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2025-2026学年度第一学期期中质量监测
九年级数学试题
（本试卷共4页，满分120分，考试时间共120分钟）
★祝考试顺利★
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1.一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A.，1 B.6，1 C.，1 D.，1
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.用配方法解方程时，方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
4.对于二次函数的图象，下列说法中不正确的是（ ）
A.顶点是 B.开口向上
C.与轴有两个交点 D.对称轴是直线
5.抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6.某县开展关于精准扶贫的决策部署后，贫困户2023年人均纯收入为3800元，经过帮扶到2025年预计人均纯收入为5000元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，的半径是，弦，弦，且于，则的长是（ ）
A. B. C.7cm D.
9.如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（ ）
A. B.12 C. D.
10.如图，已知二次函数（、、为常数，且）的图象顶点为，经过点.有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________.
12.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________.
13.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________.
14.已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为________.
15.已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则的取值范围是________.
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16.（6分）解方程：
（1）. （2）.
17.（6分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为2，的三个顶点分别是，，.
（1）把向左平移8个单位后得到对应的，请画出平移后的；
（2）把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的；
（3）观察图形可知，与关于点（ ， ）中心对称.
18.（7分）已知关于的一元二次方程有实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值.
19.（8分）如图，已知抛物线经过点.
（1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当时，直接写出的取值范围；
（3）当时，请根据图象直接写出的取值范围.
20.（8分）如图，是的直径，弦交于点，点是劣弧的中点.
（1）求证：；
（2）若，的半径为1，求弦的长.
21.（8分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为.如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度
22.（10分）某商品每件进价为20元，当每件售价为30元，每天可卖出100件，市场调查反映；如每涨价1元，每天要少卖5件.设每件涨价元，每天获利为元.
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）每天获利是否可达到1230元，给出你的结论，并说明理由；
（3）某天购进120件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件26元可当天售完，求当天获利的最大值.
23.（10分）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取的中点，连接.
（1）求证：，；
（2）将绕点顺时针旋转到图2的位置.
①请直接写出与的位置关系：________；
②求证：.
24.（12分）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标；
（3）如图2，设点是线段上一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值和点的坐标.

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