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四川省绵阳市安州区2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题
1．（2025九上·安州月考）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的定义"形如的方程是一元二次方程"可得关于k的不等式，解不等式即可求解．
2．（2025九上·安州月考）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．方程中，若，是一元一次方程，不一定是二次方程，
∴此选项不符合题意；
B．方程含有两个未知数和，不是一元二次方程，
∴此选项不符合题意；
C．方程含有分式，不是整式方程，
∴此选项不符合题意；
D．方程展开后为，满足整式、仅含且最高次数为2，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义"形如的方程是一元二次方程"并结合各选项即可判断求解．
3．（2025九上·安州月考）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A． 2， 3， 5 B．2， 3， 5
C．2， 5，3 D． 2， 3，5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：，
整理得：，
所以二次项系数为：2，一次项系数为：，常数项为：；
故答案为：B．
【分析】将方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，分别找出二次项系数、一次项系数、常数项即可．
4．（2025九上·安州月考）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意把x=1代入关于x的一元二次方程得：
12+k-6=0，解得：k=5.
故答案为：C.
【分析】由题意由题意把x=1代入关于x的一元二次方程可得关于k的一元一次方程，解这个方程即可求解.
5．（2025九上·安州月考）若a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“，”可得a+b、ab的值，根据方程的根的定义可得a2-5a的值，然后整体代换即可求解．
6．（2025九上·安州月考）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，可得根的判别式 ：且，解之即可。
7．（2025九上·安州月考）一元二次方程的解为（　　）
A． B．
C．， D．，
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
∴，，
故答案为：．
【分析】观察原方程，移项，然后根据直接开平方法进行解方程即可求解．
8．（2025九上·安州月考）某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 设每个文创产品降价x元，
可列方程为：；
故答案为：A．
【分析】 设每个文创产品降价x元， 根据“ 超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元 ”列出方程．
9．（2025九上·安州月考）我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设森林覆盖面积年平均增长率为，
依题意得：，
故答案为：．
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程并结合各选项即可判断求解．
10．（2025九上·安州月考）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜﹣
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＜0，
解得：m＞．
故选C．
【分析】根据二次方程没有实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
11．（2025九上·安州月考）若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，
∴方程的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】先根据第四象限的点的坐标的符号特征“横坐标大于0，纵坐标小于0”可得m＞0，n＜0；结合一元二次方程可判断b2-4ac的符号，然后根据一元二次方程根的判别式“当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”即可判断求解．
12．（2025九上·安州月考）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当时， 方程一定没有实数根
②当时，方程一定有实数根
③当时， 方程一定没有实数根
④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
②∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴方程一定有实数根，原说法正确；
③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
④∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，原说法错误；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式“对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根逐项判断解题即可．
13．（2025九上·安州月考）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得：且，
解得：．
故答案为：1．
【分析】根据一元一次方程的定义"只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程"即可求解．
14．（2025九上·安州月考） 已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是　 　．
【答案】或
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： 设5t为方程x2-x+5c=0的一个根，则t为x2+x+c=0的一个根，
∴t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c=0②，
②-①得4t2-2t=0，
故t=0.5或t=0，
当t=0时，得c=0，不合题意舍去；
当t=0.5时，代入得c=.
故答案为： .
【分析】 设x2+x+c=0的一个根为t，5t为方程x2-x+5c=0的一个根，根据方程解的定义得到t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c+0②，然后利用加减消元法解方程可得到c的值.
15．（2025九上·安州月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　 　 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△>0，即（-4）2-4×1×（1+2k）>0，
解得：，
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式△>0，即（-4）2-4×1×（1+2k）>0，再求出k的取值范围即可.
16．（2025九上·安州月考）已知关于x的方程的两根分别为，，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：方程的两根分别为、，
，．
．
故答案为：6．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再代入代数式即可求出答案.
17．（2025九上·安州月考）已知实数， 满足等式，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据已知可得m，n是方程的两实数根，由一元二次方程的根与系数关系可得m+n、mn的值，将所求代数式通分，然后整体代换即可求解．
18．（2025九上·安州月考）如图，在一块长8m、宽6m的矩形空地上，修建一横一纵共两条等宽的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为，则修建的道路的宽应为　 　m.
【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：设修建的道路的宽应为，
由题意得，
整理，得，
解得，，
当时，，不合题意，舍去；
故修建的道路的宽应为．
故答案为：1．
【分析】设修建的道路的宽应为，通过平移可得栽种花草的部分可拼成一个长为宽为的长方形，根据长方形的面积等于长方形的长×宽可列关于x的一元二次方程，解方程即可求解．
19．（2025九上·安州月考）选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）由题意，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再直接开平方即可求解；
（2）由题意，用一元二次方程的求根公式“x=”即可qiujie ．
（1）解：∵，
∴，即，
∴，
解得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
20．（2025九上·安州月考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
则，
解得；
（2）解：∵，
∴，
则，
，
解得．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）由题意，把看作一个整体，再根据公式“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解．
（2）由题意，把x-1看作一个整体，再移项，再提公因式可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解．
（1）解：∵，
∴，
则，
解得；
（2）解：∵，
∴，
则，
，
解得．
21．（2025九上·安州月考）若，是方程的两个实数根，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=，x1x2=”可得x1+x2和x1x2的值，再把展开，然后整体代换即可求解；
（2）先通分，再根据完全平方公式配方将分子和分母分别化成含有两根之积或两根之和的形式，然后整体代换即可求解．
（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
22．（2025九上·安州月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为．依题意，
得：，
解得：（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为元．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出关于x的方程，解方程并检验即可求解；
（2）设该品牌头盔的实际售价为元，根据利润=单个的利润×销售量列出关于y的方程，解方程即可求解．
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为．依题意，
得：，
解得：（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为元．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元．
23．（2025九上·安州月考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根均为整数，求正整数的值．
【答案】（1）证明：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∵，
即，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=1或3．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据判别式得到，由偶次方的非负数可得，然后根据判别式的意义"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"即可求解；
（2）用公式法可求出，然后根据整除性即可求解．
（1）证明：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∵，
即，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=1或3．
24．（2025九上·安州月考）关于x的一元二次方程，
（1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，
，
△
，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得：，，
，
，即．
解得．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出的值．
（1）解：证明：关于的一元二次方程，
，
△
，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得：，，
，
，即．
解得．
25．（2025九上·安州月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
（1）当长度是多少时，矩形花园的面积为；
（2）能否围成矩形花园面积为，为什么？
【答案】（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
故答案为：米.
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设，则，根据“ 矩形花园的面积为 ”列出方程，再求解即可；
（2）设，则，根据“ 矩形花园面积为 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
（2）不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
1 / 1四川省绵阳市安州区2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题
1．（2025九上·安州月考）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·安州月考）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·安州月考）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A． 2， 3， 5 B．2， 3， 5
C．2， 5，3 D． 2， 3，5
4．（2025九上·安州月考）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．7
5．（2025九上·安州月考）若a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
6．（2025九上·安州月考）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
7．（2025九上·安州月考）一元二次方程的解为（　　）
A． B．
C．， D．，
8．（2025九上·安州月考）某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九上·安州月考）我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·安州月考）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜﹣
11．（2025九上·安州月考）若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判定
12．（2025九上·安州月考）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当时， 方程一定没有实数根
②当时，方程一定有实数根
③当时， 方程一定没有实数根
④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
13．（2025九上·安州月考）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是　 　．
14．（2025九上·安州月考） 已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是　 　．
15．（2025九上·安州月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　 　 ．
16．（2025九上·安州月考）已知关于x的方程的两根分别为，，则的值为　 　．
17．（2025九上·安州月考）已知实数， 满足等式，，则的值是　 　．
18．（2025九上·安州月考）如图，在一块长8m、宽6m的矩形空地上，修建一横一纵共两条等宽的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为，则修建的道路的宽应为　 　m.
19．（2025九上·安州月考）选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
20．（2025九上·安州月考）解方程：
（1）；
（2）．
21．（2025九上·安州月考）若，是方程的两个实数根，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
22．（2025九上·安州月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？
23．（2025九上·安州月考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根均为整数，求正整数的值．
24．（2025九上·安州月考）关于x的一元二次方程，
（1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
25．（2025九上·安州月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
（1）当长度是多少时，矩形花园的面积为；
（2）能否围成矩形花园面积为，为什么？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的定义"形如的方程是一元二次方程"可得关于k的不等式，解不等式即可求解．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．方程中，若，是一元一次方程，不一定是二次方程，
∴此选项不符合题意；
B．方程含有两个未知数和，不是一元二次方程，
∴此选项不符合题意；
C．方程含有分式，不是整式方程，
∴此选项不符合题意；
D．方程展开后为，满足整式、仅含且最高次数为2，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义"形如的方程是一元二次方程"并结合各选项即可判断求解．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：，
整理得：，
所以二次项系数为：2，一次项系数为：，常数项为：；
故答案为：B．
【分析】将方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，分别找出二次项系数、一次项系数、常数项即可．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意把x=1代入关于x的一元二次方程得：
12+k-6=0，解得：k=5.
故答案为：C.
【分析】由题意由题意把x=1代入关于x的一元二次方程可得关于k的一元一次方程，解这个方程即可求解.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“，”可得a+b、ab的值，根据方程的根的定义可得a2-5a的值，然后整体代换即可求解．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，可得根的判别式 ：且，解之即可。
7．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
∴，，
故答案为：．
【分析】观察原方程，移项，然后根据直接开平方法进行解方程即可求解．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 设每个文创产品降价x元，
可列方程为：；
故答案为：A．
【分析】 设每个文创产品降价x元， 根据“ 超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元 ”列出方程．
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设森林覆盖面积年平均增长率为，
依题意得：，
故答案为：．
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程并结合各选项即可判断求解．
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＜0，
解得：m＞．
故选C．
【分析】根据二次方程没有实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，
∴方程的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】先根据第四象限的点的坐标的符号特征“横坐标大于0，纵坐标小于0”可得m＞0，n＜0；结合一元二次方程可判断b2-4ac的符号，然后根据一元二次方程根的判别式“当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”即可判断求解．
12．【答案】B
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
②∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴方程一定有实数根，原说法正确；
③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
④∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，原说法错误；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式“对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根逐项判断解题即可．
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得：且，
解得：．
故答案为：1．
【分析】根据一元一次方程的定义"只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程"即可求解．
14．【答案】或
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： 设5t为方程x2-x+5c=0的一个根，则t为x2+x+c=0的一个根，
∴t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c=0②，
②-①得4t2-2t=0，
故t=0.5或t=0，
当t=0时，得c=0，不合题意舍去；
当t=0.5时，代入得c=.
故答案为： .
【分析】 设x2+x+c=0的一个根为t，5t为方程x2-x+5c=0的一个根，根据方程解的定义得到t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c+0②，然后利用加减消元法解方程可得到c的值.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△>0，即（-4）2-4×1×（1+2k）>0，
解得：，
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式△>0，即（-4）2-4×1×（1+2k）>0，再求出k的取值范围即可.
16．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：方程的两根分别为、，
，．
．
故答案为：6．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再代入代数式即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据已知可得m，n是方程的两实数根，由一元二次方程的根与系数关系可得m+n、mn的值，将所求代数式通分，然后整体代换即可求解．
18．【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：设修建的道路的宽应为，
由题意得，
整理，得，
解得，，
当时，，不合题意，舍去；
故修建的道路的宽应为．
故答案为：1．
【分析】设修建的道路的宽应为，通过平移可得栽种花草的部分可拼成一个长为宽为的长方形，根据长方形的面积等于长方形的长×宽可列关于x的一元二次方程，解方程即可求解．
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）由题意，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再直接开平方即可求解；
（2）由题意，用一元二次方程的求根公式“x=”即可qiujie ．
（1）解：∵，
∴，即，
∴，
解得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
则，
解得；
（2）解：∵，
∴，
则，
，
解得．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）由题意，把看作一个整体，再根据公式“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解．
（2）由题意，把x-1看作一个整体，再移项，再提公因式可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解．
（1）解：∵，
∴，
则，
解得；
（2）解：∵，
∴，
则，
，
解得．
21．【答案】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=，x1x2=”可得x1+x2和x1x2的值，再把展开，然后整体代换即可求解；
（2）先通分，再根据完全平方公式配方将分子和分母分别化成含有两根之积或两根之和的形式，然后整体代换即可求解．
（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
22．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为．依题意，
得：，
解得：（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为元．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出关于x的方程，解方程并检验即可求解；
（2）设该品牌头盔的实际售价为元，根据利润=单个的利润×销售量列出关于y的方程，解方程即可求解．
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为．依题意，
得：，
解得：（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为元．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元．
23．【答案】（1）证明：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∵，
即，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=1或3．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据判别式得到，由偶次方的非负数可得，然后根据判别式的意义"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"即可求解；
（2）用公式法可求出，然后根据整除性即可求解．
（1）证明：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∵，
即，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=1或3．
24．【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，
，
△
，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得：，，
，
，即．
解得．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出的值．
（1）解：证明：关于的一元二次方程，
，
△
，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得：，，
，
，即．
解得．
25．【答案】（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
故答案为：米.
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设，则，根据“ 矩形花园的面积为 ”列出方程，再求解即可；
（2）设，则，根据“ 矩形花园面积为 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
（2）不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
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