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浙江省“南太湖”联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，则集合的真子集共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．7个
3．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
7．若实数，且，则（ ）
A．的最小值为7 B．xy的最大值为9
C．的最大值为6 D．的最小值为1
8．设，，为实数，记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
二、多选题
9．下列命题中假命题的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集是
D．不等式的解集为
11．已知，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为-1 D．的最大值为1
三、填空题
12．已知集合，则 .
13．给定函数，用表示中的较大者，记为.例如，当时，，则不等式的解集为 .
14．记表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则 .
四、解答题
15．已知集合.
(1)若，全集，求；
(2)若，求实数的值.
16．已知关于x的不等式．
(1)若不等式的解集为，求实数k的值；
(2)若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．
17．某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）：
销售单价（元） 50 60 70
日销售量（件） 100 80 60
该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴.设该产品的商家日利润为（元）.
(1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)求与之间的函数关系式：
(3)当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？
18．（1）已知正数a，b满足
（i）求ab的最大值；
（ii）求的最小值.
（2）若关于的方程有两个正实数根，求的最小值.
19．已知关于的不等式的解集为，
(1)若，解这个关于的不等式；
(2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(3)，使关于的不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．A
【详解】集合，而，
所以.
故选：A
2．C
【详解】解不等式得，可得，
所以其真子集为，共3个.
故选：C
3．A
【详解】对于A：由图象可得，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，所以B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：当时，满足，此时，
所以，即，故D错误，
故选：A
4．B
【详解】A选项，集合P中的这部分在集合Q中没有元素对应，故A选项错误；
B选项，，均存在唯一与其对应，故B选项正确；
C选项，存在集合P中一个元素对应集合Q中的两个元素，故C选项错误；
D选项，集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素，故D选项错误；
故选：B.
5．B
【详解】解不等式，得到或
进而得到“”能推导出“或”，
反之不成立，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．C
【详解】由函数的定义域是及有意义，
得，解得，且，
所以函数的定义域为.
故选：C
7．D
【详解】
对于A，由，当时，整理可得，
由，则，即，解得，
则，
当且仅当等号成立，故A错误；
对于B，由，则，当且仅当时等号成立，
整理可得，解得，即，的最小值为9，故B错误；
对于C，由，则，当且仅当时等号成立，
整理可得，解得，的最小值为6，故C错误；
对于D，由，当时，整理可得，
由，则，即，解得，
所以，当且仅当时等号成立，的最小值为1，故D正确；
故选：D.
8．D
【详解】解：若时有一个解，有两个解，且的解不是的解，
，即，
的解不是的解，
又有两个解，故，
有两个不等的根，
有3个解，即，
故D不可能成立，
对于，则时至少有一个根，
当时还有一根，只要时就有个根，
当时只有个根，
当时只有个根，
当时有个根或个根，
当时且，故A正确；
当，，时且，故B正确；
当，时且，故C正确；
故选：D．
9．BCD
【详解】对于A，当时，成立，即A正确；
对于B，由，可得，显然不是有理数，即B错误；
对于C，取，可知，即C错误；
对于D，因为中，，所以一元二次不等式有解，不是恒成立，
比如取时，不等式不成立，即D错误；
故选：BCD.
10．AD
【详解】由题意可知的两个根为且，A正确；
所以，即，则，B错误；
不等式即为，且，
可得，则，C错误；
不等式即为，且，
可得，解得或，D正确.
故选：AD
11．ABD
【详解】由，得，
，
设，则．
，
，解得，即，故AB正确；
，即，
，即，
由知，，
，解得，同理可得，故C错误，D正确．
故选：ABD.
12．
【详解】解得，故，
所以.
故答案为：.
13．
【详解】由，即，解得或；由，得，
因此，
不等式，化为或，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
14．25
【详解】依题意，，由，得的所有可能结果为，
因此，所以.
故答案为：25
15．(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，则，而，
所以.
（2）由，得，即，由，得，
而，因此，则，
所以实数的值为.
16．(1)；
(2).
【详解】（1）由不等式的解集为，
可知，和1是一元二次方程的两根，
所以有，解得.
（2）不等式的解集，
若，不等式为，符合题意；
若，则有，解得，
所以不等式的解集为R，求实数k的取值范围为
17．(1)，；
(2)；
(3)销售单价为元，日利润的最大值元.
【详解】（1）依题意，设，由及，
得，解得，则，显然也满足，
因此，由，得，解得，
所以所求函数关系式为，.
（2）由（1）知，，
由，得，，
由，得，，
所以所求函数关系式为.
（3）当时，，当且仅当时取等号；
当时，在上单调递减，则当时，，
而，因此当，即时，，
所以当销售单价为元时，日利润取得最大值元.
18．（1）（i）2；（ii）；（2）6.
【详解】（1）（i）正数满足，则，解得，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最大值2.
（ii），
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
（2）由方程有两个正实根，
得，
解得，
，当，即时取等号，
所以当时，取得最小值6.
19．(1)答案见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，解得或；
当时，不等式为，
当时，解得；当时，无解；当时，，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（2）不等式化为，解得，即，
由是的充分不必要条件，得是的真子集，
由（1）知，则或或，
解得或或，即，
所以实数的取值范围是.
（3）当时，不等式
而
，当且仅当，即时取等号，
由，不等式成立，得，
所以实数的取值范围是.

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