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2025-2026学年黑龙江省齐齐哈尔市高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.命题“ > 2， 2 1 > 0”的否定为( )
A. > 2， 2 1 ≤ 0 B. ≤ 2， 2 1 ≤ 0
C. > 2， 2 1 ≤ 0 D. ≤ 2， 2 1 ≤ 0
1
2.已知集合 = { ∣ | | < 2且 ∈ }, = { | 2 > }，则 ∩ =( )
4
A. { 1,1} B. { 1,0,1} C. {0} D. { 2, 1,0,1,2}
3.若函数 = ( )的定义域为 = { | 2 ≤ ≤ 2}，值域为 = { |0 ≤ ≤ 2}，则函数 = ( )的图象可
能是( )
A. B.
C. D.
4.下列各组函数表示相同函数的是( )
A. ( ) = + 1， ( ) = | + 1| B. ( ) = 1， ( ) = 0
3+
C. ( ) = √ 2， ( ) = (√ )2 D. ( ) = 2 ， ( ) = +1
1 1
5.已知函数 ( )满足： ( ) = 2 + 2，则 ( )的解析式为( )
A. ( ) = 2 + 2 B. ( ) = 2
C. ( ) = 2 + 2( ≠ 0) D. ( ) = 2 2( ≠ 0)
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6.不等式 < 0成立的一个必要不充分条件是( )
2
A. 0 < < 2 B. 0 < < 1 C. 1 < < 3 D. ≥ 1
1 1
7.若不等式 2 + 2 + < 0的解集是( ∞, ) ∪ ( , +∞)，则不等式 2 2 + ≤ 0的解集是( )
3 2
1 1 1 1
A. [ , ] B. [ , ] C. [ 2,3] D. [ 3,2]
2 3 3 2
1 2 1
8.若正实数 ， 满足 + 2 = 4，不等式 2 + > + 有解，则 的取值范围是( )
3 +1
4 4
A. ( , 1) B. ( ∞, ) ∪ (1, +∞)
3 3
4 4
C. ( 1, ) D. ( ∞, 1) ∪ ( , +∞)
3 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的为( )
A. 若 > > 0 > > ，则 > B. 若 2 > 2，则 >
1 1
C. 若 > > 0且 < 0，则 2 > 2 D. 若 > 且 > ，则 < 0
10.已知函数 ( )是一次函数，满足 ( ( )) = 9 + 8，则 ( )的解析式可能为( )
A. ( ) = 3 + 2 B. ( ) = 3 2 C. ( ) = 3 + 4 D. ( ) = 3 4
11.下列命题正确的是( )
1 1
A. <
√ 5 2 √ 6 √ 5
B. 若函数 ( )的定义域为[2,5]，则函数 ( + 1)的定义域为[1,4]
C. 函数 = + √ 1的值域为[0, +∞)
D. 若 > 0， > 0，且 = + + 3，则 ≥ 9
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知函数 ( ) = √ 2 + 2 + 3，则 ( )的定义域为______．
1 1 8
13.已知 > 0， > 0，且 = 1，则 + + 的最小值为 ．
2 2 +
14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并
列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为： = [ ]( ∈ )，[ ]表示不超过 的最大整数，如
[ 1.6] = 2，[1.6] = 1，[2] = 2，则关于 的不等式[ ]2 + [ ] 12 < 0的解集为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
+ 2 ( ≤ 1),
已知函数 ( ) = { 2 (1 < < 2),
2 ( ≥ 2)
3
(Ⅰ)求 (3)， ( )， [ (0)]；
2
(Ⅱ)若 ( ) ≤ 5，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知集合 = { | 1 < < 2 + 1}， = { | 2 < < 2}．
(1)当 = 2时，求 ∪ ， ∩ ； ； ∩ ( )；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿
化．如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围(斜线部分)均摆满宽度相同的花，已知
两块绿草坪的面积均为400平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
18.(本小题17分)
已知命题 :关于 的方程 2 + 2 1 = 0有实数根．
命题 : ∈ [1,4]，不等式 2 + 4 3 ≥ 2 4 恒成立．
(1)若命题 为真命题，求实数 的取值范围;
(2)若命题 与命题 一真一假，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = + 1，二次函数 ( )满足： ( + 2) ( ) = 4 且 (1) = 4．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ∈ ，解关于 的不等式( + 1) 2 ( + 4) 3 > ( ) ( )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[ 1,3]
13.4
14.[ 3,3)
+ 2 ( ≤ 1),
15.解：(Ⅰ) ∵函数 ( ) = { 2 (1 < < 2),
2 ( ≥ 2)
3 9
∴ (3) = 6， ( ) = ， [ (0)] = (2) = 4；
2 4
+ 2 ( ≤ 1),
(Ⅱ) ∵函数 ( ) = { 2 (1 < < 2), ( ) ≤ 5,
2 ( ≥ 2)
≤ 1 1 < < 2 ≥ 2
∴可知：{ 或{ 2 或{ ， + 2 ≤ 5 ≤ 5 2 ≤ 5
5
解得 ≤ 1或1 < < 2或2 ≤ ≤ ，
2
5
所以 的取值范围( ∞, ].
2
16.
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17.解：(1)设草坪的宽为 米，长为 米，
因为两块绿草坪的面积均为400平方米，
400
所以 = ，

因为矩形草坪的长比宽至少多9米，
400
则 = ≥ + 9，即 2 + 9 400 ≤ 0，

解得0 < ≤ 16，
所以草坪宽的最大值为16米；
(2)设整个绿化面积为 平方米，
400 300 300
由题意可得， = (2 + 6)( + 4) = (2 + 6)( + 4) = 8( + ) + 824 ≥ 8 × 2√ + 824 =

160√ 3 + 824，
当且仅当 = 10√ 3时取等号，
所以整个绿化面积的最小值为(160√ 3 + 824)平方米．
18.解：(1)若命题 为真命题，则关于 的方程 2 + 2 1 = 0有实数根，
当 = 0时，2 1 = 0有实数根，
当 ≠ 0时，则 = 4 + 4 0，解得 1且 ≠ 0，
综上，实数 的取值范围为[ 1, +∞)．
(2)若命题 为真命题，则 ∈ [1,4]，不等式 2 + 4 3 ≥ 2 4 恒成立，
当 ∈ [1,4]时， 2 + 4 3 = ( 2)2 + 1 ∈ [ 3,1]，
则 2 4 3，解得1 3．
1
当 真 假时，有{ ，则 1 < 1或 > 3；
> 3 或 < 1
< 1
当 假 真时，有{ ，则 ∈ ．
1 3
综上， 1 < 1或 > 3，
故实数 的取值范围为[ 1,1) ∪ (3, +∞)．
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19.解：(1)设二次函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)，
所以 ( + 2) ( ) = ( + 2)2 + ( + 2) + ( 2 + + ) = 4 ，
4 = 4
所以4 + 4 + 2 = 4 ，所以{ ，
4 + 2 = 0
= 1
解得{ ，即 ( ) = 2 2 + ，
= 2
所以 (1) = 1 2 + = 4，可得 = 3，
即 ( ) = 2 2 3．
(2)因为( + 1) 2 ( + 4) 3 > ( ) ( )，
所以 2 ( + 1) + 1 > 0，所以( 1)( 1) > 0，
当 = 0时， + 1 > 0，所以 < 1，此时解集为{ | < 1}；
1 1
当 < 0时，即 < 0，此时解集为{ | < < 1}，

1 1
当0 < < 1时，即 > 1，此时解集为{ | < 或 > 1}，

1
当 = 1时，即 = 1，此时解集为{ | ≠ 1}，

1 1
当 > 1时，即0 < < 1，此时解集为{ | < 1或 > }，

1
综上，当 < 0时，解集为{ | < < 1}，

当 = 0时，解集为{ | < 1}；
1
当0 < < 1时，解集为{ | < 1或 > }，

当 = 1时，解集为{ | ≠ 1}，
1
当 > 1时，解集为{ | < 或 > 1}．

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