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2025-2026学年贵州省部分学校高二上学期10月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.若直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
3.点关于轴对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
5.已知直线的一个方向向量为，且直线经过，两点，则( )
A. B. C. D.
6.如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，两点在直线上，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在直三棱柱中，，，是线段上的动点，则点到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：和直线：，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知向量，则下列向量中，使是空间的一个基底的是( )
A. B. C. D.
11.已知，，是直线：上的动点，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正方体中，，是棱的中点，则______．
13.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，是棱的中点，则______．
14.已知，是直线：上的两点，且，，则的面积的最大值为______，此时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，，，，分别是棱，，，的中点．
求点，，的坐标．
证明：，，，四点共面．
证明：平面．
16.本小题分
已知的三个顶点坐标分别为，，．
求边上的高所在直线的方程；
已知过点的直线与，轴的正半轴分别交于，两点，若为坐标原点的面积为，求直线的一般式方程．
17.本小题分
如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，是棱的中点，点在棱上，且，设，，．
用向量，，表示向量与；
求向量与夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，是棱上的动点．
设是棱的中点．
证明：平面．
求点到平面的距离．
求平面与平面夹角的最小值．
19.本小题分
将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接得到三棱锥，且是棱的中点．
证明：；
若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意，在棱长为的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，
所以的坐标为，
的坐标为，
的坐标为；
证明：由题意，如图所示，连接，
则，，，
可得，
可得，
可得，
可得，，，四点共面，得证；
证明：由题意可得，
则，
所以，，
因为平面，平面，且，
所以平面，得证．
16.
由题意可得直线的斜率为，则边上的高所在直线的斜率为，
因为边上的高所在直线过点，所以方程为，即，
即边上的高所在直线的方程为；
因为直线与，轴的正半轴分别交于，两点，
则设直线的方程为，，则，，
因为直线过点，所以，
因为的面积为，所以，
联立，解得或，
所以直线的方程为或，
即直线的一般式方程为或．
17.
连接，因为四边形是正方形，所以，
则，
因为是棱的中点，所以，
因为，所以，
则
．
因为四边形是正方形，所以，即，
因为，且，
所以，
则，
，
，
因为，
所以，
即向量与夹角的余弦值是．
18.
因为平面，，平面，
又四边形是正方形，所以，，两两垂直，
故以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
证明：连接，交于点，连接，如上图，
则，，，，
所以，
则，又，不共线，
所以，又平面，平面，
所以平面；
由题意，得，
设平面的法向量为，，
则，令，则，，所以，
所以点到平面的距离；
由题意可得，则，设，，
则，所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
则平面与平面夹角的最小值为．
19.
证明：如图，取棱的中点，连接，，则，
以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
，，
所以，
所以，即；
连接因为，且是棱的中点，
所以，
因为，且是棱的中点，所以，
则是二面角的平面角，故，
因为是棱的中点，所以，
所以，
所以，
则，解得，
因为，所以，则三棱锥的高，
故三棱锥的体积为；
作，垂足为，则，
易证平面，则，
因为平面，平面，且，
所以平面，即点到平面的距离为，
因为是棱的中点，所以点到平面的距离，
设直线与平面所成的角为，则，
设，则，所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，即直线与平面所成角的正弦值的最大值是．
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