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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市松雷中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列符号中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.若等腰三角形的底角为，则它的顶角度数为( )
A. B. C. D.
4.如图的尺规作图是作( )
A. 线段的垂直平分线 B. 一个角等于已知角 C. 一条直线的平行线 D. 一个角的平分线
5.王岗社区是由AB，AC，BC三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点.现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在( )
A. 三个角的平分线的交点处 B. 三条中线的交点处
C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处
6.如果，那么n的值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7.如图，已知等边三角形ABC的周长为a，，，则AD等于( )
A.
B.
C.
D.
A. 等腰三角形两腰上的高相等
B. 两边及其中一边对角相等的两个三角形全等
C. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合
D. 有一个角等于的三角形是等边三角形
9.如图，在中，DE是AC的垂直平分线，，的周长为13，则BC的长为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10.如图，为等边三角形，，垂足为点E，则下列结论中，正确的个数是( )
①；
②；
③线段AE是的对称轴；
④线段AE是的角平分线.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11. .
12.点关于x轴对称的点的坐标为 .
13.计算： .
14.如图，等边中，点D在边BC上，且，AD与BE相交于点P，若，则CE的长为 .
15.如图，为等边三角形，D是BC边上一点，在AC边上取一点F，使，在AB上取一点E，使，则______.
16.如图，AD是的角平分线，，将沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若，，则BD的长为 .
17.如图，在点A处有AB，AC两条路，甲、乙两车同时从点A出发，甲车沿南偏西方向行驶至点C，乙车沿正西方向行驶至点经测量，点C位于点B的南偏东方向上，若米，则点C到公路AB的距离为 .
18.如图，在中，，，D是AC的中点，于E，交BA的延长线于F，若，则的面积为 .
19.在中，，，点D在直线BC上，且，连接AD，则的度数为 .
20.如图，在等边中，点A为PQ上一动点不与P，Q重合，再以AB为边作等边，连接有以下结论：①PB平分；②；③；④，其中一定正确的结论是 填序号
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题8分
解方程组及不等式组：
；
22.本小题8分
计算：
；
23.本小题8分
如图，在直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，，与关于y轴对称，点A的对称点为
作出；
若P为x轴上一动点，当最小时，直接写出点P的坐标.
24.本小题8分
如图，在中，点D是边BC上一点，，点E在边AC上，且，
如图1，求证：；
如图2，若DE平分，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与相等的角除外
25.本小题8分
某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包.购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元.
问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？
该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？
26.本小题10分
【阅读理解】
材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数.其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，即利用这个式子可以化简一些含根式的代数式.
材料二：通过本学期第16章，我们已学了三个幂的运算公式：
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
后续的学习我们会知道，我们把形如的数叫做分数指数幂，以上三个公式对于分数指数幂的运算同样适用，例：当，时，
延伸应用：
①当，时，
②当，时，
【积累运用】
根据材料一，计算______；
根据材料二，计算______；
根据材料二，已知，，请化简：
27.本小题10分
如图在中，，
如图1，求的度数；
如图2，点D在BC上，连接AD，作，连接AE，，求证：；
如图3，在的条件下，延长EC至点M，连接BM，过点D作于点H，交AB于点G，点Q在HM上，连接AQ交BC于点F，，，，，求DG的长度.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、B、C中的符号不是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；
D、此符号是轴对称图形，故D符合题意．
故选：
由轴对称图形的定义，即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、与不是同类项，不能合并，故C错误；
D、，故D正确．
故选：
根据合并同类项法则判断A、C；根据积的乘方法则判断B；根据幂的乘方法则判断
本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：等腰三角形一底角为，
等腰三角形另一底角为，
顶角，
故选：
根据等腰三角形两底角相等可求得另一底角的度数，再根据三角形内角和定理即可求得顶角的度数．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由图形知，该尺规作图的步骤依次是：以点O为圆心、任意长度为半径画弧，交OA于点C、OB于点D，
再分别以点C、D为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，
则OP即为的平分线，
故选：
根据尺规作图的步骤判断可得．
本题主要考查尺规作图-作一个角的平分线，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图的步骤．
5.【答案】A
【解析】解：将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，
充电点应该建在三个角的平分线的交点处．
故选：
根据角平分线的性质解答即可．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：，
则，
所以
故选：
根据幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：周长为a，在等边三角形ABC中，
，
，过A作于D，
，
故选：
由周长为a，在等边三角形ABC中，可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出
本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半．
8.【答案】A
9.【答案】C
【解析】解：是AC的垂直平分线，
，
的周长为13，
，
，
，
，
故选：
根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
10.【答案】D
【解析】解：为等边三角形，，
，，线段AE是的对称轴，线段AE是的角平分线，
故正确个数有4个，
故选：
根据等边三角形的性质三线合一解答即可．
此题考查等边三角形的性质，轴对称的性质，关键是根据等边三角形的性质三线合一解答．
11.【答案】
【解析】解：原式
故答案为：
根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：点关于x轴对称的点的坐标为
故答案为：
根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数即可求解．
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：原式
故答案为：
根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：
由等边三角形的性质得，，再证明，然后证明≌，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
，，
在和中，
≌，
，，
又，
，
，
又
，
故答案为：
由为等边三角形得，，又因，可证明≌，再由全等三角形的性质，平角的定义和角的知差计算出的度数为
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
根据折叠的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查翻折变换折叠问题，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意证明是解题关键．
17.【答案】150米
【解析】解：过点C作，垂足为D，
，
由题意得：，，
，
，
米，
在中，，
米，
点C到公路AB的距离为150米，
故答案为：150米．
过点C作，垂足为D，根据垂直定义可得：，再根据题意可得：，，然后利用三角形内角和定理可得：，从而可得米，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，方向角，点到直线的距离，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18.【答案】48
【解析】解：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：
根据题意得到≌，求出，计算即可．
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，关键是根据ASA证明≌解答．
19.【答案】或
【解析】解：如图1，点D在射线BC上，
，
，
，且，
，
，
，
，
，
；
如图2，点D是射线CB上，
，
，
，且，
，
，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或
分两种情况讨论，一是点D在射线BC上，由，得，因为，所以，求得，由，得，因为，所以；二是点D是射线CB上，由，得，由，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键．
20.【答案】②③④
【解析】解：点A为PQ上一动点不与P，Q重合，，
与不一定相等，故①不正确；
和都为等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，故②③④都正确．
故答案为：②③④．
根据点A为PQ上一动点不与P，Q重合，，可知与不一定相等，可判断①；证明出≌，得，，即可判断②③④．
本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
21.【答案】；

【解析】，
①-②得：，
，
把代入②得：，
解得：，
方程组的解为：
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：
用加减消元法解二元一次方程组即可；
先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集．
本题主要考查了解方程组和不等式组，熟练掌握解方程组的一般方法，准确求出两个不等式的解集，是解题的关键．
22.【答案】0； 0
【解析】
；
根据积的乘方的运算法则来计算；
根据同底数幂的乘法的运算法则来计算．
本题考查了整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
23.【答案】如图，即为所求．
点P的坐标为
【解析】如图，即为所求．
取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接CP，
此时，为最小值，
则点P即为所求，
点P的坐标为
根据轴对称的性质作图即可．
取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案．
本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
24.【答案】解：在和中，
，
≌，
；
≌，
，
平分，
，
，
，
与相等的角有，，，
【解析】由“SAS”可证≌，可得；
由全等三角形的性质可得，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
25.【答案】解：设购买一份A款材料包需x元，购买一份B款材料包需y元，
根据题意得：，
解得：
答：购买一份A款材料包需16元，购买一份B款材料包需18元；
设购买A款材料包m份，则购买B款材料包份，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为
答：至少购买A款材料包35份．
【解析】设购买一份A款材料包需x元，购买一份B款材料包需y元，根据“购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买A款材料包m份，则购买B款材料包份，利用总价=单价数量，结合总价不超过830元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】；
；

【解析】，
故答案为：；
，
故答案为：；
根据二次根式的加法法则计算；
根据分式指数幂计算；
根据分式指数幂计算．
本题考查的是二次根式的计算、分数指数幂，掌握二次根式的加法法则、正确理解分数指数幂是解题的关键．
27.【答案】；
证明：由 知，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；

【解析】解：由三角形内角和可知，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
证明：由知，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：延长AF到点K，使，连接DK交BM于点S，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
由知≌，
设，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
垂直平分EM，
，，
，
，
设，
则，，
，
，
，
，
，
，
过Q作交DK于点W，则，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
由三角形内角和易证，即可得解；
易证，再利用边角边即可得证；
延长AF到点K，使，连接DK交BM于点S，易证≌，再证≌，可得，，再证，倒角可得，进而可证，过Q作交DK于点W，先证≌，再证≌，即可得
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，正确作出辅助线是解题的关键．

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