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2025-2026学年辽宁省鞍山市部分高中高二上学期10月月考
数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点关于点的对称点为，则点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且与互相垂直，则的值是( )
A. B. C. D.
3.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知直线，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值( )
A. B. C. D.
6.如图所示，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线库底与水坝的交线的距离和分别为米和米，的长为米，的长为米，则水库底面与水坝斜面所成二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在三棱锥中，二面角的大小为，与底面所成角为，与所成角为，则，，的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，：，则下列说法正确的是( )
A. 的充要条件为或
B. 若，则
C. 若直线不经过第四象限，则
D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为
10.在空间直角坐标系中，为坐标原点，且，，，则下列结论正确的是( )
A. 的中点坐标为
B.
C.
D. 若，则，，，四点共面
11.如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 平面截该正方体所得的截面为正三角形
B. 平面平面
C. 直线与所成的角为
D. 平面与平面的夹角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为______．
13.若直线经过原点，且经过两直线，的交点，则直线的方程为 ．
14.如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点，则点到平面的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线．
求经过点且与直线垂直的直线方程；
求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．
16.本小题分
如图所示，在圆锥中，是的直径，是正三角形，点，在上，且，．
证明：平面；
设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知正方体的棱长为，，分别为的中点，在线段上，且
求证面
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，是边长为的正三角形，．

求棱的长；
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知四边形为直角梯形，其中，，，，为垂足如图将沿折起，使点移至点的位置，得到四棱锥如图，且满足，点，分别为，的中点．
证明：平面平面；
若平面，试问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为时，假设直线方程为，
依题意，解得，
此时直线方程为，即，
综上所述：所求直线方程为或．
16.
证明：因为点是的中点，，
所以，
又，即，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：取的中点，连接，，
因为，所以是等边三角形，
所以，即，
又平面，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设底面圆的半径为，则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.【答案】解：证明：法一、在正方形中，
由条件易知，所以，
则，
故，即，
在正方体中，易知平面，且，
所以平面，
又平面，，
，平面，平面；
法二、如图以为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的法向量，
则，令，则，
所以是平面的一个法向量，
易知，则也是平面的一个法向量，平面；
同上法二建立的空间直角坐标系，
所以，
由知是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，所以
令，则，
所以是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为；
因为，所以，
又是平面的一个法向量，
则到平面的距离为．
所以点到平面的距离为．

18.【答案】解：因为，，所以，
中，由余弦定理，
即；
由可知中，满足，
所以，且，，平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面；
如图，以点为原点，为轴的正方向，作轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

19.
证明：由题知，即，且，
因为，面，，
所以面，因为面，所以，
又由，是所在棱的中点，得，所以；
易知四边形是正方形，可知，所以；
又由，且，面，所以面，
因为面，所以面面；
由，，知，可以分别以为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
不妨记，设，
可得，，，，，
则，
因为面，面，所以，
故，解得，即；
，
记平面的法向量为，可得
，取得，即；
假设棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，则，
由题知，
解得或舍去，即，所以．
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