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北京市交通大学附属中学第二分校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
一、选择题
1．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（ ）
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
2．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．10
3．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除中，底面是正方形，∥平面，，其余棱长都为，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为（ ）
A．15 B． C．25 D．
6．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论：
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S的面积为；
④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，、分别是、的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 .

8．如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中， ；图形的面积为 ．
9．已知正方体的棱长为1，则在正方体的顶点中，满足到平面的距离为的一个顶点为 .
10．某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的高为 ，体积为 .
11．已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有 条.
12．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），分别是棱上的中点，有以下结论：

①在平面上的投影图形的面积为定值；
②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形；
③的最小值是；
④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
13．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面.
证明：
(1)；
(2)平面平面.
14．如图所示，点P是平面外一点，平面，，.
(1)求证：平面；
(2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
15．如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于．
(1)求该多面体的体积；
(2)求证：平面；
(3)判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明．
16．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且．
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线．
试卷第4页，共5页
试卷第5页，共5页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B B D C D
7．
8．2；3.
9．点（中任填一个即可）（答案不唯一）
10．；.
11．1
12．①④
13．
（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点.
而是的中点，则，又平面，平面，则平面，
而平面平面，平面，所以.
（2）由，分别是，中点，得，
又平面，平面，则平面，
由（1）知，又平面，平面，则平面，
又，平面，所以平面平面.
14．
（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接，
，
∴，.
∵平面，平面，平面平面，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下：
如图，在上取点使得，连接.
∵，.
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
由（1）得，平面，
∵，平面，平面，
∴平面平面，
∵平面，
∴平面.
15．
（1）长方体的体积为，
被截去的三棱锥的体积为，
所以多面体的体积为．
（2）证明：在长方体中矩形中，∥，，
所以四边形为平行四边形．
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（3）直线直线
证明：由（2）有平面，
又平面，平面平面，
所以.
16．
（1）证明：在中，∵为的中点，
∴．
在中，∵，
∴，∴，
∴四点共面．
（2）∵，，，
∴平面，平面，
又平面平面，
∴直线．∴三点共线．
答案第2页，共3页
答案第3页，共3页

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