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北师大版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷三（范围：1-4章）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3.1415926
2．（2023八上·内江期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．
3．已知在第二象限内的点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（　　）
A． B．
C．或 D．或
4．（2025八上·长沙开学考）下列等式正确的是（　　）
A．=-3 B．=±12 C．=-2 D．-=-5
5．（2024八上·慈溪期末）点在正比例函数的图象上，若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．且
6．（2024八上·双流期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示的蜻蜓标本可以看作是轴对称图形，已知点A(-3，1)，则其关于y轴对称的点 B的坐标为 (　　)
A．(3，1) B．(3，-1) C．(-3，-1) D．(1，3)
8．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书中，记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程（单位：里）关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①良马的速度比劣马的速度快80里/日；②劣马比良马早出发12日；③点表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为　 　 .
10．（2024八上·长春期末）已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为xcm，腰长为ycm，则y与x之间的函数关系式是　 　.（不必写出自变量的取值范围）
11．（2024八上·北京市期末）如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为　 　．
12．（2024八上·禅城期末）如图射线①是公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，目前该线路亏损．射线②是公司提高票价后的函数图象，两射线与x轴的交点坐标分别是、，则当乘客为1万人时，提高票价后的收支差额较提价前增加　 　万元．
13．（2024八上·福田期末）如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点D为第一象限内一点，连接且轴，过点且平行于x轴的直线l交于点C，交于点F，连接，，将沿着直线翻折，得到，点E正好落在直线l上，若，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024八上·坪山期末）化简：
（1）
（2）
15．（2024八上·南海期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）和关于x轴对称，请在坐标系中画出；
（2）求的面积；
（3）在x轴上画出点P，使得有最小值，并保留找该点的痕迹，求出的最小值．
16．（2024八上·杭州期中）在 ABC中， AD⊥BC， E是BC上的一点.
（1）若E是 BC的中点， AB=10， AD=6， ∠C=45°，求AE的长：
（2）若AE 是∠BAC的角平分线， ∠B=40°，∠C=60°， 求∠EAD 的度数.
17．（2025八上·宁波期末）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛。甲无人机从地面起飞乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）甲无人机的速度是　 　米/秒，乙无人机的速度是　 　米/秒；
（2）线段PQ对应的函数表达式；
（3）请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间
18．（2024八上·郫都期中）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）化简： ； ．
（2）计算：．
（3）已知m是正整数，，，，求m．
19．（2024八上·宝安期中）我们知道：，由此我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k、b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数．
（1）已知函数．
①若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ；
②若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ．
（2）如图，一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与一次函数的图像相交于两点，
①求该一次函数的表达式．
②一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与y轴相交于点C，求的面积．
③在一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2024八上·龙岗期中）如图1，直线与x轴、y轴分别交于两点，直线与x轴、y轴分别交于两点．
（1）请直接写出点的坐标及三角形的面积：B（ ， ）、C（ ， ） ▲ ；
（2）如图2，点P为线段上一点，若，请求出点P的坐标；
（3）如图3，点D是的中点，M是上一点，连接，过点D作交于点N，连接，若，请直接写出点M的坐标：M（ ， ）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】 选项A为， π 是无理数，而无理数除以非零有理数仍为无理数，因此 A正确；
选项B为，分数为有理数，不是无理数，因此B不符合；
选项C为，计算得 = 2 ，2是整数，属于有理数，因此C不符合；
选项D为3.1415926，此数为有限小数，属于有理数，故D不符合。
故选：A.
【分析】整数和分数统称有理数；无限不循环小数是无理数，特别注意：π是无理数.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项.
3．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在第二象限内的点的坐标为，
∴，
∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：A．
【分析】根据第二象限的点横坐标为负数，纵坐标为正数得出，根据点到x轴距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，并结合点到两坐标轴的距离相等列出含绝对值符号的方程，进而根据绝对值的代数意义化简，求解得出a的值，即可求出点P的坐标.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；平方根的概念与表示；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A、原式=|-3|=3，错误；
B、原式=12，错误；
C、原式没有意义，错误；
D、原式=-5、正确；
故答案为：D.
【分析】原式利用平方根定义及二次根式的性质判断即可得到结果.
5．【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】因为，所以y随x的增大而减小，所以，即。
故答案为：Ａ.
【分析】由正比例函数的增减性可知：当比例系数为负时，所以y随x的增大而减小；反之，所以y随x的增大而增大.
6．【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：A．
【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此可求解.
7．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A与点B关于y轴对称，点A 的坐标为(-3，1)，
∴点B的坐标为(3，1)；
故答案为：A，
【分析】根据点关于y轴对称的特点：横坐标横坐标互为相反数；即可根据点A 的坐标为(-3，1)即可得到点B的坐标，解答即可.
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①良马的速度为（里/日），
劣马的速度为（里/日），
（里/日），
∴良马的速度比劣马的速度快90里/日，原结论错误，不符合题意，
②由图象知，劣马比良马早出发12日，正确，符合题意；
③两图象的交点坐标为，则点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马，正确，符合题意．
故正确的是②③．
故选：C．
【分析】求出劣马速度为150(里/日)，良马速度为240(里/日)，然后逐项判断解答即可.
9．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：据题意得：，
n=，
∴mn=3×=.
故填：.
【分析】根据题意，将“×”“ ”代入中的“”，化简得到m、n的值，最后求出mn的值.
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；列一次函数关系式
【解析】【解答】
解：根据题意得，x+2y=12
∴
故答案为：
【分析】
等腰三角形的周长=底+腰+腰，列出关系式，再进行整理即可。
11．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：利用勾股定理算得，
，
数轴上点所表示的数为：．
故答案为：．
【分析】
先利用勾股定理求出即的长，再利用数轴上两点距离公式求解即可，需要注意的是点C在原点左侧，故应该是负数．
12．【答案】1
【知识点】一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设①的函数解析式为，②的函数解析式为，
将代入中、代入中解得：
故，，
当乘客为1万人时，将分别代入得：，，
故提高票价后的收支差额较提价前增加万元，
故答案为：1．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设①的函数解析式为，②的函数解析式为，将和分别代入，求得和，再将代入解析式，分别求得，，作差运算，即可求解.
13．【答案】5
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
解得：
故答案为：
【分析】本题考查了翻折的性质以及勾股定理的应用，通过面积公式求出 CE 的长度，利用勾股定理求出 AD 的长度，进而得出 CD 的长度，再根据直角三角形 CDF 中的勾股定理列出关于 EF 的方程求解.
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质，分别化成最简二次根式，再计算加减即可求解；
（2）先利用平方差公式将括号去掉，再计算除法，计算求解即可．
15．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：的面积为：
（3）解：连接，交轴于点，
此时长度最小，
最小值为
【知识点】最简二次根式；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）先根据A、B和C在坐标轴的坐标位置，然后再根据关于x轴对称的A1、B1和C1的坐标，然后再进行连线即可；
（2）根据（1）中求出的A、B和C的坐标，然后再根据割补法对三角形的面积进行求解即可；
（3）因为B和B1关于x轴对称，可知PB=PB1，根据将军饮马的特点，连接，交轴于点，最后再根据勾股定理，即可求解。
（1）解：如图所示；
；
（2）解：的面积为：；
（3）解：连接，交轴于点，
此时长度最小，
最小值为．
故答案为：．
16．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠C =45°，
∴∠DAC =90°-∠C = 45°，
∴∠C =∠DAC=45°，
∴DA=DC =6，
在Rt△ABD中， AB=10， AD =6，
∴BC=BD+CD=8+6=14，
∵E是BC的中点，
∴DE =BD-BE=8-7=1，
（2）解：∵∠B=40°， ∠C=60°，
∴∠BAC =180°-∠B-∠C = 80°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∵∠ADB=90°，
∴∠BAD =90°-∠B=50°，
∴∠EAD =∠BAD﹣∠BAE =10°
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】(1)根据垂直得到∠ADB=∠ADC =90°，再利用直角三角形的性质可得∠C=∠DAC =45°， 根据等角对等边得DA=DC=6，利用勾股定理求出BD的长，进而可得BE=7， 从而可得DE=1， 再利用勾股定理解题即可；
(2)先利用三角形内角和定理得到∠BAC =80°，然后利用角平分线可得∠BAE= 40°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAD=50°，最后利用角的和差解题即可.
17．【答案】（1）6；3
（2）解：由题意可得，甲无人机表演的时间为20-6×2=8秒，
∴P(14，36)，
设 PQ的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将P(14，36)和Q(20，72)分别代入上式，得
， 解得 ，
∴PQ的函数表达式为y=6x-48(14≤x≤20)
(x的取值范围不写不扣分)
（3）解：1秒或11秒或17秒.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】(1)甲无人机的速度是 (米/秒)，乙无人机的速度是( (米/秒)。故答案为： 6， 3.
（3）当 时，甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为 ∴甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为
乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为
当 时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得|
解得： 或 (不符合题意，舍去)；
当 时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得|
解得 (不符合题意，舍去)或
当 时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得
解得：
∴当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间为1秒或11秒或17秒.
【分析】(1)根据速度=路程÷时间计算即可；
(2)根据时间=路程÷速度求出乙无人机飞行PQ段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段PQ对应的函数表达式即可；
(3)分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可.
18．【答案】（1）；
（2）解：，
，
，
，
（3）解：，
，
，，
可得，
解得．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：；，
故答案为：；；
【分析】（1）由题意，仿照阅读材料即可求解；
（2）由题意，将括号内的各式分母有理化，再合并同类二次根式，然后根据平方差公式计算即可求解；
（3）先将化简，再计算，代入已知的等式可得关于m的方程，解方程即可求解．
（1）解：；，
故答案为：；；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，，
可得，
解得．
19．【答案】（1）①3；②1或
（2）解：①将两点代入一次函数，，
得：，
，
将代入，代入得：
解得： ，
；
②，
，
∵设一次函数与y轴交于点D，
，
，
，
；
③，
∴线段的中点为，
设点，
，，
，
整理得：，即
含点P的直线函数解析式为：，
联立解得： ，
，
联立解得： ，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
（1）解：①点在这个一次函数的演变函数图象上，，
，
②点在这个一次函数的演变函数图象上，
当时，，
，
当时，，
，
故答案为：①3；②1或；
【分析】
（1）根据题目中给出的函数定义用待定系数法进行求解即可；
（2）①利用待定系数法求解即可；②利用函数与数轴的交点求出，利用三角形面积公式进行求解即可；③先求出的中垂线表达式，与函数解析式联立即可得出结果．
（1）解：①点在这个一次函数的演变函数图象上，，
，
②点在这个一次函数的演变函数图象上，
当时，，
，
当时，，
，
故答案为：①3；②1或；
（2）解：①将两点代入一次函数，
，
得：，
，
将代入，代入得：
解得： ，
；
②，
，
∵设一次函数与y轴交于点D，
，
，
，
；
③，
∴线段的中点为，
设点，
，，
，
整理得：，即
含点P的直线函数解析式为：，
联立解得： ，
，
联立解得： ，
．
20．【答案】（1）
（2）解：如图，过P作于P，交于点F，作于E，
，
，
，
，
，
，
，
，设，
直线过
解得
（3）解：
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于两点
∴令x=0，则y=-5，令y=0，则x=10
∴B（10，0），C（0，-5）
∴OB=10，OC=5
∵直线与x轴、y轴分别交于两点
令x=0，则y=10
∴A（0，10)
∴AC=15
∴
故答案为：
（3）连接，在射线上截取，设
，
，
，
，
，
在中，，点D是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
又
，
，
设，
，
在中，
，
，
．
【分析】（1）根据坐标轴上点的位置关系令x=0，y=0分别代入直线解析式即可得B，C坐标，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）过P作于P，交于点F，作于E，根据角之间的关系可得，则，由等角对等边可得PC=PF，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，再代入直线即可求出答案.
（3）连接，在射线上截取，设，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，即，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，设，则，，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.

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