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江西省新余市第四中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题
一、选择题（本题共6小 ，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
3.解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1
y -11 -5 -1 1 1
根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的取值范围是（ ）
A. B. C. D
5.如图，在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为xm，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间，下列结论中：①；②；③；④，则正确的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
7.点关于原点的对称点的坐标是__________.
8.二次函数的对称轴为直线__________.
9.已知点为二次函数的图象上的三点，则的大小关系为__________.
10.央广网报道礼嘉中学校史舞台剧《弦歌不辍与国同行》的文章，在上线后第三天点击率达到69.2万次．其中第一天的点击率为20万次，若每天点击率的平均增长率为，则根据题意可列方程__________.
11.如图，直线的边OB在直线上，，持绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则__________°.
12.如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将绕着点顺时针旋转得到交AB于点，连接DE交AC于点，连接FG，则下列结论：
①平分；②；③四边形AEGF是菱型；④.
其中结论正确的序号是__________.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.选择适当的方法解下列方程，
（1）；
（2）.
14.已如关于的方程.
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）若两实数根满足，求的值.
15.先化简．再求值：．其中是方程的解.
16.如图，在中，点在AD上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中，过点作直线EF将分成两个面积相等的图形；
（2）在图2中，，请你作出的平分线AM.
17.如图，为等边内一点，将线段AD绕点逆时针旋转，得到线段AE，连接BD，CE．
（1）求证：；
（2）连接DE，若，则__________°.
四、解答题（本大匽共3小题，每小题8分，共24分）
18.如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与抽交于点直线AB的解析式为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，的取值范围是__________；
（3）当时，的取值范围是__________；
19.如图，三个顶点的坐标分别为.
（1）请画出关于原点对标的图形；
（2）请画出绕原点按逆时针方向旋转后的图形；
（3）按照（2）作图，回答下列问题：中顶点坐标为__________，若为边上一点，则点对应的点的坐标为__________.
20.投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分，箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线，同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1米）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为2米时，距离投出点的水平距离为1米.把壶近似看作矩形DEFG，已知壶口的宽度米，壶的高度米.
（1）求抛物线的表达式．
（2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离OE.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.某商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元.
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元.
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？
（2）该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降元．在不考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获收的利润最大？每天的最大利润是多少？
22.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，则__________.
（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．
六、解答题（本大题共12分）
23.如图1，抛物线与轴交于，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上一点，满足，求点的横坐标；
（3）如图2，已知，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿轴向上翻折，得到图象（虚线部分），点为图象的顶点，现将图象保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象与线段BC至少有一个交点．求图象的顶点横坐标的取值范围．

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