资源简介

嘉定一中20252026学年上学期高三期中数学试卷
考生注意:
1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟。
2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号。
一、填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1题至第6题每个空格填对得4分,第7题至第12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.
1.已知全集，则集合_____.
2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为_____.
3.不等式的解集为_____.
4.已知，则_____.
5.在的展开式中，常数项为_____.(用数字作答)
6.已知点，则在方向上的投影向量坐标为_____.
7.设，则的最小值为_____.
8.已知是首项为1,公差为1的等差数列，是首项为1，公比为的等比数列.若数列的前三项和为2.则_____.
9.已知是函数的极大值点,那么的取值范围是_____.
10.已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个,则的取值范围是_____.
11.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱,并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.为避免冰箱内部制冷液逆流,要求运送过程中发生倾斜时,外包装的底面与地面的倾斜角不能超过,且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体,如图所示,记长方体的纵截面为矩形,而客户家门高度为2.3米,其他过道高度足够.则小金将冰箱运送入客户家中时,倾斜角的度数至少为_____.(精确到0.01)
12.平面中的三个单位向量若,则的最大值与最小值之和为_____.
二、选择题(本大题共有4题，满分18分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,第13题和第14题选对得4分,第15题和第16题选对得5分,否则一律得零分。
13.下列函数中为偶函数的是( )
A. B. C. D.
14以下说法正确的个数为( )
①直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是
②平面内两个非零向量的夹角的取值范围是
③空间两条异面直线所成角的取值范围是
A.0 B.1 C.2 D.3
15.一枚质地均匀的正方形骰子,其六个面分别刻有六个数字,投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”:则下列事件中与相互独立的事件是( )
A.第一次朝上的数字是偶数 B.第一次朝上的数字之和是8
C.两次朝上的数字之和是8 D.两次朝上的数字之和是7
16.已知,函数在点处的切线均经过坐标原点,则( )
A. B. C. D.
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
在三棱锥中,平面平面.
(1)若是棱的中点，证明:平面，并求三棱锥的体积；
(2)求锐二面角的大小.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数.
(1)若曲线过点，求的解集；
(2)若存在使得，，成等差数列，求的取值范围
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,有一块边长为的正方形球场,其中阴影部分是一个半径为30的扇形,由于天气原因,这个扇形内有积水,无法在上面踢球,但是球场的其余部分可以正常使用.一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地进行训练,其中两点分别在边上,点落在弧上(包括两点).设，矩形的面积为.
(1)求关于的函数表达式；
(2)求的最大值，并求此时的值.
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知双曲线
(1)，求双曲线的渐近线方程.
(2)设，为为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为1，且，求的值;
(3)已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的方程.
21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
已知坐标平面上的曲线和异于原点的点,若存在的两条过的切线,使得它们互相垂直,且所成直角被直线平分.则称为的一个“点”.
(1)判断曲线和是否有“点”(无需说明理由);
(2)是否存在，使为曲线()的一个“点”？说明理由:
(3)设，且曲线有“点证明:的最小值与无关，并求出该最小值.
嘉定一中20252026学年上学期高三期中数学试卷
考生注意:
1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟。
2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号。
一、填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1题至第6题每个空格填对得4分,第7题至第12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.
1.已知全集，则集合_____.
解析：
2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为_____.
解析：
所以复数的虚部为
3.不等式的解集为_____.
解析：
4.已知，则_____.
解析：解法一
解法二
5.在的展开式中，常数项为_____.(用数字作答)
解析：展开式中的常数项为
6.已知点，则在方向上的投影向量坐标为_____.
解析：在方向上的投影为
7.设，则的最小值为_____.
解析：
当且仅当时取等
8.已知是首项为1,公差为1的等差数列，是首项为1，公比为的等比数列.若数列的前三项和为2.则_____.
解析：由题意得
所以
所以的前三项和为
即
解得或(舍去)
所以
9.已知是函数的极大值点,那么的取值范围是_____.
解析：
令,得或
①当，即时,则当时,,
当或时,
所以在上单调递减,在,上单调递增
所以是的极小值点,是的极大值点,不符合题意;
②当,即时,则,所以在上单调递增,无极值,不符合题意;
③当,即时,则当时,,
当或时,
所以在上单调递减,在上单调递增
所以是的极大值点,符合题意；
综上,
10.已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个,则的取值范围是_____.
解析：圆心为，圆心到直线距离为
因为圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个
所以
所以
11.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱,并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.为避免冰箱内部制冷液逆流,要求运送过程中发生倾斜时,外包装的底面与地面的倾斜角不能超过,且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体,如图所示,记长方体的纵截面为矩形,而客户家门高度为2.3米,其他过道高度足够.则小金将冰箱运送入客户家中时,倾斜角的度数至少为_____.(精确到0.01)
解析：记长方体的纵截面为矩形，，，
过点作地面于点，作平行于地面直线使得，
则，
则冰箱倾斜后实际高度，
根据三角函数的恒等变换可得,
其中，则，
由题意可得时才能按要求运送入客户家中，
即，由，，
故，
则，
则小金将冰箱运送入客户家中时，倾斜角的度数至少为.
故答案为.
12.平面中的三个单位向量若,则的最大值与最小值之和为_____.
解析：
当时，
当时，
所以的最大值与最小值之和为
二、选择题(本大题共有4题，满分18分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,第13题和第14题选对得4分,第15题和第16题选对得5分,否则一律得零分。
13.下列函数中为偶函数的是( )
A. B. C. D.
解析：为偶函数.故A正确;
故选A.
14以下说法正确的个数为( )
①直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是
②平面内两个非零向量的夹角的取值范围是
③空间两条异面直线所成角的取值范围是
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是，正确；
②平面内两个非零向量的夹角的取值范围是，错误；
③空间两条异面直线所成角的取值范围是，正确；
故选C.
15.一枚质地均匀的正方形骰子,其六个面分别刻有六个数字,投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”:则下列事件中与相互独立的事件是( )
A.第一次朝上的数字是偶数 B.第一次朝上的数字之和是8
C.两次朝上的数字之和是8 D.两次朝上的数字之和是7
解析：抛掷骰子两次,共有个基本事件数,
则,
共18个基本事件,则,
设事件为第一次朝上面的数字是偶数,则事件与事件是对立事件，故错误；
设事件为第一次朝上面的数字是1,则,故错误;
设事件为两次朝上面的数字之和是8,
则共5个基本事件,则,
且,则,
,所以C错误;
设事件为两次朝上面的数字之和是7,则,
则,且,则
因为,所以事件与事件相互独立.
故选D.
16.已知,函数在点处的切线均经过坐标原点,则( )
A. B. C. D.
解析：由题意知,,则,所以曲线在点,)处的切线方程分别为
因为切线均过原点,所以,
即,
得,故AB错误;
由,
得,画出函数与图象,如图,
设,
如图易知)
设为直线的斜率,为直
得,即,又,
即
解得,故正确,错误,
故选.
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
在三棱锥中,平面平面.
(1)若是棱的中点，证明:平面，并求三棱锥的体积；
(2)求锐二面角的大小.
解析：(1)证明:连接，
因为，所以，
因为平面平面，交线为，
平面,
所以平面，
因为,所以,,,
故，
，由勾股定理得，
又平面，
三棱锥的体积；
(2)由(1)知，平面，，平面，
所以，，又，故，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的一个法向量为，
则,则,
令得，故，
又平面的一个法向量为，
故，
由图可知，二面角为锐角，
故二面角的大小为.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数.
(1)若曲线过点，求的解集；
(2)若存在使得，，成等差数列，求的取值范围
解析：(1)若曲线过点，则，
所以
所以，在上单调递增，
所以不等式等价于,
所以不等式的集为.
依题意，存在使得，，成等差数列，
所以存在使得，且，
即存在使得，
即存在使得，
即存在使得，
即存在使得，
而当且仅当,时等号成立，
所以的取值范围是.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,有一块边长为的正方形球场,其中阴影部分是一个半径为30的扇形,由于天气原因,这个扇形内有积水,无法在上面踢球,但是球场的其余部分可以正常使用.一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地进行训练,其中两点分别在边上,点落在弧上(包括两点).设，矩形的面积为.
(1)求关于的函数表达式；
(2)求的最大值，并求此时的值.
解析：(1)延长交于延长交于，
由四边形是正方形，四边形是矩形，可知，
由
可得，，
所以，
所以
故关于的函数表达式为.
(2)令，
则，即，
而,
由,则,
即，即，
所以，
函数开口向上，对称轴为，所以当时，即，
解得或，此时取得最大值，最大值为.
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知双曲线
(1)，求双曲线的渐近线方程.
(2)设，为为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为1，且，求的值;
(3)已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的方程.
解析：(1)，双曲线，所以渐近线方程为
(2)
当时，
此时
解得，
当时，
此时
解得，
综上：
(3)将点代入双曲线方程得
解得：
故双曲线方程为
显然直线斜率存在；
设
带入化简得：
整理得
当时，，此时恒过，显然不过
所以直线方程为
21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
已知坐标平面上的曲线和异于原点的点,若存在的两条过的切线,使得它们互相垂直,且所成直角被直线平分.则称为的一个“点”.
(1)判断曲线和是否有“点”(无需说明理由);
(2)是否存在，使为曲线()的一个“点”？说明理由:
(3)设，且曲线有“点证明:的最小值与无关，并求出该最小值.
(1)由题意，函数的导数为，
如图所示，设，直线，为函数的两条切线，
且，平分，
所以直线的斜率为，
令,解得，即切点的坐标为，
所以直线的方程为，
即,则,故函数存在“点”.
如上图所示，函数的导函数为，
设，直线，为函数的两条切线，
且，平分，
所以直线的斜率为，
令,解得,即切点的坐标为,
所以直线的方程为，即，
即，则，即，两点重合，故函数不存在“点”.
(2)如图所示，直线为曲线的两条切线，
且，平分，
所以，，故四边形为正方形，
故，即.
验证:若曲线,则,
设过的直线方程为，即，
则，解得或，满足条件，两直线垂直，
所以存在，使得为曲线的一个“点”.
(3)证明:由题意，导函数为，
若曲线有点，则由角平分线性质，存在曲线的两条互相垂直的切线到的距离相等.
设这两条切线对应的切点分别为，，
则对应切点所对应的切线斜率分别为，
则两切线方程分别为.
因为这两条切线垂直，注意曲线没有垂直于轴的切线，故不妨设.
所以
原点到它们的距离相等，
同时，由于，则是奇函数，不妨设.
代入消元得,
于是.令,
则由得:，解得.
设，考虑关于的函数，
则，
故当或时，严格单调递增；
当时,严格单调递减.
注意时，
故时取得正的最小值.
即的最小值为，显然与无关.

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