资源简介

浙江省杭州市2025-2026学年高三上学期教学质量检测数学试题
一、单选题
1．已知为虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．设向量.若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛 羊 猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪 羊数量之和，则牛 羊 猪的总头数至少为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
5．已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
7．若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，若，则（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
二、多选题
9．在的展开式中，（ ）
A．常数项为20
B．含的项的系数为80
C．各项系数的和为32
D．各项系数中的最大值为80
10．设函数，则（ ）
A．
B．的最小正周期是
C．的值域是
D．在区间上单调递增
11．已知函数的函数值等于的正因数的个数.例如.则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设，则
三、填空题
12．已知随机变量服从正态分布.若，则= .
13．函数在上的最小值为 .
14．过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则 .
四、解答题
15．已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.
16．设的内角的对边分别为，已知.
(1)若.
（i）求；
（ii）求；
(2)求的最大值.
17．已知函数，为的导数，其中为自然对数的底数.
(1)求；
(2)证明：当时，；
(3)设，对任意的，若，求证：.
18．已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，
（i）求证：；
（ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值.
19．现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数.
(1)求点所有可能的坐标；
(2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率；
(3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值.
参考答案
1．B
【详解】.
故选：B.
2．B
【详解】，
因为，所以.
故选:B.
3．A
【详解】，
∴，
解得.
故选：A.
4．B
【详解】设牛、羊、猪分别为 头，则根据题意有，则，
则 ，则 ，则.
故选：B.
5．D
【详解】是等差数列，则需要满足，
对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确；
对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确；
对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确；
对于D, ,,
所以，，
由于为等差数列，则，所以，故D正确；
故选：D
6．A
【详解】令，
是一个开口向上的关于的二次函数，故函数在对称轴处取得最小值，
即.
故选：A.
7．B
【详解】设圆的方程为：，
所以，解得：，
所以圆的面积为；
故选：B
8．D
【详解】因为，所以，
即，
令，，所以在上为单调递增的奇函数，
由于，，
所以，则，
故选：D．
9．BD
【详解】2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故A不正确；
含x的项为，故x的系数是80，所以B正确；
各项系数的和是令时得到，即，故C错误．
的展开式的通项公式为：，
设第项的系数最大，系数为，则，
解得：或，此时系数为，故D正确；
故选：BD．
10．ABC
【详解】，
，
∴，故A正确；
函数的最小正周期，故B正确；
因，则函数的值域是，故C正确；
当时，，此时函数单调递减，则函数也单调递减，故D错误.
故选：ABC.
11．ACD
【详解】对于A，6的正因数为共4个，所以，故A正确；
对于B，，它的因数形如，其中，
所以不同的因数有个，即，故B不正确.
对于C，因为，所以，
所以
，故C正确；
对于D，，则
，故D正确.
故选：ACD.
12．0.28
【详解】由题可得：;
故答案为：
13．2
【详解】由题可得：，解得：，
所以，则，令,解得：，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
故答案为：
14．
【详解】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到，
则，由于，则，
化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且；
所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示.
因为点分别是和的中点，故，
而，由于，
所以.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得，
所以的通项公式为.
（2）设等比数列的公比是，
由，得，解得，
所以的通项公式为，此时，，
满足，故.
结合（1）知，
所以数列的前项和.
16．(1)（i）3；（ii）
(2)
【详解】（1）（i），展开化简得：
所以；
（ii）由，而为三角形内角，故，
所以，
由正弦定理，得.
（2）由（1）可得，故均为锐角，
所以，
当且仅当时，取到最大值.
17．(1)1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1），
所以；
（2）设，
，
所以在上单调递增，当时，，
所以，当时，成立.
（3）因为，则，
由（2）知，即，
∴
所以.
原式
18．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）由题知，，又，解得.
故椭圆的方程为.
（2）（i）记，由题意知.
设直线的方程为，代入椭圆得：.
则有，①
设与的斜率分别为，则
所以.
（ii）设满足，则
②
将代入②，并化简得
，③
将（2）中①代入③得：，
即.
又因为直线和直线的交点为.
故满足的点都在以为直径的圆上.
因为都在以为直径的圆上，
故，所以是的角平分线.
则，
所以，
即.
所以，解得，
所以.
19．(1)；
(2)；
(3)，时，取得最大值.
【详解】（1）由题意，点可能的坐标为.
（2）令向量，
则当时，；当时，；
当时，其中，且.
要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为.
①若，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶；
②若，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况：
奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇，
偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇；
③若，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇.
故为坐标原点的概率.
（3）当不是3的倍数时，显然有.
以下讨论当是3的倍数的情况.不妨设，则掷得偶数的次数为次.
记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作.
定义操作小结：，其中可以为0.
在80次投掷产生的操作过程，可分为若干操作小结.注意到1个操作小节中有2次操作，每两个操作小节也由操作连接，所以共有个操作小节，如下图所示：
所以有其中.
由隔板法可知，上述不定方程共有组解，而每一组解对应着一种满足题意的投掷，于是有
.综上，有
因此，当，即时，取得最大值.

展开更多......

收起↑