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浙江省杭州市育才中学2025-2026学年上学期九月月考数学试卷
1．（2025九上·杭州月考）已知 的半径为4，点P在 外， 的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
故答案为：D.
【分析】根据点与圆的位置关系：当点离圆心的距离大于圆的半径的时候，点在圆外，据此即可得出答案.
2．（2025九上·杭州月考）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是反面朝上，他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故答案为：C．
【分析】每次抛掷硬币都是一个独立事件，前一次抛掷的结果不会影响下一次抛掷的结果，对于一个质地均匀的硬币，每次抛掷正面朝上的概率为，据此可得答案.
3．（2025九上·杭州月考）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：解：∵∠ABD=20°
∴∠C=∠ABD=20°
∵CD是⊙O的直径
∴∠CAD=90°
∴∠ADC=90°﹣20°=70°．
故答案为：D．
【分析】由同弧所对的圆周角相等得∠C=∠ABD=20°，由直径所对的圆周角是直角得∠CAD=90°，进而根据直角三角形两锐角互余可求出∠ADC的度数.
4．（2025九上·杭州月考）若抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x2+bx=0的解为（　　）
A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=4 C．x1=2，x2=4 D．x1=0，x2=-4
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵ x2+bx=0，
∴x（x+b）=0，
∴x1=0，x2=-b，
∵ 抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2，
∴，
∴b=-4，
∴方程的解为：x1=0，x2=4，
故答案为：B.
【分析】根据x2+bx=0得x=0或x=-b，再结合抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2知b=-4.
5．（2025九上·杭州月考）若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线为，
平移后的顶点坐标为，
∵平移后新抛物线的顶点在第一象限，
∴，
解得，
∴的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减”可表示出平移后的新抛物线的解析式，从而可得平移后的顶点坐标，由第一象限内的点的坐标特征“横纵坐标都为正数”，列不等式组，求解即可．
6．（2025九上·杭州月考）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
，
又、为对应点，点为旋转中心，
，，
，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先根据两直线平行，内错角相等得到，再由旋转的性质得到，从而，最后利用三角形的内角和求出即可．
7．（2025九上·杭州月考）五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察题图可知，从第个图形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点数比分支条数少，第个图形有条分支，每条分支上有个点，
所以第n个图形中点的个数y与n的关系式是，
即 .
故答案为：D.
【分析】观察题图可知，从第2个图形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点数比分支条数少1，且第n个图形有条n分支，每条分支上有(n-1)个点，然后根据第n个图形中点的总个数等于分支上的点数+中间的点数即可建立出y关于n的函数关系式.
8．（2025九上·杭州月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．8
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠APC=30°，
∴∠OPH=30°，∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH=，
∴CD=2CH=2．
故选C．
【分析】本题考查垂径定理，含30°角的直角三角形和勾股定理.作OH⊥CD于H，根据垂径定理得HC=HD，再利用AP=2，BP=6，AB是直径计算出半径OA=4，则OP=2，接着根据30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），计算出CH=，最后CD=2CH=2．
9．（2025九上·杭州月考）已知方程的两个解为，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：设二次函数，
当时，，解得或，
所以二次函数与轴的交点坐标为和，
画出这个二次函数的大致图象如下：
∵方程的两个解为，
∴二次函数与直线的两个交点的横坐标分别为，
结合函数图象可知，，
故答案为：A．
【分析】求的解，从函数角度看，就是求抛物线y=(x-1)(x-2)与直线y=m(m＞0）的交点的横坐标；先求出二次函数与轴的交点坐标为和，再画出大致函数图象，根据二次函数与直线的两个交点的横坐标分别为，结合函数图象即可得．
10．（2025九上·杭州月考）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，AD=BD=AB=2，
在Rt△OBD中，OD==1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3，
故答案为：B．
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用平分弦的直径垂直弦得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，在Rt△BOD中，根据勾股定理可计算出OD=1；再利用折叠的性质可判断出，由等弧所对的弦相等得AC=DC，利用等腰三角形的三线合一得AE=DE=1，由有一组邻边相等的矩形是正方形证明四边形ODEF为正方形，由正方形四边相等得到OF=EF=1，在Rt△OCF中，利用勾股定理算出CF，由线段和差得到CE=BE=3，利用勾股定理得到BC的长.
11．（2025九上·杭州月考）把二次函数改写成形如的形式为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】由于二次项系数为2，故先将等号右侧提取公因数2将二次项系数化为1， 在括号内加上一次项系数一半的平方“1”，再减去1，根据完全平方公式变形为y=2[(x-1)2-1]，再去中括号即可得出答案.
12．（2025九上·杭州月考）已知二次函数，当时，的取值范围是　 　．
【答案】5≤y≤13
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵=2（x+2）2+5，
∴对称轴为x=-2，
∴函数在x=-2处取得最小值，最小值为y=5，
且当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，一随x的增大而增大，
∴当x=-3时，y=7；当x=0时，y=13，
∴ 当时，的取值范围是 5≤y≤13.
故答案为：5≤y≤13.
【分析】将函数变形为顶点式，根据函数的性质计算出在内，的最大值和最小值即可.
13．（2025九上·杭州月考）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：随机开闭合开关，，中的两个，所有可能如下：
闭合，，灯泡发光，
闭合，，灯泡发光，
闭合，，灯泡不发光，
∴当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【分析】列举出随机闭合两个开关的所有等可能情况，再根据电学知识找出其中能够让灯泡发光的所有等可能情况，从而利用概率公式即可计算出随机闭合两个开关能够让灯泡发光概率.
14．（2025九上·杭州月考）如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，若半径，则图2的周长为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由图1得：的长+的长=的长，
∵半径，
则图2的周长为：．
故答案为：．
【分析】 观察图1可得图2的周长=2个的长，根据弧长公式“”计算可得答案.
15．（2025九上·杭州月考）已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线中二次项系数2＞0，对称轴为直线，
∴图象开口向上，当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大，
∵点在抛物线上，
∴，
∵当时，总有成立，
∴或，
解得．
故答案为：．
【分析】由二次函数的解析式，可得对称轴为直线，图象开口向上，当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大，结合已知，按照和进行分类讨论，列不等式组，求解即可．
16．（2025九上·杭州月考）如图，在半径为2的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点．
（1）的度数为　 　；
（2）在点运动的过程中，的面积的最大值为　 　
【答案】；
【知识点】正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；点与圆的位置关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）连接、，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴的度数为，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
作的外接圆，可知点在上，则，
∵，
∴当点到的距离最大时，的面积最大，
设为中点，连接并延长，与圆交于点，此时点到的距离最大，
连接、，
∵，，，
∴，
即，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵点为中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴面积的最大值为．
故答案为：．
【分析】（1）连接OA、OB，由勾股定理的逆定理证明△OAB为等腰直角三角形，可得∠AOB的度数，进而根据圆心角、弧、弦的关系即可得到弧AB的度数；
（2）由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ACB=45°，由三角形的内角和定理求出∠ADC=45°；作△ABD的外接圆，可知点D在上，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠APB=90°，由于AB的长是一个定值，故当点P到AB的距离最大时，△ABD的面积最大； 设Q为AB中点，连接QP并延长，与圆P交于点D，连接PA、PB，可得此时点D到AB的距离最大；由有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形OAPB为正方形，由正方形四边相等得AP=OA=2，由等腰直角三角形的性质得出QD⊥AB，AQ=BQ=PQ=，再求出DQ的长度即为高，结合AB求出△ABD面积的最大值．
17．（2025九上·杭州月考）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
【答案】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为
（2）解：这个游戏不公平，对小明有利，理由如下：
小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵小丽从正面分别写上、、的三种卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果数，而能抽到的只有1种等可能的结果数，
∴小丽取出的卡片恰好是的概率为．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）采用列表法列举出所有等可能的结果数，由表可知共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，然后根据概率公式分别求得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可．
（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为．
（2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
18．（2025九上·杭州月考）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆．
（1）求的度数
（2）连接，，作．若劣弧的长为，求的长
【答案】（1）解：，
∴的度数为．
（2）解：∵正六边形，是它的外接圆，
∴中心角，
又∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∵劣弧的长为，
∴，
解得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆内接正多边形；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据n(n≥3)边形的内角和公式“n边形的内角和=”计算出六边形的内角和，再根据正六边形每一个内角都相等，可由内角和的总度数除以内角的个数求出每一个内角的度数；
（2）先根据正边形中心角度数为“”求出，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△COD是等边是哪些；然后根据弧长计算公式建立方程求得半径为2，由等边三角形三边相等及垂径定理可得，最后根据勾股定理即可得OG的长．
（1）解：，
∴的度数为．
（2）解：∵正六边形，是它的外接圆，
∴中心角，
∵劣弧的长为，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的长为．
19．（2025九上·杭州月考）已知二次函数
（1）求函数图象的顶点坐标及图象与坐标轴的交点坐标．
（2）根据图像直接回答：
①当时，的取值范围；
②当时，的取值范围．
【答案】（1）解：二次函数，
∴顶点坐标为，
当时，，
∴函数图象与轴交于点，
当时，，
解得，，
∴函数图象与轴交于点，，
∴函数图象的顶点坐标为，图象与坐标轴的交点坐标为，，．
（2）解：当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】（2）解：二次函数的图象：
由图象得当时，的取值范围是；
由图象得当时，的取值范围是或．
【分析】（1）先将抛物线解析式化成顶点式，从而确定顶点坐标，再分别令解析式中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得函数图象与纵坐标交点的坐标；
（2）根据五点法画出抛物线的简易图象，①求当时，x的取值范围，从图象角度看，就是求x轴下方图象对应的自变量的取值范围，结合抛物线与x轴两交点横坐标即可得出答案；②求当时，x的取值范围，从图象角度看，就是求y轴左侧图象及与其成轴对称图象上对应的自变量的取值范围．
（1）解：二次函数，
∴顶点坐标为，
当时，，
∴函数图象与轴交于点，
当时，，
解得，，
∴函数图象与轴交于点，，
∴函数图象的顶点坐标为，图像与坐标轴的交点坐标为，，．
（2）解：二次函数的图像：
当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是或．
20．（2025九上·杭州月考）如图，已知
（1）用直尺和圆规作出的外接圆；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）解：如图，
为所作；
（2）解：如图，连接交于，
，
垂直平分，
即，，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
解得：，
即的半径为．
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）分别作AB、AC的垂直平分线，二者的交点为圆心O，以点O为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）连接OA交BC于D，由到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可得OA垂直平分BC，在Rt△ABD中，用勾股定理计算出AD=5，设的半径为，则，，在Rt△OBD中，利用勾股定理建立方程，然后解方程即可．
（1）解：如图，
为所作；
（2）解：如图，连接交于，
，
垂直平分，
即，，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
解得：，
即的半径为．
21．（2025九上·杭州月考）如图，A，B，C是上的三点，且．过点B作于点E，延长交于点D，连结．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，即：．
∵，
∴
（2）证明：由（1）知，
∵直径，，
∴．
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOB=2∠ADB=124°，由圆心角、弧、弦的关系得出∠BOC=∠AOB=62°，进而根据直角三角形的量锐角互余求出∠OBE的度数；
（2）易得∠DAB=∠OEB=62° ，由直径所对的圆周角是直角及垂直定义得出∠DAB=∠BEO=90°，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△ADB∽△EOB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AB=2BE.
（1）解：连接，
∵，
∴，即：．
∵，
∴．
（2）由（1）知，
∵直径，，
∴．
∴，
∴，
∴．
22．（2025九上·杭州月考）课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
【答案】解：（1）由已知可得：AD=，
∴S=1×m2.
（2）设AB=xm，则AD=3﹣xm， ∵3-x0 ∴，
设窗户面积为S，由已知得：S=AB·AD=x（3-x）=
当x=m时，且x=m在的范围内，S最大值=，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形和正方形的周长求出AD，再根据矩形的面积公式求解即可.
（2）设AB为xcm，求出AD，再根据面积公式列出二次函数，求出最值即可．
23．（2025九上·杭州月考）已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的图象的对称轴．
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特点，把代入二次函数中，得2a+b=0，即b=-2a，再根据抛物线对称轴直线公式可得答案；
（2）由于y=ax2+bx-2中a＞0，其对称轴直线为x=1，故函数图象开口向上，当x=1时，函数有最小值为-3，即a+b-2=-3，联合（1）中2a+b=0，求解得出a、b的值，可得二次函数的表达式，进而根据二次函数图象的平移规律“左加右减”得出平移后的新二次函数表达式，分别计算最大值和最小值即可；
（3）由（1）得b=-2a，将其代入抛物线可得y=ax2-2ax-2，由根与系数的关系得到，， 再根据完全平方公式恒等变形得，整体代入计算可得，然后整体代入不等式组求解即可得出a的取值范围.
（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，
即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
24．（2025九上·杭州月考）研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形内接于，对角线，且．
（1）求证：；
（2）若的半径为8，弧的度数为，求四边形的面积；
（3）如图2，作于，请猜测与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】解：（1）证明：∵AC=BD，
∴，
∴，
∴AB=CD；
（2）如图1，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOH=60°，BD=2BH
则BH=sin∠BOH×OB=OB=，
∴BD=，
则四边形ABCD的面积=×AC×BD=96；
（3）AD=2OM，理由如下：
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，
∵OE⊥AD，
∴AD=2AE
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
，
∴△BOM≌△OAE（AAS），
∴OM=AE，
∴AD=2OM．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由同圆中，等弦所对的弧相等得，根据等式性质及图形可推出，进而再根据等弧所对的弦相等可得AB=CD；（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，根据根据圆心角、弧、弦的关系得到∠BOD=120°，由等腰三角形的三线合一得出∠BOH=60°，BD=2BH，利用正弦函数定义及特殊锐角三角函数值求出BH，根据题干给出的计算四边形面积的方法计算即可；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AD=2AE ，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半及等腰三角形的三线合一得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，从而利用“AAS”证明△BOM≌△OAE，由全等三角形的对应边相等得到OM=AE，从而即可得出结论.
1 / 1浙江省杭州市育才中学2025-2026学年上学期九月月考数学试卷
1．（2025九上·杭州月考）已知 的半径为4，点P在 外， 的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025九上·杭州月考）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．1
3．（2025九上·杭州月考）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（2025九上·杭州月考）若抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x2+bx=0的解为（　　）
A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=4 C．x1=2，x2=4 D．x1=0，x2=-4
5．（2025九上·杭州月考）若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·杭州月考）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·杭州月考）五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·杭州月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．8
9．（2025九上·杭州月考）已知方程的两个解为，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·杭州月考）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·杭州月考）把二次函数改写成形如的形式为　 　.
12．（2025九上·杭州月考）已知二次函数，当时，的取值范围是　 　．
13．（2025九上·杭州月考）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为　 　．
14．（2025九上·杭州月考）如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，若半径，则图2的周长为　 　．
15．（2025九上·杭州月考）已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是　 　
16．（2025九上·杭州月考）如图，在半径为2的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点．
（1）的度数为　 　；
（2）在点运动的过程中，的面积的最大值为　 　
17．（2025九上·杭州月考）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
18．（2025九上·杭州月考）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆．
（1）求的度数
（2）连接，，作．若劣弧的长为，求的长
19．（2025九上·杭州月考）已知二次函数
（1）求函数图象的顶点坐标及图象与坐标轴的交点坐标．
（2）根据图像直接回答：
①当时，的取值范围；
②当时，的取值范围．
20．（2025九上·杭州月考）如图，已知
（1）用直尺和圆规作出的外接圆；
（2）若，，求的半径．
21．（2025九上·杭州月考）如图，A，B，C是上的三点，且．过点B作于点E，延长交于点D，连结．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
22．（2025九上·杭州月考）课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
23．（2025九上·杭州月考）已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的图象的对称轴．
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围．
24．（2025九上·杭州月考）研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形内接于，对角线，且．
（1）求证：；
（2）若的半径为8，弧的度数为，求四边形的面积；
（3）如图2，作于，请猜测与的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
故答案为：D.
【分析】根据点与圆的位置关系：当点离圆心的距离大于圆的半径的时候，点在圆外，据此即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是反面朝上，他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故答案为：C．
【分析】每次抛掷硬币都是一个独立事件，前一次抛掷的结果不会影响下一次抛掷的结果，对于一个质地均匀的硬币，每次抛掷正面朝上的概率为，据此可得答案.
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：解：∵∠ABD=20°
∴∠C=∠ABD=20°
∵CD是⊙O的直径
∴∠CAD=90°
∴∠ADC=90°﹣20°=70°．
故答案为：D．
【分析】由同弧所对的圆周角相等得∠C=∠ABD=20°，由直径所对的圆周角是直角得∠CAD=90°，进而根据直角三角形两锐角互余可求出∠ADC的度数.
4．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵ x2+bx=0，
∴x（x+b）=0，
∴x1=0，x2=-b，
∵ 抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2，
∴，
∴b=-4，
∴方程的解为：x1=0，x2=4，
故答案为：B.
【分析】根据x2+bx=0得x=0或x=-b，再结合抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2知b=-4.
5．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线为，
平移后的顶点坐标为，
∵平移后新抛物线的顶点在第一象限，
∴，
解得，
∴的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减”可表示出平移后的新抛物线的解析式，从而可得平移后的顶点坐标，由第一象限内的点的坐标特征“横纵坐标都为正数”，列不等式组，求解即可．
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
，
又、为对应点，点为旋转中心，
，，
，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先根据两直线平行，内错角相等得到，再由旋转的性质得到，从而，最后利用三角形的内角和求出即可．
7．【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察题图可知，从第个图形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点数比分支条数少，第个图形有条分支，每条分支上有个点，
所以第n个图形中点的个数y与n的关系式是，
即 .
故答案为：D.
【分析】观察题图可知，从第2个图形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点数比分支条数少1，且第n个图形有条n分支，每条分支上有(n-1)个点，然后根据第n个图形中点的总个数等于分支上的点数+中间的点数即可建立出y关于n的函数关系式.
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠APC=30°，
∴∠OPH=30°，∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH=，
∴CD=2CH=2．
故选C．
【分析】本题考查垂径定理，含30°角的直角三角形和勾股定理.作OH⊥CD于H，根据垂径定理得HC=HD，再利用AP=2，BP=6，AB是直径计算出半径OA=4，则OP=2，接着根据30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），计算出CH=，最后CD=2CH=2．
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：设二次函数，
当时，，解得或，
所以二次函数与轴的交点坐标为和，
画出这个二次函数的大致图象如下：
∵方程的两个解为，
∴二次函数与直线的两个交点的横坐标分别为，
结合函数图象可知，，
故答案为：A．
【分析】求的解，从函数角度看，就是求抛物线y=(x-1)(x-2)与直线y=m(m＞0）的交点的横坐标；先求出二次函数与轴的交点坐标为和，再画出大致函数图象，根据二次函数与直线的两个交点的横坐标分别为，结合函数图象即可得．
10．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，AD=BD=AB=2，
在Rt△OBD中，OD==1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3，
故答案为：B．
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用平分弦的直径垂直弦得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，在Rt△BOD中，根据勾股定理可计算出OD=1；再利用折叠的性质可判断出，由等弧所对的弦相等得AC=DC，利用等腰三角形的三线合一得AE=DE=1，由有一组邻边相等的矩形是正方形证明四边形ODEF为正方形，由正方形四边相等得到OF=EF=1，在Rt△OCF中，利用勾股定理算出CF，由线段和差得到CE=BE=3，利用勾股定理得到BC的长.
11．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】由于二次项系数为2，故先将等号右侧提取公因数2将二次项系数化为1， 在括号内加上一次项系数一半的平方“1”，再减去1，根据完全平方公式变形为y=2[(x-1)2-1]，再去中括号即可得出答案.
12．【答案】5≤y≤13
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵=2（x+2）2+5，
∴对称轴为x=-2，
∴函数在x=-2处取得最小值，最小值为y=5，
且当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，一随x的增大而增大，
∴当x=-3时，y=7；当x=0时，y=13，
∴ 当时，的取值范围是 5≤y≤13.
故答案为：5≤y≤13.
【分析】将函数变形为顶点式，根据函数的性质计算出在内，的最大值和最小值即可.
13．【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：随机开闭合开关，，中的两个，所有可能如下：
闭合，，灯泡发光，
闭合，，灯泡发光，
闭合，，灯泡不发光，
∴当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【分析】列举出随机闭合两个开关的所有等可能情况，再根据电学知识找出其中能够让灯泡发光的所有等可能情况，从而利用概率公式即可计算出随机闭合两个开关能够让灯泡发光概率.
14．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由图1得：的长+的长=的长，
∵半径，
则图2的周长为：．
故答案为：．
【分析】 观察图1可得图2的周长=2个的长，根据弧长公式“”计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线中二次项系数2＞0，对称轴为直线，
∴图象开口向上，当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大，
∵点在抛物线上，
∴，
∵当时，总有成立，
∴或，
解得．
故答案为：．
【分析】由二次函数的解析式，可得对称轴为直线，图象开口向上，当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大，结合已知，按照和进行分类讨论，列不等式组，求解即可．
16．【答案】；
【知识点】正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；点与圆的位置关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）连接、，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴的度数为，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
作的外接圆，可知点在上，则，
∵，
∴当点到的距离最大时，的面积最大，
设为中点，连接并延长，与圆交于点，此时点到的距离最大，
连接、，
∵，，，
∴，
即，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵点为中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴面积的最大值为．
故答案为：．
【分析】（1）连接OA、OB，由勾股定理的逆定理证明△OAB为等腰直角三角形，可得∠AOB的度数，进而根据圆心角、弧、弦的关系即可得到弧AB的度数；
（2）由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ACB=45°，由三角形的内角和定理求出∠ADC=45°；作△ABD的外接圆，可知点D在上，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠APB=90°，由于AB的长是一个定值，故当点P到AB的距离最大时，△ABD的面积最大； 设Q为AB中点，连接QP并延长，与圆P交于点D，连接PA、PB，可得此时点D到AB的距离最大；由有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形OAPB为正方形，由正方形四边相等得AP=OA=2，由等腰直角三角形的性质得出QD⊥AB，AQ=BQ=PQ=，再求出DQ的长度即为高，结合AB求出△ABD面积的最大值．
17．【答案】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为
（2）解：这个游戏不公平，对小明有利，理由如下：
小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵小丽从正面分别写上、、的三种卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果数，而能抽到的只有1种等可能的结果数，
∴小丽取出的卡片恰好是的概率为．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）采用列表法列举出所有等可能的结果数，由表可知共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，然后根据概率公式分别求得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可．
（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为．
（2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
18．【答案】（1）解：，
∴的度数为．
（2）解：∵正六边形，是它的外接圆，
∴中心角，
又∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∵劣弧的长为，
∴，
解得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆内接正多边形；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据n(n≥3)边形的内角和公式“n边形的内角和=”计算出六边形的内角和，再根据正六边形每一个内角都相等，可由内角和的总度数除以内角的个数求出每一个内角的度数；
（2）先根据正边形中心角度数为“”求出，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△COD是等边是哪些；然后根据弧长计算公式建立方程求得半径为2，由等边三角形三边相等及垂径定理可得，最后根据勾股定理即可得OG的长．
（1）解：，
∴的度数为．
（2）解：∵正六边形，是它的外接圆，
∴中心角，
∵劣弧的长为，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的长为．
19．【答案】（1）解：二次函数，
∴顶点坐标为，
当时，，
∴函数图象与轴交于点，
当时，，
解得，，
∴函数图象与轴交于点，，
∴函数图象的顶点坐标为，图象与坐标轴的交点坐标为，，．
（2）解：当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】（2）解：二次函数的图象：
由图象得当时，的取值范围是；
由图象得当时，的取值范围是或．
【分析】（1）先将抛物线解析式化成顶点式，从而确定顶点坐标，再分别令解析式中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得函数图象与纵坐标交点的坐标；
（2）根据五点法画出抛物线的简易图象，①求当时，x的取值范围，从图象角度看，就是求x轴下方图象对应的自变量的取值范围，结合抛物线与x轴两交点横坐标即可得出答案；②求当时，x的取值范围，从图象角度看，就是求y轴左侧图象及与其成轴对称图象上对应的自变量的取值范围．
（1）解：二次函数，
∴顶点坐标为，
当时，，
∴函数图象与轴交于点，
当时，，
解得，，
∴函数图象与轴交于点，，
∴函数图象的顶点坐标为，图像与坐标轴的交点坐标为，，．
（2）解：二次函数的图像：
当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是或．
20．【答案】（1）解：如图，
为所作；
（2）解：如图，连接交于，
，
垂直平分，
即，，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
解得：，
即的半径为．
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）分别作AB、AC的垂直平分线，二者的交点为圆心O，以点O为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）连接OA交BC于D，由到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可得OA垂直平分BC，在Rt△ABD中，用勾股定理计算出AD=5，设的半径为，则，，在Rt△OBD中，利用勾股定理建立方程，然后解方程即可．
（1）解：如图，
为所作；
（2）解：如图，连接交于，
，
垂直平分，
即，，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
解得：，
即的半径为．
21．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，即：．
∵，
∴
（2）证明：由（1）知，
∵直径，，
∴．
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOB=2∠ADB=124°，由圆心角、弧、弦的关系得出∠BOC=∠AOB=62°，进而根据直角三角形的量锐角互余求出∠OBE的度数；
（2）易得∠DAB=∠OEB=62° ，由直径所对的圆周角是直角及垂直定义得出∠DAB=∠BEO=90°，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△ADB∽△EOB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AB=2BE.
（1）解：连接，
∵，
∴，即：．
∵，
∴．
（2）由（1）知，
∵直径，，
∴．
∴，
∴，
∴．
22．【答案】解：（1）由已知可得：AD=，
∴S=1×m2.
（2）设AB=xm，则AD=3﹣xm， ∵3-x0 ∴，
设窗户面积为S，由已知得：S=AB·AD=x（3-x）=
当x=m时，且x=m在的范围内，S最大值=，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形和正方形的周长求出AD，再根据矩形的面积公式求解即可.
（2）设AB为xcm，求出AD，再根据面积公式列出二次函数，求出最值即可．
23．【答案】（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特点，把代入二次函数中，得2a+b=0，即b=-2a，再根据抛物线对称轴直线公式可得答案；
（2）由于y=ax2+bx-2中a＞0，其对称轴直线为x=1，故函数图象开口向上，当x=1时，函数有最小值为-3，即a+b-2=-3，联合（1）中2a+b=0，求解得出a、b的值，可得二次函数的表达式，进而根据二次函数图象的平移规律“左加右减”得出平移后的新二次函数表达式，分别计算最大值和最小值即可；
（3）由（1）得b=-2a，将其代入抛物线可得y=ax2-2ax-2，由根与系数的关系得到，， 再根据完全平方公式恒等变形得，整体代入计算可得，然后整体代入不等式组求解即可得出a的取值范围.
（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，
即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
24．【答案】解：（1）证明：∵AC=BD，
∴，
∴，
∴AB=CD；
（2）如图1，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOH=60°，BD=2BH
则BH=sin∠BOH×OB=OB=，
∴BD=，
则四边形ABCD的面积=×AC×BD=96；
（3）AD=2OM，理由如下：
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，
∵OE⊥AD，
∴AD=2AE
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
，
∴△BOM≌△OAE（AAS），
∴OM=AE，
∴AD=2OM．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由同圆中，等弦所对的弧相等得，根据等式性质及图形可推出，进而再根据等弧所对的弦相等可得AB=CD；（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，根据根据圆心角、弧、弦的关系得到∠BOD=120°，由等腰三角形的三线合一得出∠BOH=60°，BD=2BH，利用正弦函数定义及特殊锐角三角函数值求出BH，根据题干给出的计算四边形面积的方法计算即可；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AD=2AE ，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半及等腰三角形的三线合一得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，从而利用“AAS”证明△BOM≌△OAE，由全等三角形的对应边相等得到OM=AE，从而即可得出结论.
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