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2025-2026学年第一学期期中考试
九年级数学试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路，当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（　　）
A.3 B.4 C.2 D.1
3．关于函数的图象与性质说法正确的是（　　）
A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于轴对称
C．当时，随的增大而增大 D．函数值的最小值为2
4．将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在菱形中，对角线，交于点，，现以点为旋转中心，将所在的直线绕点逆时针旋转一定的角度，旋转之后的直线与边所在的直线分别交于点，连接，要使四边形是矩形，这个旋转角的度数最小是（　　）
A.45° B.35° C.30° D.25°
6．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，若扣增长率记作，则方程可以列为（　　）
A. B.
C. D.
7．如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面宽度，则水的最大深度是（　　）
A.8 B.10cm C.12cm D.13cm
8．二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
9．已知关于的一元二次方程有一个根为3，则的值为___________．
10．如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，可列方程为___________．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线、相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是___________．
12．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点B，以AB为斜边作Rt，则AB边上的中线CD的最小值为___________．
三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．解下列方程：
（1）；
（2）
14．如图，的顶点坐标分别为．
（1）画出关于点成中心对称的：
（2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的．
15．某商场将每件进价为80元的某商品按每件100元出售，每天可售出100件，后来经过市场调查发现：这种商品单价每降价1元，其销售量就增加10件，若该商品降价销售，设每件商品降价元，商场每天获利元．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）①若商场经营该商品每天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？
②当每件商品降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）商场为遗免恶意竞争，规定降价范围为，请直接写出销售该商品每天的销售利润（元）的取值范围．
16．如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
17．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线与轴的交点：
①点在抛物线上，且，求点点坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标．
18．【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线/经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形．
【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，以为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点坐标及的面积：
【拓展延伸】如图4，点为轴负半轴上一动点，当点沿轴负半轴向下运动时，以为顶点，为腰作等腰直角三角形，过作轴于点，求的长（用含的式子表示）？（直接写出结果）

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