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2024人教版八上数学第18章分式过关检测
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一．选择题（共12小题）
1．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12纳米的光刻机难题，其中12纳米＝0.000000012米，则12纳米用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×10﹣8米 B．1.2×10﹣9米
C．0.12×10﹣10米 D．1.2×10﹣10米
2．如果（2a﹣1）0＝1不成立，那么a的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．
3．下列各式：，中，是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大3倍
C．缩小三分之一 D．扩大9倍
5．计算：
A．﹣1 B．1 C．a D．a﹣1
6．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（　　）
A．① B．② C．③ D．④
7．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
9．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　）
A．1 B． C．1或 D．﹣1或
10．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．a+1
11．方程的解为（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝1
12．2025年10月26日在天津礼堂举行马拉松赛事，各位跑友齐聚天津礼堂，以跑者之势再现运动之美．小阳参与“半程马拉松”（约21km）项目，前12km以原计划平均速度vkm/h完成，之后身体竞技状态下降，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚15min到达目的地，则v的大小为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．21
二．填空题（共6小题）
13．已知分式，则x的取值范围是　 　 ．
14．已知x＝2，|y|＝3，且xy＜0，则的值等于　 　 ．
15．计算：　 　 ．
16．，其中﹣2≤x≤2，且x取整数，求所有符合条件的x的分式值之和是　 　 ．
17．已知a﹣b＝ab，那么的值是　 　 ．
18．若关于x的不等式组有解且至多4个偶数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．计算：
（1）．
（2）．
21．已知当x＝﹣2时，分式无意义；当x＝1时，此分式的值为0．
（1）求a，b的值．
（2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数x的值．
22．先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
23．聪聪在做作业时发现一道题有一部分被墨滴遮住了，如图所示：
（1）聪聪猜测，墨滴遮住的内容是“2a”，请你根据聪聪的猜测完成计算；
（2）第二天，聪聪的同桌告诉她，这道题被墨滴遮住的是一个二次二项式，并且这道题的标准答案是，请你通过计算说明墨滴遮住的内容是什么．
24．我们约定：关于x的代数式A，B，在A，B都有意义的x的取值范围中，不论x取何值，都有|A﹣B|＝m（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”．例如：A＝x2+2x+3，B＝x2+2x+1，因为|A﹣B|＝2，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题．
（1）判断下列各式互为“差值代数式”的是 　 　 ．
①与；②（x+2）2与x2+2x；③与．
（2）已知关于x的整式M＝（x﹣a）2N＝x2﹣2ax+5，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值；
（3）已知关于x的整式S＝x2+bx+c，T＝x2+dx，若S，T互为“差值代数式”，且满足（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）＝S2﹣1．
①求b，c，d的值；
②求代数式的最小值．
25．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
26．人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用.2020数字中国创新大赛﹣中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米．
（1）求“朝阳号”的行驶速度；
（2）如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明；
（3）若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点．
一．选择题（共12小题）
1．【考点】科学记数法—表示较小的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：1米＝1000000000纳米，
12纳米＝0.000000012米＝1.2×10﹣8米．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【考点】零指数幂
【分析】根据零次幂：a0＝1（a≠0）求解即可．
解：∵（2a﹣1）0＝1不成立，
∴2a﹣1＝0，
∴a，
故选：D．
【点评】此题主要考查了零次幂，关键是掌握a0＝1（a≠0）．
3．【考点】分式的定义
【分析】根据分式的定义进行判断．
解：：，中，是分式的有，，共有2个分式．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
4．【考点】分式的基本性质
【分析】利用分式的基本性质化简即可．
解：，
可见新分式是原分式的3倍．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
5．【考点】分式的加减法
【分析】先将分母化为同分母，再进行计算即可．
解：原式
＝1．
故选：B．
【点评】本题考查分式的加减，掌握运算法则是解题的关键．
6．【考点】分式的加减法
【分析】先通分化为同分母分式，再相加减，根据此步骤依次检查各步即可找到错误所在．
解：由题意知，出错在第②步，分子去括号时没有变号；
故选：B．
【点评】本题考查了异分母分式的加减，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．
7．【考点】负整数指数幂
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
解：，
故选：D．
【点评】本题考查负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则．
8．【考点】分式的乘除法
【分析】先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简．
解：
，
故选：C．
【点评】此题考查了对分式进行约分化简的能力，关键是能准确理解并运用因式分解和分式基本性质进行求解．
9．【考点】分式方程的解
【分析】将原方程去分母得x﹣3a＝2ax﹣6a，整理得（2a﹣1）x＝3a，根据题意分类讨论并求得对应的a的值即可．
解：原方程去分母得x﹣3a＝2ax﹣6a，
整理得（2a﹣1）x＝3a，
当2a﹣1＝0，a时，
0x无解，则原方程无解，符合题意，
当a时，
若原方程无解，那么它有增根x＝3，
则3（2a﹣1）＝3a，
解得：a＝1，
综上，a的值为1或，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．
10．【考点】分式的乘除法
【分析】利用分式的除法法则计算即可．
解：
＝a+1，
故选：D．
【点评】此题考查了分式的除法运算，熟练掌握分式除法法则是解题的关键．
11．【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解
解：去分母得：5x＝3x+6，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：x（x+2）≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，熟知分式方程的解法是解本题的关键．
12．【考点】分式方程的应用
【分析】根据时间等于路程除以速度，结合最终比原计划晚15min到达目的地，列出方程进行求解即可．
解：根据时间等于路程除以速度，结合最终比原计划晚15min到达目的地列出方程：
得，
解得v＝12；
经检验，v＝12是原方程的解；
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程．
二．填空题（共6小题）
13．【考点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x+2≠0，
解得：x≠﹣2，
故答案为：x≠﹣2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件分式的分母不为零是解题的关键．
14．【考点】分式的值；绝对值；有理数的乘法；有理数的除法
【分析】根据绝对值的意义得到y＝±3，根据题意可得x＝2或y＝﹣3，进一步代值计算即可．
解：∵|y|＝3，
∴y＝±3，
∵xy＜0，
∴x、y异号，
∵x＝2，
∴y＝﹣3，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了有理数的乘除法计算，化简绝对值，正确计算是解题的关键．
15．【考点】分式的乘除法
【分析】先把除法化为乘法，再根据分式的乘法法则计算．
解：

，
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
16．【考点】分式的化简求值
【分析】对分式进行化简，然后确定x的取值，最后代入求值即可．
解：


，
﹣2≤x≤2的整数值可取﹣2，﹣1，0，1，2，
∵x+1≠0，x≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，x≠0，x≠2，
∴x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，；
当x＝1时，，
∴﹣3+0＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的步骤和分式的运算法则．
17．【考点】分式的基本性质；分式的值
【分析】把原分式整理，得，然后把a﹣b＝ab代入即可得出答案．
解：
，
∵a﹣b＝ab，
∴原式5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的值，掌握分式的基本性质是解题的关键．
18．【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解
【分析】利用一元一次不等式组的解法求得关于x的不等式组的解集，利用已知条件求得﹣3≤a＜13，求得关于y的分式方程的解为y，利用整数的特征和分式方程的根的特征求得符合条件的所有整数a，再相加即可得出结论．
解：关于x的不等式组的解集为x≤4，
∵关于x的不等式组有解且至多4个偶数解，
∴﹣44，
∴﹣3≤a＜13．
关于y的分式方程的解为y，
∵关于y的分式方程的解为整数，且y≠﹣1，
∴符合条件的所有整数a有：1，4，7，10，
∴符合条件的所有整数a的和为1+4+7+10＝22．
故答案为：22．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法和分式方程的解法是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．【考点】解分式方程
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1，最后检验即可；
（2）先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1，最后检验即可．
解：（1）原方程去分母得x（x﹣3）＝x2﹣9+6，
去括号得x2﹣3x＝x2﹣9+6，
移项合并同类项得﹣3x＝﹣3，
系数化为1得x＝1，
检验：当x＝1时，x2﹣9＝﹣8≠0，
∴x＝1是原分式方程的解；
（2）原方程去分母得y﹣2＝2（y﹣3）+1，
去括号得 y﹣2＝2y﹣6+1，
移项合并同类项得﹣y＝﹣3，
系数化为1得y＝3，
检验：当y＝3时，y﹣3＝0，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程．熟练掌握该知识点是关键．
20．【考点】分式的乘除法；实数的运算
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，并化简二次根式，再计算加减即可；
（2）先计算乘方和负整数指数幂，再将除法转化为乘法，最后计算分式的乘法即可．
解：（1）
；
（2）
＝x10y15．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的运算，分式的运算，熟练掌握以上知识点是关键．
21．【考点】分式的值；分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【分析】（1）当x+a＝0时，分式无意义；当x﹣b＝0时，分式无意义；然后进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答．
解：（1）当x+a＝0时，分式无意义，
∵x＝﹣2，
∴﹣2+a＝0，
解得：a＝2；
当x﹣b＝0时，分式0，
∵x＝1，
∴1﹣b＝0，
解得：b＝1；
∴a的值为2；b的值为1；
（2）当a＝2，b＝1时，分式即为：，
∵分式的值为正整数，
∴x+1＝1或x+1＝2或x+1＝4，
解得：x＝0或x＝1或x＝3，
∴整数x的值为0或1或3．
【点评】本题考查了分式的值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解
【分析】先对分式进行化简，然后得出不等式组的整数解，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子计算即可．
解：原式
，
由可得：﹣2＜x≤3，
∴不等式组的整数解有﹣1，0，1，2，3，
∵x＝﹣1，1，0，3时，原分式无意义，
∴x＝2，
∴当x＝2时，原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的运算及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
23．【考点】分式的乘除法
【分析】（1）已知猜测被墨滴遮住的内容为“2a”，需要根据分式的运算法则进行计算．先将除法转化为乘法，即除以一个分式等于乘以它的倒数，然后对分子分母进行因式分解，再约分得到结果．
（2）设被墨滴遮住的内容为M，根据已知的标准答案列出等式．通过先计算等式左边的分式除法，再根据等式两边相等的性质，求出M﹣4的表达式，进而得到M，也就是被墨滴遮住的内容．
解：（1）
；
（2）设墨滴遮住的内容是M，则，
∴，
∴，
∴M﹣4
＝2（a﹣2）（a+1）
＝2（a2+a﹣2a﹣2）
＝2a2﹣2a﹣4
∴M＝2a2﹣2a﹣4+4＝2a2﹣2a
∴墨滴遮住的内容是2a2﹣2a．
【点评】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24．【考点】分式的混合运算；整式的加减；平方差公式；分式有意义的条件
【分析】（1）根据“差值代数式”以及“差值”的定义以及计算方法进行解答即可；
（2）根据“差值代数式”以及“差值”的定义以及计算方法得到|a2﹣5|＝4，进而得到a2﹣5＝4或a2﹣5＝﹣4，求出a的值即可；
（3）①根据（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）＝S2﹣1可化为（x2+7x+11）2＝S2，进而求解即可；
②将S＝x2+bx+c，T＝x2+dx代入可得，进而得到，当x2+7x+16的值最小时，原式的值最小，求出 7x+16 的最小值即可．
解：（1）①：，所以与互为“差值代数式”，“差值”为2；
②：|（x+2）2﹣（x2+2x）|＝|x2+4x+4﹣x2﹣2x|＝|2x+4|，所以（x+2）2与x2+2x不是（x+2）2与x2+2x；
③，所以当x≠0时，与互为“差值代数式”，“差值”为1；
故答案为：①③；
（2）∵关于x的整式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2ax+5，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，
∴|M﹣N|＝|（x﹣a）2﹣（x2﹣2ax+5）|＝4
，即|a2﹣5|＝4，
∴a2﹣5＝4或a2﹣5＝﹣4，
当a2﹣5＝4时，即a2＝9，
解得a＝3 或a＝﹣3；
当a2﹣5＝﹣4时，即a2＝1，
解得a＝1 或a＝﹣1；
综上所述，a＝1或a＝﹣1或a＝3或a＝﹣3；
（3）①∵关于x的整式S＝x2+bx+c，T＝x2+dx，若S，T互为“差值代数式”，
∴|x2+bx+c﹣x2﹣dx|的结果是常数，
∴．b＝d，且“差值”为|c|，
又∵（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）＝S2﹣1，
∴（x2+7x+10）（x2+7x+12）＝S2﹣1，
∴（x2+7x）2+22（x2+7x）+121＝S2，
∴（x2+7x+11）2＝S2，
∴S＝x2+7x+11或S＝﹣x2﹣7x﹣11，
答：b＝7，c＝11，d＝7或b＝﹣7，c＝﹣11，d＝﹣7（舍）；
②，
当x2+7x+16的值最小时，原式的值最大，
∵x2+7x+16的最小值为，
∴的最小值．
【点评】本题考查平方差公式、多项式乘多项式、二次根式的加减法，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
25．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
（2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式；
（3）根据“使销售两种商品的总利润（利润＝售价﹣进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系．
26．【考点】分式方程的应用
【分析】（1）设“朝阳号”的平均速度为x米/秒，则“天元号”的平均速度为（x+0.8）米/秒，根据“朝阳号”运动24与“天元号”运动30米所用时间相等，可得方程，解出即可；
（2）求出“天元号”和“朝阳号”到达终点所用的时间，比较即可；
（3）设调整后“天元号”的平均速度为y，根据时间相等，得出方程求解即可．
解：（1）设“朝阳号”的平均速度为x米/秒，则“天元号”的平均速度为（x+0.8）米/秒，
由题意得，
解得：x＝3.2，
经检验x＝3.2是原方程的解．
答：“朝阳号”的行驶速度是3.2米/秒；
（2）不能同时到达．
设调整后“天元号”的行驶路程为30×（1）＝36（米），
“天元号”到达终点所用的时间为9（秒），
“朝阳号”到达终点所用的时间为9.375（秒），
∴两车不能同时到达；
（3）设调整后“天元号”的平均速度为y米/秒，
，
解得：y＝3.84．
答：调整后“天元号”的平均速度为3.84米/秒可使两车能同时到达终点．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，建立方程
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