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2025-2026学年广东省八校联盟高一上学期质检数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，那么( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集为( )
A. B. ，或
C. D. ，或
4.“”是命题“，”为真命题的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.若，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
7.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D. 或
8.对于任意两个数，，定义某种运算“”如下：当，同为奇数或同为偶数时，；当，一奇一偶时，，则集合的子集个数是个．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设全集，若集合，则( )
A. B. C. D.
10.若正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最小值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 有最大值为
11.定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”下列命题正确的是( )
A. 方程是“和谐方程”
B. 若关于的方程是“和谐方程”，则
C. 若关于的方程是“和谐方程”，则函数的零点为和
D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最小值为______．
13.已知集合，，且，则的值为 ．
14.若集合，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求和；
若，求实数的取值的集合．
16.本小题分
设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根．
若为真，求实数的取值范围；
若、有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙足够长的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米．
若菜园面积为平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？
若使用的篱笆总长为米，求的最小值．
18.本小题分
设是由若干正整数组成的集合，且存在个不同的元素，，，使得，则称为“等差集”．
若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的；
若集合是“等差集”，求的值．
19.本小题分
设函数．
若，求的解集．
若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
解关于的不等式：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：当时，，
所以，；
因为，，
当时，，无解；
当时，由，可得
解得．
综上所述，实数的取值的集合为．
16.解：根据题意，对于：关于的方程有两个不相等的实数根，
对于方程，必有，解可得：或，
因为真，故实数的取值范围为
根据题意，对于，因关于的方程无实数根，
所以，解可得：．
若为真，故的取值范围为．
、有且仅有一个为真命题，所以、一真一假，
分种情况讨论：
当真假时，，解可得：或；
当假真时，，解可得：，
综上所述：实数的取值范围为．
17.解：由题意可得，，所用篱笆的总长为，
因为，当且仅当，即时取等号，所以当菜园的长，宽时，所用篱笆的总长最小；
由题意可得，，
所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为．
18.
19.解：
由函数，
若，可得，
又由，即不等式，
即，
因为，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式的解集为，
即的解集为；
由对一切实数恒成立，
等价于，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意，
当，则满足，
即，解得，
所以的取值范围是；
依题意，
等价于，
当时，不等式可化为，解集为，
当时，不等式可化为，
此时，
所以不等式的解集为，
当时，
不等式化为，
当时，，
不等式的解集为；
当时，，
不等式的解集为或；
当时，，
不等式的解集为或；
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为．
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