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宁远一中崇德学校教师解题大赛（数学）试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保证答题卡的整洁．考生结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设集合，集合，，则
A． B． C． D．
2．若，则
A． B． C．1 D．2
3．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为
A． B． C． D．
4．若，则
A． B． C． D．
5．双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
6．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为
A．1 B．2 C．4 D．
7．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是
A． B．
C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的选项中，有多项选择符合题目要求.全部选对的6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9．已知函数的图像关于点中心对称，则
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
10．设正整数，其中，
记．则
A． B．
C． D．
11．已知的面积为，若，则
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ；
13．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ．
14．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
②若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
16．（15分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
17．（15分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
18．（17分）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
19．（17分）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
(1)求的最大值；
(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，
若，求的取值范围．
试卷第4页，共4页
宁远一中崇德学校教师解题大赛考试数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D D A D C C B AD ACD ABD
填空题：12．10 13． 14．②③④
15．【详解】（1）可得，
则，即，
注意到，于是，
展开可得，则，又，. …………………….6分
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以由正弦定理得
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为． …………………….13分
16．【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，所以点A到平面的距离为； …………………….4分
（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面， …………………….6分
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，
如图，由（1）得，所以，，
所以，则,
所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，可取，
设平面的一个法向量，则，可取，
则，
所以二面角的正弦值为. …………………….15分
17．【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以
. …………………….4分
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即． …………………….10分
（3）因为，，所以当时，，
故． …………………….15分
18．【详解】（1）由题可知,，
所以，解得，故椭圆C的标准方程为；……….4分
（2）(ⅰ)设，易知，所以，故，且．
因为，，所以，
即，解得，所以，
所以点的坐标为. …………………….10分
(ⅱ)因为,,由,
可得,化简得,即,
所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）,
为到圆心的距离加上半径,
设,所以
,
当且仅当时取等号, 所以. …………………….17分
19．【详解】（1）设，，
由可得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以的最大值为. …………………….4分
（2）因为，所以直线的方程为，
即，设，，
由（1）可知，在上单调递增，而，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，
而当时，，所以总有，单调递增
（3）由题意，直线，直线，
所以，，
当时，，在上单调递增，所以，
所以，
由（1）可得当时，，所以，
所以. …………………….17分
答案第16页，共18页

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