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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A C D D B BD ACD
题号 11
答案 BCD
1．B
【详解】对于A，直线的斜率，则倾斜角；
对于B，直线的斜率，则倾斜角；
对于C，直线的倾斜角；
对于D，直线的倾斜角，
所以直线的倾斜角最大.
故选：B.
2．C
【详解】由题设，，而，则两圆相离，应选答案C．
3．B
【详解】因为，，
所以，
所以，
故选：B.
4．A
【详解】，，则在上的投影向量的模为，
则点A到直线的距离为．
故选：A.
5．C
【详解】连接，
因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以，
因为，所以，
所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆.
故选：C
6．D
【详解】

当时，曲线为
当时，曲线
画出图像如上图，
所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积
圆的半径为，两圆对称，
故为
故选：D
7．D
【详解】由，，，得，
则椭圆长轴长，由点在椭圆上，得，又，
则，
因此，所以的面积为.
故选：D
8．B
【详解】经过点的直线的方程为，即，
则直线的一个方向向量为.
又经过点的平面的方程为，
即，所以的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，则.
故选：B.
9．BD
【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断.
【详解】椭圆即为，
故，
对于A，，故A错误；
对于B，的周长为，故B正确；
对于C，的最小值为，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：BD.
10．ACD
【分析】利用合并参数可求直线所过定点，利用点在圆内可求半径范围，利用垂直关系可求长的最小值，利用点到直线的距离可判断D.
【详解】由直线l：，可化为，
由方程组，解得，即直线过定点，A正确；
因为直线与圆总有两个公共点，得点在圆内部，
所以，解得，B不正确；
当时，圆的方程为，得圆心，
所以，可得线段长的最小值为，C正确；
当时，圆的方程为，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，
所以到直线的距离为2，所以，D正确.
故选：ACD
11．BCD
【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于：若，则点即为点，进而可得结果；对于、：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断；对于：若，可得点在线段上（包括端点），结合垂直关系分析判断.
【详解】由，平面平面，平面平面，平面，得平面，
又N在侧面上（包含边界），设，且，
于是
，
而，则，且，
对于，若，则，点即为点，显然平面，错误；
过作，垂足为，得，，
由平面，平面，得，而，平面，
则平面，因此，
对于，显然当点与点重合时，最小，此时，则，正确；
对于，若，则，即点在线段上（包括端点），
由平面，平面，得，正确；
对于，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时，
于是，正确.
故选：BCD.
12．
【详解】若方程表示椭圆，则，联立解得且.
故答案为：.
13．
【详解】设平面ABD与平面CBD的夹角为，
由题意可得：，
∵，
则，
即，解得，
由，可得，
故平面ABD与平面CBD的夹角为.
故答案为：.
14．，
【详解】易知，圆的半径平方为，
故圆的方程为，
两圆方程作差得，与联立得或
不妨令，
所以直线PA或PB的方程为或
故答案为：， .
15．（1）两条对角线的长分别为：，；（2）.
【详解】解：（1）因为平行四边形是以，为邻边的平行四边形，
所以这个平行四边形对角线对应的向量为和
长度为、
（2）因为，，
所以，，
所以
所以
故以，为邻边的平行四边形的面积：
16．(1)
(2)，
【详解】（1）由题意，化简，
又因为直线PA、PB的斜率存在，则.
故动点的轨迹的方程为.
（2）设，，由题意，显然，
则有，，两式作差可得，
即有，
又为线段AB的中点，
则有，，代A即得直线的斜率为，
直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点，
整理可得直线的方程为.
联立，
设，，则，，
故.
综上，直线的方程为，弦长
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，平面，所以，.
又，所以以为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即与不垂直，
所以与平面不平行.
（2）设且，则，所以.
由（1）知平面的一个法向量，
所以到平面的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
18．(1)；
(2)16；
(3)存在，点.
【详解】（1）设，由得，
即，
整理得①.
（2）设，因为，，三点，
所以
，
，
因为点P在圆上运动，
则，解得，
所以，
当时，取得最大值88，
当时，取得最小值72.
所以取的最大值与最小值之差为.
（3）由消去并整理得，
设，，
，
假定在轴上存在定点，使得，
设，则，
即，整理得，
则，化简得，
当时，，当时，，因此当时，恒成立，
所以在轴上存在定点，使得，点.
19．(1)证明见解析
(2)应该把点取在距离点米处
【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆，而底面圆，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可证，
又，平面，所以平面，
即拉绳所在直线和平面垂直；
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，
设，
所以
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，
故应该把点取在距离点米处.广州市真光中学 2025学年第一学期期中考试
高二数学试卷
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1．下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A． B．
C． D．
2．圆与圆的位置关系是
A．相交 B．相外切 C．相离 D．相内切
3．四面体中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．若，，，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ）
A．圆 B．射线
C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆
6．由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．若透明窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．5
8．在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点的直线l的方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分
9．已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ）
A．C的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为3 D．的最大值为16
10．已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（ ）
A．直线过定点
B．半径的取值范围是
C．当时，线段长的最小值为
D．当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则
11．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（ ）
A．若，则平面ACD B．当最小时，
C．若，则 D．当最大时，
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分
12．若方程表示椭圆，则的取值范围是 ．
13．如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为 ．
14．已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于A，B两点，则直线PA或PB的方程分别为 ， ．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．空间直角坐标系中，分别以，为邻边作一个平行四边形.
（1）分别求这个平行四边形两条对角线的长；
（2）求这个平行四边形的面积.
16．在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程和弦长；
17．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，.
(1)已知点G为上一点，，求证：与平面不平行；
(2)已知点F到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值.
(1)求圆的方程；
(2)已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差.
(3)直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；
19．马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上.
(1)当点取在距离点米处时，证明拉绳所在直线和平面垂直；
(2)经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.

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