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2025-2026学年北京市西城区德胜中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.对于二次函数，下列描述正确的是( )
A. 当时，y随x的增大而增大 B. 其图象的开口向下
C. 有最大值2 D. 其图象的顶点坐标为
3.将二次函数化为的形式，下列结果正确的是( )
A. B. C. D.
4.若抛物线的图象经过，两点，则该抛物线的对称轴为( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
5.如图，AB是的直径，CD是弦，若，则等于( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形ABCD外切于，且，，则四边形ABCD的周长为( )
A. 60
B. 55
C. 45
D. 50
7.如图，菱形OABC中，，抛物线的顶点在菱形的边上或内部，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，D为BC边上一点，将绕点A逆时针旋转得到，点B、D的对应点分别为点C、E，连接BE，将AC平移得到点A、C的对应点分别为点D、，连接AF，若，，则AF的长为( )
A.
B. 6
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.在平面直角坐标系xOy中，点关于原点的对称点是 .
10.将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为 .
11.点，，在抛物线上，则 填“>”，“<”或“=”
12.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 .
13.如图，四边形ABCD是的内接四边形，，则______
14.如图，AB是的直径，PA，PC是的切线，切点分别为A，若，，则PA的长是 .
15.如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖MN与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆EF与地面BD垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为6mm，密封盖被磁体顶起将排水口密封，MN所在圆的半径为
16.二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论：
①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则
其中正确的结论序号有 .
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解方程：
；
18.本小题4分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，
把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的；
画出关于原点O对称的；
观察图形可知，与关于点______中心对称写出坐标
19.本小题4分
已知关于x的一元二次方程
求证：方程总有两个实数根；
若该方程其中一个根为正数，求m的取值范围.
20.本小题5分
如图，是的外接圆，，直径，垂足是
求证：是等边三角形；
若，求DE的长.
21.本小题6分
已知二次函数为常数的图象经过点，
______，______；
二次函数图象的顶点坐标为______；
在坐标系中画出该二次函数的图象；
当时，y的取值范围是______.
22.本小题5分
数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，AB是的直径，射线AC交于点
求作：的中点
小得的作法：
①在射线AC上截取AE，使；
②连接BE，交于点
所以点D就是所求作的点.
按照小得的作法，补全图形；
补全下面的证明.
证明：连接AD，CO，
是的直径，
____________填推理依据
，
______
____________填推理依据
点D为的中点.
23.本小题5分
秋冬季节来临，某饮品店推出由热奶茶、烤红薯、糖炒栗子和暖手姜茶搭配而成的A、B两种套餐.其中A套餐每份利润28元，每天可以买出120套，B套餐每份利润20元，每天可以卖出160套，若A套餐售价每提高1元，则每天少卖出3套，B套餐售价每提高1元，则每天少卖出4套注：两种套餐成本不变
若每份套餐的价格提高x元为整数，每天销售A、B两种套餐的利润分别为元和元，请求出、与x之间的函数关系式；不要求写自变量取值范围
为保证套餐性价比，两种套餐提高的价格之和为9元，那么A套餐的价格提高多少元时两种套餐每天售出的利润之和最大？最大是多少元？
24.本小题6分
如图，四边形ABCD内接于，，点E在BC的延长线上，且
判断DE与的位置关系，并说明理由；
若，，，求AC的长.
25.本小题5分
如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为，即，这时水平距离，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系.如图
若球向正前方运动即x轴垂直于底线
①求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式不必写出x取值范围
②判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由.
若球过网后的落点是对方场地①号位内的点如图1，点P距底线1m，边线，则发球点O在底线距离右边线______米参考数据：取
26.本小题6分
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
求抛物线的顶点坐标用含b的式子表示；
若，在抛物线上，其中，
①当的最大值是3时，的最小值是______用含a的式子表示；
②若对于，都有，求b的取值范围.
27.本小题7分
如图，在中，，，，将线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AN，过点N作交CB的延长线于D，在线段BD上取一点E使得，连接
依题意补全图形；
判断CE与AB的数量关系，并证明；
在变化过程中，当的面积最大时，求线段BN的长用a，b表示
28.本小题7分
在平面直角坐标系xOy中，对于直线l上一点M和上不重合的两点P和给出如下定义：若点P，点Q绕点M顺时针旋转得到对应点，在直线l上，则称点M为直线l关于的旋转点的半径为
直线l：
①在点，，中，______是直线l关于的旋转点；
②若点M是直线l关于的旋转点，则点M的横坐标m的取值范围是：______；
点E在以点为圆心，半径为6的圆上，若存在直线，使得点E既为直线关于的旋转点，也是直线关于的旋转点，则t的取值范围是______.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项A符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选：
根据轴对称图形和中心对称图形进行判断即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：二次函数解析式的系数为1，，函数图象开口向上，选项B说法错误，不符合题意；
函数图象的顶点坐标是，选项D说法错误，不符合题意；
函数图象开口向上，有最小值为2，选项C说法错误，不符合题意；
函数图象的对称轴为，当时，y随x的增大而增大，选项A说法正确，符合题意；
故选：
通过分析二次函数解析式的顶点式判断函数图象开口方向，顶点坐标，最值以及增减性即可求解．
本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：
，
，
即
故选：
利用配方法整理即可得解．
本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：抛物线经过、两点，
抛物线对称轴为直线，
故选：
由A、B两点的坐标，根据抛物线的对称性可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，利用A、B两点关于对称轴对称是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先由圆周角定理可知，再求出，然后由圆周角定理求解即可．
【解答】
解：是的直径，
，
，
，
，
6.【答案】D
【解析】解：四边形ABCD外切于，切点分别为E、G、H、F，
，，，，
，
四边形ABCD的周长为：，
故选：
根据切线长定理得到，，，，进而求出，再根据四边形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
7.【答案】C
【解析】解：由题可知抛物线顶点为，则其在直线上运动，
如图，
由点A和点B坐标可得直线AB解析式为，
令，
解得，
由图象可知，当时，抛物线的顶点在菱形的边上或内部，
故选：
由题易得顶点在直线上运动，画出图形，求出和直线AB的交点横坐标，再根据图形即可得解．
本题主要考查了二次函数点的坐标特征、二次函数与一次函数交点问题等内容，数形结合是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用性质解决问题是本题的关键，由旋转的性质可得，，由勾股定理得到BE，由“SAS”可证≌，可得，于是得到结论．
【解答】
解：，，
，，
将绕点A逆时针旋转得到，
，，，，
，
；
，
，
，
平移得到DF，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
9.【答案】
【解析】解：对称点坐标为
故答案为：
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案．
此题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为：
故答案为：
直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减，进而得出平移后的解析式．
此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
11.【答案】>
【解析】解：抛物线，
图象的开口向上，对称轴是直线，
当时，y随x的增大而减小，
，
，
故答案为：
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
故答案为：
根据方程的根的判别式，计算即可．
本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．
13.【答案】130
【解析】解：，
四边形ABCD是圆内接四边形，
故答案为：
先根据圆周角定理求出的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接AC，
是的直径，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，PC是的切线，
，，
，
，
为等边三角形，
，
故答案为：
连接AC，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AC，根据切线长定理得到，再根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15.【答案】39
【解析】解：①设MN所在圆的圆心为O，连接OD，连接CD交CE于点H，
设，
最高点E到地面的距离为6mm，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：
根据已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理得到OH的长度，进而得到半径．
本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
16.【答案】②③④
【解析】解：①二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间，
函数开口方向向上，对称轴为直线，
，a、b异号，
，抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
，
，
故①错误；
②抛物线开口向上，与x轴交于点，，
图象与x轴的另一个交点为，
当时，，
，
故②正确；
③抛物线开口向上，对称轴为直线，
抛物线上的点，离对称轴越远，函数值越大，
，
，的中点在对称轴的左侧，
，
到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
，
故③正确；
，
④，
，
二次函数为，
过点，
，
，
图象与y轴的交点B在和之间，
，
，
，
故④正确；
⑤由题意可知当时，函数有最小值为，
若m为任意实数，则，
即，
故⑤错误．
故答案为：②③④．
结合二次函数的图象和性质开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、函数值的变化等逐一分析判断即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．
17.【答案】，；
，
【解析】，
，
该方程有两个不相等的实数根，
则，
即，；
，
移项得：，
因式分解得：，
整理得：，
解得：，
利用公式法解方程即可；
利用因式分解法解方程即可．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
18.【答案】见解答．
见解答．

【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
连接，，，相交于点P，
则与关于点中心对称．
故答案为：
根据平移的性质作图即可．
根据中心对称的性质作图即可．
连接，，，相交于点P，则与关于点P中心对称，即可得出答案．
本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握中心对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
19.【答案】证明：，
，，，
，
方程总有两个实数根；
解：，
，
解得，，
该方程有一个根为正数，
，

【解析】求出的值即可求证；
求出方程的解，再根据解的情况列出关于m的不等式，解不等式即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
20.【答案】证明：，
，
直径，
，
，
，
是等边三角形；
解：连接OA，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
的长为
【解析】根据圆心角、弧、弦的关系可得，然后根据垂径定理可得：，从而可得，进而可得，即可解答；
连接OA，根据等边三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用圆周角定理可得：，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而求出BD的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】，；
；
如图：
；

【解析】将，代入得，
，
解得，
故答案为：，；
由可知，
顶点坐标为，
故答案为：；
如图：
；
因为对称轴为直线，
所以当时，为最小值，
当时，为最大值，
；
故答案为：
将已知两点坐标代入即可；
配成顶点式或用顶点坐标公式求解均可；
描点连线画图象即可；
由图象或者由二次函数得增减性均可发现当时y有最小值，当时，y有最大值．
本题主要考查了二次函数的解析式、图象和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22.【答案】补全图形如图；
；直径所对的圆周角为；；；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【解析】补全图形如图；
证明：连接AD，CO，
是的直径，
直径所对的圆周角为，
，
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
点D为的中点．
故答案为：；直径所对的圆周角为；；；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．
依据题意补全图形即可；
根据证明过程思路补全即可得解．
本题主要考查了作图、圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23.【答案】；；
A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是6984元
【解析】由题意可知：
A套餐提价后的利润为元，销量为套，
；
B套餐提价后的利润为元，销量为元，
；
设A套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w，
则；，
，
，
当时，利润最大为6984元．
答：A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是6984元．
先求出提价后的单套利润和销量，再根据总利润=单套利润销量列出式子；
套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w，则，据此整理求解即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24.【答案】DE与相切，理由如下：
四边形ABCD内接于，，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
为的切线，即DE与相切；

【解析】与相切，理由如下：
四边形ABCD内接于，，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
为的切线，即DE与相切；
如图，记BD、AC交于点F，
，
，
，
为直径，
垂直平分AC，
，，
，，，
，
根据等面积可得，
由题易得BD为直径，再证，即可得解；
先证BD垂直平分AC，再利用等面积求出AF长即可．
本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂直平分线的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25.【答案】①；②这次发球过网，但是出界了；

【解析】①设抛物线的表达式为：，
将，代入上式并解得：，
抛物线的表达式为：；
②当时，，
当时，，
这次发球过网，但出界了；
如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，
在中，，
当时，，
解得：或舍去，
，
而，
故，
，
发球点O在底线上且距右边线米处．
故答案为：
①求出抛物线表达式；②确定和时，对应函数的值即可求解；
当时，解得：或舍去，求出，即可求解．
本题考查的是二次函数的应用，关键是弄清楚题意，明确变量的代表的实际意义．
26.【答案】顶点坐标为；
①或；②或
【解析】由题可知，
顶点坐标为；
①当时，如图所示，
很明显，当时有最大值，即，
整理得，
由图可知当时，即顶点处有最小值，
；
当时，如图所示，
很明显，当时，即在顶点处有最大值，
，
由图可知，当时有最小值，此时；
故答案为：或；
②当时，如图，明显不满足一直成立；
当时，如图，
，
或，
解得或
配成顶点式即可得解；
①分类讨论，画出图形，数形结合即可得解；
②画出图形，找出关于对称轴对称点，建立不等式求解即可．
本题主要考查了二次函数解析式、二次函数的最值、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
27.【答案】补全图形如图：
，证明如下：
，，
，
，
四边形CDNA是对角互补四边形，
，
延长DN至M，使，连接AM，
则，
，
≌，
，，
过B作交DN于K，
，
四边形BKMA是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，即；

【解析】补全图形如图：
，证明如下：
，，
，
，
四边形CDNA是对角互补四边形，
，
延长DN至M，使，连接AM，
则，
，
≌，
，，
过B作交DN于K，
，
四边形BKMA是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，即；
在BA上截取点H，使得，连接HN，
，
，
，
，
≌，
，
在以H为圆心，a为半径的半圆上运动，
当，即N落在图中位置时，有最大值为，
此时
依据题意补全图形即可；
易证，利用对角互补构造全等三角形，延长DN至M，使，易证≌，再过B作交DN于K，易证四边形BKMA是平行四边形，据此即可得证；
在BA上截取点H，使得，连接HN，易证≌，可得N在以H为圆心，a为半径的半圆上运动，据此求解即可．
本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
28.【答案】①；②；
或
【解析】由题意可知，如图，将直线l绕点M逆时针旋转得到，若l与相交，则点M为旋转点，
①如图，将直线l绕点逆时针旋转后，与相交，
点满足题意．
故答案为：；
②如图，在直线l上取一点M，将直线l绕点M逆时针旋转后得到直线，根据题意，直线应与相交，
如下图，直线l与相切于点G，绿色三角形是含角的直角三角形，易求得
则为直角三角形，
直线l与x轴夹角为，
与x轴夹角为，则，
，
，
直线的解析式为
联立l解析式可求得交点M的横坐标为，
；
如下图，直线l与相切，
同理，可得，
故
综上所述：；
故答案为：；
根据题意发现点E有2个方面的位置要求：点E在上，点E得满足既是旋转点又是旋转点的位置要求，
①点E既为旋转点，也是旋转点：
如图，在平面内任取一点E，过点E随便画一条直线，
将绕点E分别旋转和得到直线m和n，则直线m、n的夹角为，
根据题意，直线m、n应同时与相交，
如图，直线m、n同时与相切时为临界状态，
在中，，，
，
当时，直线m、n都能与相交，故满足题意，
综上，点E在以O为圆心，2为半径的圆的内部；
②点E在上：如图，根据题意，半径为6的应与半径为2的相交内切或外切都不行
当点P在x轴上方时，
第一种情况：当两圆外切时，如图，
此时，
；
第二种情况：当两圆内切时，如图，
此时，
；
；
当点P在x轴下方时，如图，
同理可得，；
综上，或
故答案为：或
①根据定义求解即可；②由题可知在直线l上取一点M，将直线l绕点M逆时针旋转后得到直线，根据题意，直线应与相交，找出相切时的临界值，即可得解；
熟读题目，简单分析后，发现点E有2个方面的位置要求：①点E在上，②点E得满足既是旋转点又是旋转点的位置要求，显然，②是关键，据此求解即可．
本题主要考查了以圆为背景的新定义题型，正确理解题意是解题的关键．

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