已知AB，CB为⊙O的两条弦，请写出图中所有的弧．
【答案】解：图中的弧为
【解析】【分析】根据圆上任意两点之间的部分叫弧即可解答。
4．如图，将绕点逆时针旋转得到，、、三点恰好在同一直线上，连接，若，求的度数．
【答案】解：∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】根据旋转的性质得，，，由等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理求出，，然后求出，从而得，进而利用三角形内角和定理求出的度数．
5．为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【答案】（1）解：设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，
根据题意得：，
解得：；
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）可得：
①当时，则有：，
∵12＞0，
∴当m=30时，w有最小值，即为；
②当时，则有：，
∵-1＜0，对称轴为直线，
∴当时，w随m的增大而减小，
∴当m=50时，w有最小值，即为；
③当时，此时科技类图书的单价为（元），则有，
∵2＞0，
∴当m=51时，w有最小值，即为；
综上所述：社区至少要准备2700元的购书款．
【解析】【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，根据“ 购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，再列出函数解析式并求解即可.
（1）解：设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，由题意得：
，解得：；
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）可得：
①当时，则有：，
∵12＞0，
∴当m=30时，w有最小值，即为；
②当时，则有：，
∵-1＜0，对称轴为直线，
∴当时，w随m的增大而减小，
∴当m=50时，w有最小值，即为；
③当时，此时科技类图书的单价为（元），则有，
∵2＞0，
∴当m=51时，w有最小值，即为；
综上所述：社区至少要准备2700元的购书款．
6． 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
（1）甲选择“校园安全”主题的概率为　 　 ；
（2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．
【答案】（1）
（2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为、、、，
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有种，
则甲和乙选择不同主题的概率为．
【解析】【解答】解：
（1）共有4个主题，校园安全是其中的1个，所以甲选择“校园安全”主题的概率为。
故答案为：
【分析】
（1）根据公式求出甲选择“校园安全”主题的概率。
（2）甲有4种选择可能，乙也有4种选择可能，画出对应的树状图即可。
7．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度．
（2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2．
【答案】解：设AB＝xm，围成的花圃面积为ym2，则BC长为（24﹣3x）m，
（1）根据题意，得x（24﹣3x）＝45，
整理，得x2﹣8x+15＝0，
解得x＝3或5，
当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，
当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立，
∴AB长为5m；
（2）由题意，得S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC＝24﹣3x≤10，
∴≤x＜8，
∵对称轴x＝4，开口向下，
∴当x＝m，有最大面积的花圃，
即：x＝m，
最大面积为：24×﹣3×（）2＝（m2）．
【解析】【分析】（1）设AB＝xm，围成的花圃面积为ym2，则BC长为（24﹣3x）m，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据二次函数的性质即可求出答案.
8．某商家在网络平台上在8点，12点，15点，18点，21点五个时刻对“冰墩墩”玩偶进行限量发售．现绘制了如下统计图（部分信息未给出），根据图中给出的信息解答下列问题．
（1）该商家一天共发售“冰墩墩”玩偶 　 　个；
（2）扇形统计图中，18点对应的扇形圆心角度数是 　 　度；
（3）补全条形统计图；
（4）经过调查在随机抢购活动中，8点，12点，15点，18点，21点五个时刻的参与人数分别是2万，4万，5万，10万和10万．小甬在12点和21点两个时刻参与了抢购，问在哪一时刻抢购的成功率更高？
【答案】（1）4000
（2）108
（3）解：15点的数量为：4000﹣400﹣600﹣1200﹣1000＝800，
补全条形统计图如图：
（4）解：12点抢购的成功率：1.5%，
21点抢购的成功率：1%，1.5%＞1%．
答：12点抢购的成功率更高
【解析】【解答】解：由题可知：该商家一天共发售“冰墩墩”玩偶（个），
故答案是：4000；
（2）解：由题意可知：扇形统计图中，18点对应的扇形圆心角度数是，
故答案是：108；
【分析】（1）结合图形可知21点发售了1000个，所占比例为，所以一天总共发售，再进行计算可求出答案；
（2）利用18点发售了1200个，先求出18点发售所占的比例，再乘以360读，进而可求出所以对应的扇形圆心角度数；
（3）由图可知：18点发售为，再进行计算可求出个数，进而可补全图形；
（4）根据概率公式先求出12点抢购的成功率，21点抢购的成功率，在比较两个概率可作出决策.
9．已知二次函数 的图象经过点 ， 求二次函数的表达式．
【答案】解：将点 代人二次函数表达式 中，得 ， 化简得 ，
解得 ．
二次函数的表达式为 或 ．
【解析】【分析】将A点代入二次函数，得到关于b的方程，求解得到b的值，从而得出表达式.
10．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB＝6，CD＝1.求⊙O半径的长.
【答案】解： 半径OC⊥弦AB，
由垂径定理得，
，
设 ，则
在 中，由勾股定理得，
，即 ，
解得： .
【解析】【分析】垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，据此解得AD的长，再设半径为r，由勾股定理解题即可.
11．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6，锅深3，锅盖高1（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为.
（1）求和的解析式；
（2）如果炒菜时锅的水位高度是1，求此时水面的直径；
（3）如果将一个底面直径为3，高度为3.2的圆柱形器皿放入炒菜
锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由.
【答案】（1）解：由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，；
抛物线还经过，
则有：，解得：
即：抛物线；
抛物线还经过，
则有：，解得：
即：抛物线．
（2）解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，
解得：，
∴此时水面的直径为．
（3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下：
当时，抛物线，
抛物线，
而，
∴锅盖不能正常盖上．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（2）根据题意令y=-2，进而即可求解；
（3）根据二次函数的图象结合题意即可求解。
12．已知二次函数的图象的顶点为 ，且过点 ，求这个二次函数的解析式.
【答案】解：设所求函数的解析式为：
则顶点坐标为 ，已知顶点坐标为
又 图像经过点 ，代入得
解得
故解析式为
即
【解析】【分析】设出二次函数的顶点式，再将点P的坐标代入计算即可。
13．如图，在边长为3的正方形中，E为边上的一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到．
（1）旋转角为_____度；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）90
（2）解：四边形是正方形，
，
在中，，
旋转得到，
，
在中，．
【解析】【解答】（1）解：四边形是正方形，
，
∵将绕点D逆时针方向旋转得到．
∴，
∴，
即旋转角为90度；
【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据旋转性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，根据勾股定理可得DE，再根据旋转性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：四边形是正方形，
，
∵将绕点D逆时针方向旋转得到．
∴，
∴，
即旋转角为90度；
（2）解：四边形是正方形，
，
在中，，
旋转得到，
，
在中，．
14．甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票，谁都想去，最后商定通过转盘游戏决定，游戏规则是：转动下面平均分成三个扇形且标有不同颜色的转盘，转盘连续转动两次，若指针前后所指颜色相同，则甲去；否则乙去．（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一种颜色为止）．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】解：依题意，列表如下，
第一次\第二次 黄 红 蓝
黄 黄黄 黄红 黄蓝
红 红黄 红红 红蓝
蓝 蓝黄 蓝红 蓝蓝
共有9种等可能结果，颜色相同时的概率为
则甲去的概率为，乙去的概率为，
所以这个游戏不公平．
【解析】【分析】 利用列表法列举出共有9种等可能结果，其中颜色相同的有3种，颜色不相同的有6种，分别求出其概率，若概率相等游戏就公平，否则就不公平.
15．某工艺品成本价是20元/件，投放市场试销售每件的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表（y与x之间的关系是一次函数）：
x（元） 25 30 32 …
y（件） 50 40 36 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该工艺品售价为每件多少元时，每天获得的利润最大？
【答案】（1）解：根据题意，设y与x的函数关系式为，
把x=25，y=50，x=30，y=40时代入，
得，解得：，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：设每天获得的利润为W元，则
，
∵，
∴当时，W有最大值，最大值为，
答：该工艺品售价为每件35元时，每天获得的利润最大．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解函数关系式即可；
（2）设每天获得的利润为W元，则，根据利润=单件利润×销售数量，列出二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：根据题意，设y与x的函数关系式为，
则，解得：，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：设每天获得的利润为W元，则
，
∵，
∴当时，W有最大值，最大值为，
答：该工艺品售价为每件35元时，每天获得的利润最大．
16．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
（3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【答案】（1）解：由题意可得：，
顶点
故上边缘设抛物线解析式为：
将代入可得：
抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即
（2）解：由（1）可得，
上边缘抛物线为：，可得对称轴为：
点关于对称轴对称的点为：
可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即点；
（3）不能
【解析】【解答】解：（3）∵OB=2，OD=3.2，OD＞OB
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将代入到可得：
所以绿化带的右边部分不可以灌溉到。
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
【分析】（1）上边缘二次函数图象经过H（0，1.2），顶点A(2，1.6)，设二次函数的解析式为，把H(0，1.2)代入即可求解a，继而求出二次函数的解析式。当y=0，求出x的值即最大射程OC.
（2）上边缘二次函数对称轴x=2，与H(0，1.2)对称点是（4，1.2），根据二次函数的性质，确定上边缘抛物线向左平移4个单位，根据平移规律求得下边缘抛物线解析式，当y=0，求出X的值即OB，继而求出B点坐标。
（3）根据题意，考虑绿化带左右是否都能灌溉到，先考虑左边：OB=2小于3.2，故左边可以灌溉到；再考虑右边，求得点（3.2+2，0.7），将x=5.2代入判断上边缘抛物线，求出y=0.576，比较0.7和0.576，所以绿化带的右边部分不可以灌溉到，由此判断能否浇灌到整个绿化带。
17．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形鸡场，若墙长，求这个矩形养鸡场最大面积。
【答案】解：设养鸡场平行于墙的一长为x米，则垂直于墙的一长为米，
面积（），
因为，抛物线开口向下，所以当时，面积最大，
.答：最大面积是.
【解析】【分析】令平行于墙的长为x米，则垂直墙的长为（24-x）米。根据矩形面积公式可得： （0＜x＜15），根据a值可知道开口向下，当x=12有最大值72。
18．根据数学知识，完成下列问题．
（1）把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．
（2）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率．
【答案】（1）解：设其中两条线段的长为，则第3条线段的长为，于是的取值范围是：
①
要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和．这等价于每条线段的长度都小于，即
②
将视为坐标系的坐标，，
而满足条件②的点在以为顶点的内，
故所求概率为
答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为；
（2）解：设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x，
根据题意得，
解得（不合题意，舍去），
设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，
根据题意得，
解得．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆；2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为．
【解析】【分析】（1）设其中两条线段的长为，则第3条线段的长为，即可得到x，y的取值范围，然后根据三角形三边关系定理得到，然后将视为坐标系的坐标，，进而利用几何概率即可求解；
（2）设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x，根据题干"2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆"，据此列出方程，解得x=0.2，设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据题干"要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的"，据此列出方程，解出y即可求解.
19． 已知二次函数 和一次函数 ．数 ．
（1）二次函数 的图象过点 ， 求二次函数的表达式．
（2） 若一次函数 与二次函数 的图象交于 轴上同一点， 且这个点不是原点．
①求证： ．
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点， 求 的值．
【答案】（1）解： 二次函数 的图象过点 ，
解
二次函数的表达式的
（2）解：①证明： 令 ， 则 ， 解得 或 ．
抛物线 与 轴交于点 ．
令 ， 则 ．
直线 与 轴交于点 ，
若一次函数 与二次函数 的图象交于 轴上同一点， 且这个点不是原点，
则 ．
②，
二次函数图象的顶点坐标为 ．
两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
．
由①知 ．
解得 (不合题意， 舍去) 或 ．
若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点， 则 的值为 2
【解析】【分析】（1）将两点代入二次函数，求解方程即可；
（2）①分别令 ，，求得与x轴交点，从而求解得出结论；
②由二次函数得到顶点坐标，将顶点坐标代入一次函数，化简即可求得m的值.
20． 有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．
（1）存放x天后将鲜葡萄一次性出售，设鲜葡萄的销售金额为y元，写出y关于x的函数关系式；
（2）为了使鲜葡萄的销售金额为760元，又为了尽早清空冷藏室，则需要在几天后一次性出售完；
（3）问个体户将这批葡萄存放多少天后一次性出售，可获得最大利润 最大利润是多少 (本题不要求写出自变量x的取值范围)
【答案】（1）y=（200-x）（0.2x+2）=-0.2x2+38x+400；
（2）当y=760时，-0.2x2+38x+400=760，
解方程得，
∵要尽早清空冷藏室，
所以，
答：要在10天后一次性出售完，可获得销售金额760元；
（3）设利润为w元，
则，
∵-0.2＜0，
∴当时，
w有最大值为405．
答：这批葡萄存放45天后一次性出售，可获得最大利润405元．
【解析】【分析】（1）根据“销售金额销售单价销售数量”，即可列出函数解析式；
（2）当y=760时，-0.2x2+38x+400=760，解方程，取较小的值即可；
（3）设利润为w元，则，根据二次函数性质求得最大值即可．
21．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，．请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】解：△ABC是等边三角形，
理由：∵
∴AC=BC，
∵∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】【分析】根据可得AC=BC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠ADC=60°，即可证明△ABC是等边三角形．
22．已知抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求此抛物线的解析式．
【答案】解：∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（3，0）两点，
∴可设其解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3），
代入点C（0，3）得，
a（0+2）（0﹣3）＝3，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝﹣x2+x+3．
【解析】【分析】设其解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3），再将点C的坐标代入解析式求出a的值即可。
23．两枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6， 同时抛掷这两枚骰子一次，求朝上的面的点数之和为5或9的概率．
【答案】解：
【解析】【解答】根据题意，没枚骰子共有6种可能，共有6×6=36(种)可能，
其中复合的组合有，和为5：1和4；2和3；4和1；3和2；
和为9：3和6；4和5；6和3；5和4；
∴共有36种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有8种，
∴P（点数之和为5或9）=，
故答案为：.
【分析】根据概率公式分析总可能数和复合条件的情况数即得.
24．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量 （件）与销售单价 （元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
【答案】（1）解：由题意得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700．
（2）解：由题意，得-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30） y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元
（3）解：w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数表达式，一次函数关系式可设y=kx+b。
（2）由利润=销售量×单件利润可以列出利润表达式，再通过二次函数的性质即可求出利润的最大值；
（3）首先根据利润w与单价x的表达式求出利润为3600元对应的x的值，再根据增减性即可求出销售单价x的范围。
25．已知二次函数经过点（3，0），对称轴是直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
【答案】（1）解：依题意
解得b=-4，c=-6
∴二次函数的解析式为
（2）解：抛物线开口向上，对称轴为x=1
由图象及性质可知，当时，y随x增大为增大。
【解析】【分析】(1)根据题意将点 （3，0） 代入解析式，将对称轴写为，就能求出b，c的值，从而得出抛物线的解析式；
(2)利用二次函数的图象和性质易知当时，y随x增大为增大。
26．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得：a+4＝3，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）；
∴CD＝4，
∴S△BCD＝CD×|yB|＝×4×3＝6．
【解析】【分析】（1）已知顶点和抛物线上另一点，可代入解析式的顶点式即可求取；
（2）根据图象提示，三角形的高已知，三角形的底需要通过抛物线与x轴的交点求得，因此y=0求对应的两个x值，根据三角形的面积公式即可求取。
27．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
【答案】（1）解：解：连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，
∵AD⊥OB，
∴AH＝DH＝4，
在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，
∴r2＝42+（r﹣2）2
，解得r＝5，
即⊙O的半径为5；
（2）证明：连接CF，如图，
∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴OA⊥BG，
∴BG＝FG，
∴∠OAH＝∠OBG，
在△OAH和△OBG中，
，
∴△OAH≌△OBG（AAS），
∴AH＝BG，
∴BF＝2AH．
【解析】【分析】
(1)连接OA，则△OAH是直角三角形，设OA=r，结合已知条件，根据勾股定理列方程可求出OA。
(2)根据垂径定理可得弧AB=弧BD，AD=2AH，根据∠EAB＝∠EBA推得弧BD=弧AF，得A是弧BF中点，连接OA交BF于G，证明△OAH和△OBG全等得AH=BG，证得BF=2AH。
28．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若要书店每天盈利638元，则需降价多少元？
（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
【答案】（1）解：设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
则，
即y关于x的函数表达式为；
（2）解：由题意得：，
解得，，
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
答：若要书店每天盈利638元，则需降价19元；
（3）解：，
，
当时，有最大值为，
即当每套书降价元时，书店一天可获最大利润，最大利润为元．
【解析】【分析】（1）根据总利润每套利润销售量即可求解；
（2）由题意，令（1）中的解析式中的y=638可得关于x的一元二次方程，解方程并结合题意“为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存”即可求解；
（3）将（1）中的二次函数配方并结合二次函数的性质即可求解．
（1）解：设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
则，
即y关于x的函数表达式为．
（2）解：由题意得：，
解得，，
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
答：若要书店每天盈利638元，则需降价19元；
（3）解：，
，
当时，有最大值为，
即当每套书降价元时，书店一天可获最大利润，最大利润为元．
29．年月日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪如图，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分如图，当两辆消防车喷水口A，的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇此时相遇点距地面米，喷水口A，距地面均为米若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点距地面多少米．
【答案】解：由题意得，，
，
，，
设抛物线解析式为，
将代入，
得，解得，
，
两辆消防车同时后退米，
抛物线向右平移后的解析式为，
当时，则，
答：此时两条水柱相遇点距地面米．
【解析】【分析】根据题意，确定图象是关于y轴对称的二次函数图象，开口向下，顶点坐标为（0，20），根据这些条件设出解析式，代入A或B点坐标及可求出解析式；B后退至B'，抛物线向右平移10米，或者A退至A'，抛物线向左平移10米，；用这两个解析式当中的哪一个都可以，当x=0时求y值即可。
30．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目，小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．请用画树状图或列表等方法求出小明和小张在同一区域观看比赛的概率。
【答案】解：画树状图如图：
由树状图得：共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的情况有4种，
∴小明和小张在同一区域观看比赛的概率为．
【解析】【分析】先根据题意画出树状图，进而得到共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的情况有4种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
31．饮料厂生产某品牌的饮料成本是每瓶5元，根据市场调查，以单价8元批发给经销商，经销商每天愿意进货5000瓶，并且表示单价每降价0.1元，经销商每天愿意多进货500瓶．
（1）直接写出饮料厂每天的进货量y（瓶）与批发单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求饮料厂每天的利润w（元）与批发单价x（元）之间的函数关系式，并求出最大利润；
（3）如果每天的生产量不超过9000瓶，那么饮料厂每天的利润最大是　 　元．
【答案】（1）解：；
（2）解：，
，
当时，w有最大利润，（元）；
（3）18000
【解析】【解答】解：（1）由题意得：整理得：；
（3）由题意得：，解得
的取值范围为
对于，
，对称轴为直线，
当时，最的增大而减小
当x取最小值7.2时，w取最大值，，即最大利润为18000元．
故答案为：18000
【分析】（1）根据题意，可以写出每天的进货量y(元)与批发单价x(元)之间的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以写出每天的利润w(元)与批发单价x(元)之间的函数关系式，并求出最大利润；
（3）根据每天的生产量不超过9000瓶，可以求得批发价的取值范围，再根据（2）中的函数关系式，即可得到饮料厂每天的利润最大值．
32．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．
【答案】解：把点A（1，0）、B（-1，0）、C（0，-2）的坐标，
分别代入 得： ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ．
∴抛物线 顶点坐标为（0，-2）
【解析】【分析】分别将点A、B、C的坐标代入y＝ax2+bx+c中，建立关于a、b、c的三元一次方程组，解出a、b、c的值即可.
33． 已知二次函数
（1）若 试求该二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为（s，t），求证：
（3）若，且当自变量 x满足0≤x≤m 时. 求m的值.
【答案】（1）解：当时，，
令得，
解得或，
∴该二次函数图象与轴的交点坐标为，
（2）证明：∵二次函数图象的顶点坐标为，
∴，，
∴
（3）解：在中，令得，
由（2）知抛物线顶点坐标为，
∵，当时，，
∴当时函数值最小为，当时，函数值最大为2，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的值为3
【解析】【分析】（1）先根据题意得到二次函数的解析式，进而根据二次函数与坐标轴的交点令y=0即可求出与x轴的交点坐标；
（2）根据题意得到二次函数的顶点坐标得到，，从而即可得到；
（3）由（2）知抛物线顶点坐标为，进而根据二次函数的最值结合题意即可得到当时函数值最小为，当时，函数值最大为2，从而得到，解方程组即可求解。
34．汽车刹车后行驶的距离s(单位：米)关于行驶的时间t(单位：秒)的函数解析式为s＝﹣6t2+bt(b为常数).已知t＝ 时，s＝6，求汽车刹车后行驶的最大距离是多少？
【答案】解：把t ，s=6代入函数解析式为s=﹣6t2+bt，
得：6=﹣6 b ，
解得：b=15.
∴函数解析式为s=﹣6t2+15t=﹣6（t ）2
∵﹣6＜0，当t 时，s取得最大值，此时s .
答：汽车刹车后行驶的最大距离是 米.
【解析】【分析】根据待定系数法先求出二次函数的解析式，再根据顶点坐标即可求解.
35． 已知二次函数y=ax2+2ax-3a（常数a≠0）.
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若-2①当a>0时，该函数的最小值为-8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1>a2）时，两个函数的最小值相等，求a1，a2的数量关系.
【答案】（1）解：解：对称轴为直线x=
（2）解：①∵a>0，当x=-1时，该函数最小值为y=a-2a-3a=-4a
"-2＜-1<5，-4a=-8，a=2
②抛物线对称轴在直线x=-2与x=5之间，且两个函数的最小值相等
当a>a2>0或a2∴a1>0， a2＜0
∴两个函数的最小值分别为-4a1，32a2
∴-4a1=32A2， 即a1=-8a2
【解析】【分析】(1)根据二次函数的对称轴公式，求解即可得出答案；
(2)①根据当x=-1时，该函数最小值为y=-4a求解即可；
②由对称轴在直线x=-2与x=5之间可知当a1> a2> 0或a2 0，a2< 0，分别求出最小值即可求解.
36．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标；
（3）在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标.
【答案】（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式是；
（2）解：令，则，
，
如图，作，垂足为，
则，
，
，，
又是中点，
，
，
，
设点横坐标为，则，
解得：，，
当时，，
当时，，
点的坐标是：，；
（3）解：令，则，
，
，
设，
，
，
①当时，
，
，
解得：，（舍去），
当时，，
；
②当时，
，
，
解得：，
当时，，
；
综上所述：点的坐标为或．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）作，垂足为，令可得到OD的长，利用"AAS"证明得到设点横坐标为，则，解出x的值，进而得到y的值，即可求出点P的坐标；
（3）令可得到OC的长，进而得到CD的长，设，分两种情况：①当时；②当时，分别根据勾股定理列方程，即可求解.
37．已知二次函数y=a （x-h）2， 当x=4时有最高点，且此函数的图象经过点（1， -3）。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：
（2）解：x＞4
【解析】【解答】（1）∵当x=4时有最高点，
∴抛物线的对称轴为直线x=4，
∴h=4，
将点（1，-3）代入y=a （x-4）2，
可得：-3=a（1-4）2，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：；
（2）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=4，
∴当x>4时，函数值y随x的增大而减小，
故答案为：x>4.
【分析】（1）先求出h=4，再将点（1，-3）代入y=a （x-4）2，求出a的值可得函数解析式；
（2）利用二次函数的图象和性质与系数的关系分析求解即可.
38．已知二次函数y=ax2+2x+c，当x=-1时，函数值为2；当x=2时，函数值为11．求这个二次函数的表达式．
【答案】解：∵二次函数y=ax2+2x+c，当x=-1时，函数值为2，当x=2时，函数值为11，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为y=x2+2x+3.
【解析】【分析】根据题意得出二元一次方程组，解方程组求出a，c的值，即可得出答案.
39． 若二次函数与x轴只有一个交点，且经过和．
（1）用含a的代数式表示m；
（2）若点也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式．
【答案】（1）解：由可得，
对称轴为直线
（2）解：当时，
由对称轴直线可知，
与关于对称轴对称
∵二次函数与x轴只有一个交点
∴二次函数的解析式为或
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标可知：对称轴为直线，进而可得到m和a的方程：，据此即可用含a的式子表示m；
（2）根据二次函数的对称性得到：与关于对称轴对称，则，据此即可求出c的值，再根据"二次函数与x轴只有一个交点"，则据此即可求出m的值，进而得到二次函数的解析式.
40．如图，已知AB是O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．
【答案】解：连接OC．
∵AB是O的直径，CD⊥AB，
∴ ．
∵AB=10cm，
∴AO=BO=CO=5cm．
∵BE=OE，
∴ cm， cm．
在Rt△COE中，
∵CD⊥AB，
∴OE2+CE2=OC2．
∴ cm．
∴DE= cm．
∴ cm．
在Rt△ACE中
∴
∴ cm．
在Rt△ADE中
∴
∴
∴△ACD的周长=AD+DC+AC= + + = cm．
【解析】【分析】连接OC．根据垂径定理可得 ．由AB=10cm，可求 cm， cm．根据勾股定理 cm．可得 cm．根据勾股定理 cm． 即可．
41．如图所示，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．如果点同时出发秒后的面积为．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）几秒时，△PCQ的面积为？
【答案】（1）解：当运动时间为秒时，，
．
又，
，
与的函数关系式为．
（2）解：根据题意，得：，
即，
解得：
答：秒或秒时，的面积为．
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式可得即可；
（2）将y=8代入可得，再求出x的值即可.
（1）当运动时间为秒时，，
．
又，
，
与的函数关系式为．
（2）依题意，得：，
即，
解得：
答：秒或秒时，的面积为．
42．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求的面积
【答案】（1）解：将，代入
得，解得
∴二次函数的解析式为：
（2）解：将配方得顶点式
∴顶点，∴
【解析】【分析】（1）根据待定系数法解二次函数，将点B和C代入函数，列二元一次方程组，解方程组即可求出二次函数的解析式；
（2）将二次函数化为顶点式，可得顶点的坐标；根据三角形的面积公式即可求解.
43．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图2，求证：BE⊥DQ；
②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：由题可得：，
，，
，
，
是正方形，
，
在和中，
；
（2）解：如图，设与交点为，
，
，
又，由内角和定理可得，
，
；4分
为等腰直角三角形，理由如下：
为等边三角形，
，
，
又，
，
又，，
，
同理：，
所以，，
为等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据旋转图形的性质得出CP=CQ，结合正方形性质可证明；
（2）①设与交点为，根据全等得出，根据对顶角得出，结合三角形内角和可得BE⊥QD；②根据等边三角形的性质得出，则∠PCD=30°，根据，由等腰三角形的性质可得，由，可得，同理：，从而得出∠DEP=90°，从而得出答案．
44．2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每名同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题．
（1）九（1）班共有 名学生，并补全图1折线统计图．
（2）请阅读图⒉，求出D所对应的扇形圆心角的度数．
（3）若小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】（1）解：50；喜爱主题 的学生有 (名)．
补全的折线统计图如下．
（2）解： 所对应的形四心角的大小为 ，所以 所对应的称形圆心角的度数为 ．
（3）解：画树状图如下，
共有 16 种等可能的结果， 小林和小峰选择相同主题的结果有 4 种，
所以小林和小峰选择相同主题的概率为 ．
【解析】【解答】解：（1）喜爱主题B的学生有20人，喜爱B主题的人数在扇形统计图中的占比为40%，即 九（1）班共有 20÷40%=50（人），
【分析】（1）喜爱主题B的学生有20人，喜爱B主题的人数在扇形统计图中的占比为40%，即 九（1）班共有 20÷40%=50（人），再用总人数减去B，C，D是的人数即可算出A主题的人数，补全折线统计图即可；
（2）用D所对应的人数除以总人数算出D在扇形统计图中的占比，再乘以圆周角即可算出 D所对应的扇形圆心角的度数 ；
（3）画出树状图，共有 16 种等可能的结果， 小林和小峰选择相同主题的结果有 4 种，利用概率公式计算出小林和小峰选择相同主题的概率即可.
45．某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的，的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象.
（1）若输入，，得到如图①所示的图象，求顶点的坐标及抛物线与轴的交点，的坐标
（2）已知点，.
①若输入，的值后，得到如图②的图象恰好经过，两点，求出，的值；
②淇淇输入，嘉嘉输入，若得到二次函数的图象与线段有公共点，求淇淇输入的取值范围.
【答案】（1）解：将，代入，得，
顶点的坐标为，
令，
解得，，
，；
（2）解：①二次函数的图象经过，，
将点，的坐标代入得，解得；
②将代得二次函数.
当抛物线的右半支经过点时，
将代入中，
得，
解得；
当抛物线的左半支经过点时，
将代入中，得，
解得，
当二次函数与线段有公共点时，或，
淇淇输入的取值范围为或.
【解析】【分析】（1）将b=2，c=-3，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）①用待定系数法进行求解即可；
②将c=-1代入解析式，得到抛物线必过点（0，-1），求出x=-1和x=4的函数值，根据抛物线与线段PQ有公共点，列出不等式进行求解即可。
46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+2经过点A、C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点M （m，y1）、N （m+2，y2）分别是抛物线上两点，若当m>-1时，y1y2<0，则m的取值范围为　 　
（3）点D是抛物线上一个动点，当∠DCA=∠BCO时，求点D的坐标．
（4）若点P为抛物线上的点，H点P的横坐标为m，已知点E（m-1，1），F （1-m，1），G （3-m，-2），H（m+1，-2），当点P在四边形EFGH的内部时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：当x=0时，y=2，
∴C (0， 2)，
当y=0时，x=4，
∴A (4，0)，
将A、C点代入y=ax2+x+c(a≠0)，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=x2+x+2；
（2）2（3）解：当y=0时，x2+x+2=0
解得x=4或x=-1，
∴A (- 1，0)，
∵OA=1，OC=2，BO=4，
∴AB=5，AC=2，BC=，
∵AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BCO=∠BAC，
∵∠DCA=∠BCO，
∴∠DCA=∠BAC，
当CD∥x轴时，∠DCA=∠BAC，此时D(3，2)；
在OA上截取CP=AP，则∠CAO=∠ACP，
∴D点在直线CP上，
在Rt△COP中，CP2= CO2+OP2，
∴(4- OP)2=4+OP2，
解得OP=
．P (，0)，
设直线CP的解析式为y=kx+2，
k+2=0，
解得k=
直线CP的解析式为y=x+2，
当x+2=x2+x+2时， 解得x=0或x=
∴D (，)
综上所述： D点坐标为(3，2)或(，)
（4）解：【解析】【解答】解：（2）∵m+2＞m＞-1，
∴点N在M点的右侧，
∵ y1y2<0，
∴ y1＞0，y2＜0，
∴-1＜m＜4，m+2＞4，
解得： 2故答案为： 2（4）∵ E（m-1，1），F （1-m，1） ， G （3-m，-2），H（m+1，-2）
∴EF∥x轴，GH∥x轴，
∴EF=，GH=，
∴EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
由P（m，），
当点P在EF上时，=1，解得m=，m=，
当点P在GH上时，=-2，解得m=，m=，
当点P在EH上时，设EH的直线解析式为y=kx+b，
∴解得k=，b=，
∴EH的直线解析式为y=x+，
当m+=时，解得m=或，
∴当 【分析】（1） 由y=x+2求出A、C的坐标，再将A、C的坐标代入解析式中求出a、c的值即可；
（2）由 y1y2<0可得 y1＞0，y2＜0，即-1＜m＜4，m+2＞4，据此求出m的范围即可；
（3）先求出A、B的坐标，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形， 当CD∥x轴时，∠DCA=∠BAC，此时D(3，2)； 在OA上截取CP=AP，则∠CAO=∠ACP，由D点在直线CP上，利用勾股定理求出P的坐标，再利用待定系数法求出直线CP的解析式，再求出直线CP与抛物线的交点即可；
（4）根据所给点的坐标可得四边形EFGH是平行四边形，分别求出当点P在EF上时和点P在GH上时m的值，再求出点P在EH上时，先求出直线EH的解析式，再求出直线EH与抛物线交点的横坐标，继而得解.
47．设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）若时，求二次函数的表达式；
（2）当时，有最小值为，求的值；
（3）若，求证：．
【答案】（1）解：把，代入，
得，，
解得，
∴二次函数的表达式为
（2）解：由表可知，抛物线经过两点，
∴当或时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴
∵当时，y有最小值为，
∴①当，时，函数有最小值，
∴，解得：；
②当，则或时，函数y取得最小值，
∴，；
综上，的值或
（3）证明：由表和二次函数可得，，，，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的值随的减小而增大，
∴当时，，即
【解析】【分析】（1）利用表格数据以及待定系数法求解即可；
（2）由表可知，抛物线经过两点，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，由对称轴直线公式得，即，当a＞0时，抛物线开口向上，在-1≤x≤3的范围内，x=1时函数值最小，据此求解即可；当a＜0时，图象开口向下，抛物线上离对称轴直线距离越远的点其函数值越小，据此结合x的取值范围，求解即可；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特点求出m、n、p的值，结合二次函数的对称轴直线公式得b=-2a，从而得到n-m-p=-7a-1，利用一次函数的性质即可求证.
48．如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（2，0），C（0，4）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标。
【答案】（1）解：∵抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，
∴即
∵抛物线经过A（2，0），C（0，4）两点，与x轴交于点B．
解得：
∴抛物线解析式为：，
令则
∴
∵直线y＝mx+n经过B，C两点，
∴
解得：
∴直线解析式为：
（2）解：设直线BC与对称轴的交点为M，则此时MA+MC的值最小，
把代入直线解析式，
∴点M的坐标为：
（3）解：P（-1，5）（-1，-3）（-1，2+）（-1，2）
【解析】【解答】解：设∵
∴
①若点B为直角顶点，则
即
解得：
∴
②若点C为直角顶点，则
即
解得：
∴
③若点P为直角顶点，则
即
解得：
∴
综上所述， P的坐标为：.
【分析】（1）将点B和点C的坐标代入直线解析式中，即可求出直线的解析式，将点A、点B和点C代入抛物线解析式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）设直线BC与对称轴的交点为M，根据三角形三边关系定理得到此时MA+MC的值最小，把代入直线解析式得到y，即可求出M的坐标；
（3）设根据点A、点B和点C的坐标规律得到分三种情况讨论，①若点B为直角顶点，②若点C为直角顶点，③若点P为直角顶点，分别根据勾股定理列方程，即可求解.
49．如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．
计算 当平分时，求t的值；
判断 判断与的数量关系，并说明理由；
操作 若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系．
【答案】解： 计算
∵，平分，
∴，
∵三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，
∴．
∴t的值为2.25．
判断
当时，如图1，
据题意，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，如图2，
据题意，得，
∴，
∵，
∴，
∴；
操作．
【解析】【解答】操作：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则．
【分析】本题主要考查角度的和差关系，以及角平分线概念的应用，计算：根据平分，得到，结合旋转速度，列出算式，即可求的时间；判断：分和，两种情况讨论，结合和，求得和，即得到关系；操作：由题意知和，得到，求得和，即可发现其关系．
50．如图，在平面直角坐标系中，，，现同时将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，且点落在轴上，连接，．
（1）直接写出点、的坐标：　 　，　 　
（2）如图，若点为线段的中点，点以每秒个单位长度的速度在线段上从点向点运动，运动时间为秒，则当时，求的值．
（3）如图，已知，点在轴上点的左侧，射线以的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动在射线到达之前，会与射线交于点，过作交于，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由．
【答案】（1）0，2；5，2
（2）解：存在．理由如下：
为中点，
，
，，
，
，
点在线段上，
设，
，
，
，
解得；
此时符合题意．
（3）解：在转动过程中，的值不会改变．如图，
，
，
射线以速度绕点顺时针旋转至停止，
，
即，
射线、同时开始旋转，同时停止运动，设运动时间为ts，
此时，，
同时，
，
，
即，
，
，，
，
，
，为定值．
【解析】【解答】解：（1）如图1，A（-2，0）点先向上移2个单位，向右平移a个单位得到C（0，y），
则a＝2，y＝2，
此时C点坐标为（0，2），
同时B（3，0）上平移2个单位右平移2个单位得D点，
则D点坐标为（5，2），
【分析】（1）由A点平移到C得出点的坐标变化规律，B点的坐标按同样的变化规律即可得出答案；
（2）设P（0，y），先求出△AQB的面积，再根据 可得出关于t的方程，解方程即可作答；
（3）由题意求出0s≤tAE≤30s，由平移的性质再求出∠CMA＝180°-4t，则可求出∠CMA=180°-4，再求出∠CAM＝6t-135°，代入即可得出答案.
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